一元二次方程专题复习讲义知识点考点题型总结材料haouseok.docx
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一元二次方程专题复习讲义知识点考点题型总结材料haouseok
一元二次方程专题复习
'、知识结构:
解与解法
元二次方程根的判别
韦达定理
、考点精析
、概念
⑴定义:
①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是.2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
2
⑵一般表达式:
axbxc0(a0)
⑶难点:
如何理解“未知数的最高次数是2
1该项系数不为“0”;
2未知数指数为“2”;
3若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:
例1、-
■下列方程中是关于
x的一兀二次方程的是(
)
A
3x
12
2
x
1
B
11cc
220xx
C
2ax
bx
c
0
D
x2xx1
变式:
:
当k
时,
关于x
的方程kx2
2
2xx23是一元二次方程。
例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程,则m的值为。
针对练习:
2
★1、方程8x7的一次项系数是,常数项是。
★2、若方程m2x向10是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程m1x2m?
x1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()
22
例2、关于x的一元二次方程a2xxa40的一个根为0,则a的值为。
2
例3、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb,则此方程必有一根
为。
例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根,b,c是方程y8y5m0的两个根,
贝Um的值为。
针对练习:
★1、已知方程x2kx100的一根是2,则k为,另一根是
x1
★2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程3的解相同。
x1
⑴求k的值;⑵方程的另一个解。
22
★3、已知m是方程xx10的一个根,则代数式mm
29
★★4、已知a是x3x10的根,贝U2a6a。
★★5、方程abxbcxca0的一个根为()
A1B1CbcDa
★★★6、若2x5y30,则4x?
32y
、解法
⑴方法:
①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法
⑵关键点:
降次
2
类型一、直接开方法:
xmm0,x
..m
2
※※对于xam,axm
2
bxn等形式均适用直接开方法
典型例题:
2
例1、解方程:
12x80;
2
22516x=0;
31x290;
22
例2、若9x116x2,则x的值为
针对练习:
下列方程无解的是()
222
A.x32x1B.x20C.2x31x
D.x290
类型二、因式分解法:
XX1xX20
xx1,或xx2
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为
※方程形式:
如
2
axm
2
bxn,xaxb
xaxc,x22axa20
例1、2xx
35
x3
的根为(
Ax
5
B
x
3
2
例2、若4x
2y
34X
y
4
变式1:
a
b22
2a
b2
6
典型例题:
)
5
Cx1,x23
2
Dx
2
5
0,则4x+y的值为
o
o
0,则a2b2
变式2:
若xy2xy
30,则x+y的值为
变式3:
若x2
xy
y
14,y2
xy
x
28,则x+y的值为
2
例3、方程x
x6
0的解为(
)
A.3,x2
2
B.
x13,x2
2
C.
%
3,X2
3D.
例4、解方程:
x22
x31x
2.3
4
0
例5、已知2x2
3xy
2y20,则
xy
的值为
。
x12,x22
★1、
2x2
3xy2y2
0,且x0,y
0,则
x
F列说法中:
①方程x2px
0的二根为治,X2,则
px
q(xxj(xX2)
②x26x8
(x2)(x4).③a25ab
6b2(a
2)(a3)
④x2y
(x
y)(‘x.y)(xy)
⑤方程(3x
1)2
0可变形为(3x1.7)(3x1
7)
正确的有(
A.1个
B.2
C.3个
D.4个
★2、以1
.7为根的一元二次方程是()
2
A.x2x60
2
B.x2x60
y22y60
2
D.y2y60
且两根互为倒数:
★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为
且两根互为相反数:
★★4、若实数x、y满足xy3xy20,则x+y的值为()
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
、21
5、方程:
x22的解是。
x
★★★6、已知6^xy-6y20,且x0,y0,求—:
的值。
』3xy
2
★★★、方程1999X19982000X1
0的较大根为r,方程2007x22008x10的较小根为s,
贝Us-r的值为
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
已知x、y为实数,求代数式x2
2
y2x4y7的最小值。
例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。
例3、
2
已知x
y
y4x6y130,x、y实数,求x的值。
例4、
分解因式:
2
4x12x3
针对练习:
2
★★1、试用配方法说明10x7x4的值恒小于0。
—“2111
★★2、已知x2x40,则x
xxx
★★★3、若t2、3x212x9,则t的最大值为,最小值为。
★★★4、如果abJC—114—22Jb14,那么a2b3c的值为
类型四、公式法
⑴条件:
a0,且b24ac0
■2
b一b4ac
a
2a
例2、如果x
32
x10,那么代数式x2x7的值。
例2、在实数范围内分解因式:
2j222
(1)x2、2x3;
(2)4x8x1.⑶2x4xy5y
_2
说明:
①对于二次三项式axbxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,
2
一般情况要用求根公式,这种方法首先令axbxc=0,求出两根,再写成
2
axbxc=a(xxj(xX2).
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去
类型五、“降次思想”的应用
典型例题:
例1、选择适当方法解下列方程:
2
例3、已知a是一元二次方程x3x1
0的一根,求
2a25a
a21
1的值。
例4、用两种不同的方法解方程组
2xy6,
(1)
x25xy6y20.
(2)
说明:
解二元二次方程组的具体思维方法有两种:
①先消元,再降次;②先降次,再消元。
但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.
2
考点四、根的判别式b4ac
根的判别式的作用:
1定根的个数;
2求待定系数的值;
3应用于其它。
典型例题:
例1、若关于x的方程x22、kx10有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
2__
例2、关于x的方程m1x2mxm0有实数根,则m的取值范围是()
A.m0且m1B.m0C.m1D.m1
2
例3、已知关于x的方程xk2x2k0
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
例5、m为何值时,方程组
2
x
mx
2y2
y
a
6,有两个不同的实数解?
有两个相同的实数解?
3.
例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式,试求
针对练习:
2
★1、当k时,关于x的二次三项式xkx9是完全平方式。
2
★2、当k取何值时,多项式3x4x2k是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
2
★3、已知方程mxmx20有两个不相等的实数根,则m的值是.
ykx2,
★★4、k为何值时,方程组2
y24x2y10.
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
★★★S、当k取何值时,方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数?
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题:
2
例1、关于x的方程m1x2mx30
⑴有两个实数根,则m为,
⑵只有一个根,则m为。
例2、不解方程,判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
22
例3、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根,问这两方程
是否有相同的根?
若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“握手”问题;⑵“利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题
典型例题:
1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?
2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?
3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计
11
划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少-,第三年比第二年减少一,该产品第一年收入资
32
1
金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,还要盈利-,要实现这一目标,该产品
3
收入的年平均增长率约为多少?
(结果精确到0.1,、133.61)
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售
出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,
销售单价应定为多少?
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不
能,请说明理由。
(3)两个正方形的面积之和最小为多少?
6、A、B两地间的路程为36千米甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时
30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.
bc
0、②0时,才能用韦达定理。
c0而言,当满足①
X1X2
aa
(1)求k的取值范围;
k的值;若不存在,请说明理由。
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出
例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得
到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗?
其正确解应
该是多少?
2
例4、已知ab,a2a1
变式:
右a
2a
10,
b2
例5、已知
2
是方程X
X
针对练习:
X
y3,
⑴
1、解方程组
2
2
X
y5
⑵
2.已知a
7a
4,b2
7b
2
0,b22b10,求ab
ab
2b10,则的值为
ba—
4
10的两个根,那么3
4(ab),求'av的值。
2
3、已知x「X2是方程x
32
x90的两实数根,求X17X23X266的值。
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