高等数学下册期末考试试题及答案.docx
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高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题
大题一二三
四五六七
小题12345
得分
一、填空题:
(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)
r
1、已知向量a
r
、b
rr
r
满足ab0
r
,a2
r
,b2
r
r
,则ab
.
2、设zxln(xy),则
3
z
2
xy
.
3、曲面
229
xyz在点(1,2,4)处的切平面方程为
.
4、设f(x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x)x,则f(x)的
傅里叶级数
在x3处收敛于,在x处收敛于.
5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则(xy)ds.
L
xx
计算曲线积分(esinym)dx(ecosymx)dy,
L
其中m为常数,L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周
22(0)
xyaxa.
四、(本题满分10分)
求幂级数
n
n
x
n
13
n
的收敛域及和函数.
五、(本题满分10分)
计算曲面积分
332
I2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy,
其中为曲面
22
z1xy(z0)的上侧.
六、(本题满分6分)
设f(x)为连续函数,f(0)a,
222
Ftzfxyzdv,其中t是由曲面
()[()]
t
22
zxy与
222
ztxy所围成的闭区域,求
lim
t0
F(t)
3
t
.
-------------------------------------
备注:
①考试时间为2小时;
②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;
不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
参考解答与评分标准2009年6月
一、填空题【每小题4分,共20分】1、4;2、
1
2
y
;3、2x4yz14;4、3,
0;5、2.
二、试解下列各题【每小题7分,共35分】
1、解:
方程两边对x求导,得
dydz
3yz2x
dxdx
dydz
yz3x
dxdx
,从而
dy5x
dx4y
,
dz7x
dx4z
⋯⋯⋯⋯..【4】
ur
该曲线在1,1,2处的切向量为
T
571
(1,,)(8,10,7).
488
⋯⋯⋯⋯..【5】
x1y1z2
8107
故所求的切线方程为
⋯⋯⋯⋯⋯⋯..【6】
法平面方程为8x110y17z20即8x10y7z12⋯⋯..【7】
2、解:
22
z2x2y
22
z6xy
222
xy,该立体在xOy面上的投影区域为
22
D:
xy2.⋯..【2】
xy
故所求的体积为Vdv
2
22622
dddz2(63)d6⋯⋯..
2
0020
【7】
3、解:
由
11
n
limnulimnln
(1)limln
(1)10
n
nnn
nn
,知级数
n1
u发
n
散⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【3】
又
11
|u|ln
(1)ln
(1)|u|
nn1
nn1
1
lim|un|limln
(1)0
nn
n
.故所给级数收敛且条件
收敛.【7】
4、解:
z11
(fyf)0yff
1212
xyy
,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【3】
2
zx11x
fy[fxf()]f[fxf()]
1111222221222
xyyyyy
1x
fxyfff
11122322
yy
.
【7】
222
5、解:
的方程为
zaxy,在xOy面上的投影区域为
2222
D{(x,y)|xyah}.
xy
又
1
22222
zzaaxy,⋯..⋯⋯⋯【3】
xy
故
dSadxdy22d
2ah
ad
22222
00
zaxya
D
xy
22
ah
1
22
2aln(a)2aln
2
0
a
h
..
【7】
三、【9分】解:
设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点,则点M到原点的距离为
222
dxyz⋯⋯【1】
令
22222
L(x,y,z)xyz(zxy)(xyz1),
L2x2x0
x
则由
L2y2y0
y
L2z0
,解得
z
22
zxy
13
xy,z2m3.于是得到两个可能极
2
xyz1
值点
13131313
M(,,23),M(,,23).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【7】
12
2222
又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点
处取得.
故
dmax|OM2|953,dmin|OM1|953.⋯⋯【9】
四、【10分】解:
记L与直线段OA所围成的闭区域为D,则由格林公式,得
xx2
I?
eymdxeymxdymdma.⋯⋯⋯⋯⋯⋯【5】
2(sin)(cos)
8LOAD
而
a
xx
I1(esinym)dx(ecosymx)dym0dxma⋯⋯⋯⋯【8】
OA
L
xx2
(esinym)dx(ecosymx)dyIImama.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21
8
⋯【10】
五、【10分】解:
n
an31
n1,收敛区间为(3,3)⋯⋯⋯⋯
limlimR3
n1
nn
an133
n
【2】
1
又当x3时,级数成为
nn
1
1
,发散;当x3时,级数成为
nn
1
n
,收敛.⋯⋯【4】
故该幂级数的收敛域为3,3⋯⋯⋯【5】
令
sx
n
n
x
n
1n3
(3x3),则
n1
x1x111
n1
s(x)()
n
33331x/33x
n1n1
(|x|3)⋯⋯【8】
于是
xxdxx
s(x)s(x)dxln3xln3ln3x
x0
00
3
,
(3x3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.【10】
22
六、【10分】解:
取1为zxy的下侧,记与1所围成的空间闭区域为,
0
(1)
则由高斯公式,有
33222
Iòxdydzydzdxzdxdyxyzdv⋯⋯⋯⋯.⋯【5】
222316
1
2
211
2
6ddzdz2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯【7】
000
而
3322
I2xdydz2ydzdx3z1dxdy3z1dxdy3dxdy3⋯.⋯
1
11
22
xy
1
【9】
II2I123.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯【10】
七、【6分】解:
2t22
Ftdsindrcosfrrdr⋯.⋯【2】
4
000
4
t
8
22
t
0
22
rfrdr⋯.⋯【4】
故
3
t
22
22tf(t)
Ft22222
2
limlimlimf(t)a.
32
t3t33
t0t0t0
【6】
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