数学对象可以用不同的结构来表示汇总.docx
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数学对象可以用不同的结构来表示汇总
§5.1格
数学对象可以用不同的结构来表示。
格就是一种可以用代数或关系来表示的数学对象。
我们先用代数结构来定义格。
5.1.1定义格L是非空集合,和是L上两个二元运算。
(1)幂等律任给xL,都有
xx=x,xx=x。
(2)结合律任给x,y,zB,都有
(xy)z=x(yz),(xy)z=x(yz)。
(3)交换律任给x,yB,都有
xy=yx,xy=yx。
(4)吸收律任给x,yB,都有
(xy)y=y,(xy)y=y。
当,是已知或不必指出时,简称L是一个格。
由结合律,多个元素作交或并时可以省略括号。
吸收律刻画了两种运算和的关系,由吸收律还能得到以下重要关系
5.1.2定理L是格,任给x,yL,都有
xy=x当且仅当xy=y。
证如果xy=x,则y=(xy)y=(xy)(yy)=xy。
如果xy=y,则x=(xy)x=(xx)(yx)=xy。
■
以下是格的一些例子。
5.1.3例幂集P(s)的对于和封闭的子集是格,称为集格。
5.1.4例在单元集{a}上定义和如下:
aa=a,aa=a,
则<{a},,>是格,称为单元格。
单元格上的和是唯一的。
5.1.5例正逻辑系统Pm的公理是:
(1)|()。
(2)|(())()()。
(3)|。
(4)|。
(5)|()()()。
(6)|。
(7)|。
(8)|()()()。
推演规则是分离规则:
从和得到。
的定义是:
~=df()()。
令Form是Pm的所有公式的集合,因为在Pm中有:
(1)|;
(2)如果|,则|;
(3)如果|且|,则|。
所以可以在Form上定义等价关系~如下:
~=df|。
公式在等价关系~下的等价类记为[],取L是Form在等价关系~下的商集Form/~。
因为在Pm中有:
如果|且|,则
|,|,
所以可以在L上定义和如下:
[][]=[],[][]=[]
(1)|,|。
(2)|()(),|()()。
(3)|,|。
(4)|(),|()。
更一般地,对于Pm的任何扩充系统,都可以用同样的方法定义这样的格。
5.1.6定理L是格,定义L上二元关系如下:
xy=dfxy=x,
则是L上偏序关系。
证
(1)自返性。
任给xL,都有xx=x,因此xx。
(2)反对称性。
任给x,yL,如果xy且yx,则
xy=x且yx=y,
因此x=xy=yx=y。
(3)传递性。
任给x,y,zL,如果xy且yz,则
xy=x且yz=y,
所以
xz=(xy)z=x(yz)=xy=x,
因此xz。
■
由定理5.1.2,xy当且仅当xy=y。
5.1.7定理L是格,是如上定义的偏序关系。
(1)任给x,yL,都有xyx且xyy。
(2)任给x,y,zL,如果zx且zy,则zxy。
(3)任给x,yL,都有xxy且yxy。
(4)任给x,y,zL,如果xz且yz,则xyz。
证
(1)因为(xy)x=(yx)x=y(xx)=xy,
(xy)y=(xy)y=x(yy)=xy,。
(2)如果zx且zy,则
zx=z且zy=z,
所以
z(xy)=(zx)(zy)=zz=z,
因此zxy。
(3)(4)类似于
(1)
(2),使用xy当且仅当xy=y。
■
由定理5.1.7可知,在这个偏序关系下,xy就是{x,y}的上确界,xy就是{x,y}的下确界。
设L是偏序结构,如果L的任何两个元素都有上确界和下确界,在L上定义和如下:
xy={x,y}的下确界,xy={x,y}的上确界,
则
因此,也可以用任何两个元素都有上确界和下确界的偏序结构来定义格。
详细定义如下:
(1)(xL)(xx)。
(2)(x,yL)(xyyxx=y)。
(3)(x,y,zL)(xyyzxz)。
(4)(x,yL)(aL)(xaya(zL)(xzyzaz))。
(5)(x,yL)(bL)(bxby(zL)(zxzyzb))。
(1)
(2)(3)是说
可以证明:
(4)中a和(5)中b都是唯一的,所以可以在这样定义的格中引进两个二元运算:
:
L×LL(x,y)=a(由(4)确定的唯一的a),
:
L×LL(x,y)=a(由(5)确定的唯一的b),
则
以下讨论中仍用格的代数定义,但同时使用偏序关系。
5.1.8例全序集的任何两个元素都有上确界和下确界,所以任何非空全序集都可以形成格。
5.1.9例G是群,L={H|H是G的子群},L在集合的包含关系下是一个偏序集,两个子群H和K的下确界是HK,上确界是HK生成的子群,所以如果在L上定义和如下:
HK=HK,HK=HK生成的子群,
则
5.1.10定义子格
是一个格,则称S是L的子格。
SL,S是L的子格的充要条件是:
任给x,yS,都有xyS且xyS。
5.1.11例L是L的子格,不等于L的子格称为真子格。
5.1.12例L是格,a,bL,ab,令
[a,b]={x|axb},
因为任给x,y[a,b],都有
axb且ayb,
由定理5.1.7得
axyb且axyb,
所以
xy,xy[a,b]。
因此[a,b]是L的子格,称为由a和b确定的闭子格。
[a,a]就是单元格{a}。
类似地可定义由a确定的上开子格[a)={x|ax}和由b确定的下开子格。
(b]={x|xb},
5.1.13定理L是格,是L的子格的集合,即任给S,S都是L的子格,则:
(1)是L的子格。
(2)如果单调的,则是L的子格。
■
由定理5.1.13
(1),可定义由X所生成的子格,其中
={S|XS且S是L的子格}。
格的同态和同构就是一般代数结构的同态和同构,格的同态基本定理就是一般代数结构的同态基本定理,简单重述如下:
5.1.14定理同态基本定理
取等价关系如下:
ab当且仅当(a)=(b),
则是正规的等价关系,因此可以构造商格
■
成立分配律的格称为分配格。
分配律是指:
任给x,y,zL,都有
x(yz)=(xy)(xz),x(yz)=(xy)(xz)。
5.1.15例分配格的子格是分配格
5.1.16例全序集形成的格是分配格。
5.1.17定理L是分配格,x,yL。
如果存在aL,使得
ax=ay,ax=ay,
则x=y。
证x=x(ax)=x(ay)=(xa)(xy)
=(ya)(xy)=y(ax)=y(ay)=y。
■
集格都是分配格。
在同构的意义上,分配格都是集格。
5.1.18定义滤L是格,F是L的非空子集。
如果F满足:
(1)任给x,yL,如果xF且yF,则xyF;
(2)任给x,yL,如果xF且xy,则yF。
则称F是L的滤。
5.1.19定理L是格,是L的滤的集合,即任给F,F都是L的滤,则:
(1)是L的滤。
(2)如果单调的,则是L的滤。
■
如果X,则由定理5.1.19的
(1),可以定义由X所生成的滤,其中={F|F且F是L的滤},可以证明由X所生成的滤是
{y|存在x1,…,xnX,使得x1…xny}。
aL,由{a}生成的滤就是上开子格[a)。
F是L的滤,aL,由F{a}生成的滤是
{x|存在uI,使得uax}。
5.1.20定义素滤L是格,P是L的真滤。
如果任给x,yL,都能从xyF推出xF或yF,则称F是素滤。
素滤有以下基本性质。
5.1.21定理L是格,P是L的素滤,则:
(1)任给x,yL,都有xyP当且仅当xP且yP。
(2)任给x,yL,都有xyP当且仅当xP或yP。
证
(1)如果xP且yP,则xyP。
如果xyP,则由xyx得xP,由xyy得yP。
(2)如果xyP,则xP或yP。
如果xP或yP,则由xxy和yxy得xyP。
■
5.1.22定理L是分配格,F是滤,bF,xyF。
令F1是由F{x}生成的滤,F2是由F{y}生成的滤,则bF1或bF2。
证反证法。
设bF1且bF2,则存在uF,vF,使得
uxb且vyb,
所以
uvxb且uvyb,uvF
所以
(uvx)(uvy)b,
由分配律得
(uv)(xy)b,
因此bF,矛盾。
■
5.1.23定理素滤存在定理L是一个分配格,任给a,bL,如果ba,则存在素滤P,使得aP且bP。
证令={F|F是滤,aF且bF},由a生成的滤[a),所以非空,任给是单调的,则F=是滤,并有aF且bF,所以F。
由Zorn引理,有极大元P,证明P是素滤。
任给xyP,令F1是由P{x}生成的滤,F2是由P{y}生成的滤,则由定理5.1.22得bF1或bF2,所以F1或F2,由P是极大元得F1=P或F2=P,因此xP或yP。
■
5.1.24定理L是格,令s={P|P是L的素滤},任给xL,令x*={P|Ps且xP},则:
(1)任给x,yL,都有(xy)*=x*y*。
(2)任给x,yL,都有(xy)*=x*y*。
证首先由x*的定义得Px*当且仅当xP。
(1)P(xy)*当且仅当xyP
当且仅当(xP且yP)
当且仅当(Px*且Py*)
当且仅当Px*y*。
所以(xy)*=x*y*。
(2)P(xy)*当且仅当xyP
当且仅当(xP或yP)
当且仅当(Px*或Py*)
当且仅当Px*y*。
所以(xy)*=x*y*。
■
3.6.19定理分配格表示定理任何分配格都同构于集格。
证设分配格为
:
LP(s)(x)=x*,
先证明是单射,
任给x,yL,如果xy,则xyxy,由定理5.1.23得存在素滤P,使得xyP且xyP,所以
Px且Py,或Py且Px,
因此x*y*,即(x)(y)。
取集格<[L],,>,则是L到[L]的双射,再证明是L到[L]的同构。
(xy)=(xy)*=x*y*=(x)(y),
(xy)=(xy)*=x*y*=(x)(y)。
■
习题3.4
5.1.1L是格,证明:
(1)任给x,yL,都有xy当且仅当xyxy。
(2)任给x,y,zL,都有
(xy)(xz)x(yz),x(yz)(xy)(xz)。
5.1.2证明定理5.1.13。
5.1.3证明全序集形成的格是分配格。
5.1.4证明定理5.1.19。
5.1.5X,证明{y|存在x1,…,xnX,使得x1…xny}是一个滤。
5.1.6F是L的滤,aL,证明由F{a}生成的滤是
{x|存在uI,使得uax}。
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