利用导数证明不等式精选多篇.docx
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利用导数证明不等式精选多篇
利用导数证明不等式(精选多篇)
利用导数证明不等式 没分都没人答埃。
。
觉得可以就给个好评!
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边,然后将这个式子令为一个函数f.对这个函数求导,判断这个函数这各个区间的单调性,然后证明其最大值大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln
设函数f=x-ln
求导,f’=1-1/=x/>0
所以f在上为增函数
f>f=1-ln2>o
所以x>ln=a-a
f’=1-2a
当00;当1/2
因此,fmin=f=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明:
不等式x-x/6
先证明sinx
因为当x=0时,sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数,那么它一定 求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数,它在0点有最大值0,
知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时,它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它 要证x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系,令x=0时,x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0sinx
x²/2-cosx-1是减函数,在0点有最大值0
x²/2-cosx-10
所以x-x³/6-sinx是减函数,在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式x-x²>0,x∈成立
令f=x-x²x∈
则f’=1-2x
当x∈时,f’>0,f单调递增
当x∈时,f’ 故f的最大值在x=1/2处取得,最小值在x=0或1处取得
f=0,f=0
故f的最小值为零
故当x∈f=x-x²>0。
i、m、n为正整数,且1
克维教育中考、高考培训专家铸就孩子辉煌的未来
函数与导数
核心考点五、利用导数证明不等式
一、函数类不等式证明
函数类不等式证明的通法可概括为:
证明不等式f?
g的问题转化为证明f?
g?
0,进而构造辅助函数h?
f?
g,然后利用导数证明函数h的单调性或证明函数h的最小值大于或等于零。
例1、已知函数f?
lnx?
ax2?
x
讨论函数f的单调性;
设a?
0,证明:
当0?
x?
111时,f?
f;aaa
若函数f的图像与x轴交于a、b两点,线段ab中点的横坐标为x0,
证明:
f`?
0
已知函数f?
ln?
x,求证:
恒有1?
1?
ln?
x成立。
x?
1
xx?
0,证明:
e?
1?
x
x2
?
lnx?
0时,求证:
x?
2
二、常数类不等式证明
常数类不等式证明的通法可概括为:
证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式f?
f的问题,在根据a,b的不等式关系和函数f的单调性证明不等式。
例2、已知m?
n?
e,,求证:
n?
m
例3、已知函数f?
ln?
求f的极小值;
若a,b?
0,求证:
lna?
lnb?
1?
mnx,1?
xba
已知f?
lnx,g?
127,直线l与函数f、g的x?
mx?
22
图像都相切,且与函数f的图像的切点的横坐标为1.
求直线l的方程及m的值;
若h?
f?
g?
,求函数h的最大值;当0?
b?
a时,求证:
f?
f?
b?
a.2a
求证:
b?
ab?
lnba?
b?
aa
1?
x)?
x?
0证明:
ln求证:
2?
2?
?
?
2?
23n2
当t?
1时,证明:
1?
?
lnt?
t?
11t
x21,各项不为零的数列?
an?
满足4sn?
f?
1,已知函数f?
an2
1n?
11求证:
?
?
ln?
?
;an?
1nan
设bn?
?
1,tn为数列?
bn?
的前n项和,求证:
t2014?
1?
ln2014?
t2014。
an
导数的应用-利用导数证明不等式
1、利用导数判断函数的单调性;
2、利用导数求函数的极值、最值;
引言:
导数是研究函数性质的一种重要工具.例如:
求函数的单调区间、求函数的最大值、求函数的值域等等.然而,不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查,更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时,如能根据不等式的特点,恰当地构造函数,运用导数证明或判断该函数的单调性,出该函数的最值;由当该函数取最大值时不等式都成立,可得该不等式恒成立,从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题,可使问题迎刃而解.因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.
三、例题分析
1、利用导数得出函数单调性来证明不等式
x2例1:
当x>0时,求证:
x?
<ln.2
x2x2’证明:
设f=x?
-ln,则f=?
.21?
x
’∵x>0,∴f x2所以x>0时,f 小结:
把不等式变形后构造函数,然后用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.
随堂练习:
课本p32:
b组第一题第3小题
2、利用导数解决不等式恒成立问题
1例2.已知函数f?
aex?
x22
若f在r上为增函数,求a的取值范围;
若a=1,求证:
x>0时,f>1+x
解:
f′=aex-x,
∵f在r上为增函数,∴f′≥0对x∈r恒成立,
即a≥xe-x对x∈r恒成立
记g=xe-x,则g′=e-x-xe-x=e-x,
当x>1时,g′<0,当x<1时,g′>0.
知g在上为增函数,在上为减函数,
∴g在x=1时,取得最大值,即gmax=g=1/e,∴a≥1/e,
即a的取值范围是’?
lnx?
lna?
x.22
当0?
x?
a时,f’?
0,因此f在内为减函数.
当x?
a时,f’?
0,因此f在上为增函数.
从而当x?
a时,f有极小值f.
因为f?
0,b?
a,所以f?
0,即g?
g?
2g?
0.2又设g?
f?
ln2.则g’?
lnx?
lna?
x?
ln2?
lnx?
ln.
当x?
0时,g’?
0.因此g在上为减函数.
因为g?
0,b?
a,所以g?
0,即g?
g?
2g?
ln2.2
综上结论得证。
对于看起来无法下手的一个不等式证明,对其巧妙地构造函数后,运用导数研
究了它的单调性后,通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.
四、课堂小结
1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数,然后用导数判断该函数的单调性或求出最值,达到证明不等式的目的;
2、利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到;
3、学会观察不等式与函数的内在联系,学会变主元构造函数再利用导数证明不等式;
总之,无论是证明不等式,还是解不等式,我们都可以构造恰当的函数,利用到函数的单调性或最值,借助导数工具来解决,这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.
五、思维拓展
ax2
x?
e;已知函数f?
e?
x?
1,g?
2x求证:
当a?
1时对于任意正实数x,f的图象总不会在g图象的上方;
对于在上任意的a值,问是否存在正实数x使得f?
g成立?
如果存在,求出符合条件的x的一个取值;否则说明理由。
导数的应用
--------利用导数证明不等式
教学目标:
1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式
2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力;教学重点:
利用导数证明不等式
教学难点:
利用导数证明不等式
教学过程:
一、复习回顾
1、利用导数判断函数的单调性;
2、利用导数求函数的极值、最值;
二、新课引入
引言:
导数是研究函数性质的一种重要工具.例如:
求函数的单调区间、求函数的最大值、求函数的值域等等.然而,不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查,更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时,如能根据不等式的特点,恰当地构造函数,运用导数证明或判断该函数的单调性,出该函数的最值;由当该函数取最大值时不等式都成立,可得该不等式恒成立,从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题,可使问题迎刃而解.因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.
三、新知探究
1、利用导数得出函数单调性来证明不等式
x2例1:
当x>0时,求证:
x?
<ln.2
x2x2’证明:
设f=x?
-ln,则f=?
.21?
x
’∵x>0,∴f x2所以x>0时,f 小结:
把不等式变形后构造函数,然后用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.
随堂练习:
课本p32:
b组第一题第3小题
2、利用导数解决不等式恒成立问题
1例2.已知函数f?
aex?
x22
若f在r上为增函数,求a的取值范围;
若a=1,求证:
x>0时,f>1+x
解:
f′=aex-x,
∵f在r上为增函数,∴f′≥0对x∈r恒成立,
即a≥xe-x对x∈r恒成立
记g=xe-x,则g′=e-x-xe-x=e-x,
当x>1时,g′<0,当x<1时,g′>0.
知g在上为增函数,在上为减函数,
∴g在x=1时,取得最大值,即gmax=g=1/e,∴a≥1/e,
即a的取值范围是’?
lnx?
lna?
x.22
当0?
x?
a时,f’?
0,因此f在内为减函数.
当x?
a时,f’?
0,因此f在上为增函数.
从而当x?
a时,f有极小值f.
因为f?
0,b?
a,所以f?
0,即g?
g?
2g?
0.2又设g?
f?
ln2.则g’?
lnx?
lna?
x?
ln2?
lnx?
ln.
当x?
0时,g’?
0.因此g在上为减函数.
因为g?
0,b?
a,所以g?
0,即g?
g?
2g?
ln2.2
综上结论得证。
对于看起来无法下手的一个不等式证明,对其巧妙地构造函数后,运用导数研究了它的单调性后,通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.
四、课堂小结
1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数,然后用导数判断该函数的单调性或求出最值,达到证明不等式的目的;
2、利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到;
3、学会观察不等式与函数的内在联系,学会变主元构造函数再利用导数证明不等式;
总之,无论是证明不等式,还是解不等式,我们都可以构造恰当的函数,利用到函数的单调性或最值,借助导数工具来解决,这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.
五、思维拓展
ax2
x?
e;已知函数f?
e?
x?
1,g?
2x求证:
当a?
1时对于任意正实数x,f的图象总不会在g图象的上方;
对于在上任意的a值,问是否存在正实数x使得f?
g成立?
如果存在,求出符合条件的x的一个取值;否则说明理由。
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
技巧精髓
1、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
一、利用题目所给函数证明
已知函数f?
ln?
x,求证:
当x?
?
1时,恒有
1?
1?
ln?
xx?
1
分析:
本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数
1?
1,从其导数入手即可证明。
x?
1
1xf?
?
?
1?
?
x?
1x?
1g?
ln?
∴当?
1?
x?
0时,f?
?
0,即f在x?
上为增函数
当x?
0时,f?
?
0,即f在x?
上为减函数
故函数f的单调递增区间为,单调递减区间
于是函数f在上的最大值为fmax?
f?
0,因此,当x?
?
1时,f?
f?
0,即ln?
x?
0∴ln?
x,现证左面,令g?
ln?
11x1?
?
?
1,则g?
?
22x?
1x?
1
当x?
时,g?
?
0;当x?
时,g?
?
0,
即g在x?
上为减函数,在x?
上为增函数,
故函数g在上的最小值为gmin?
g?
0,
1?
1?
0x?
1
11∴ln?
1?
,综上可知,当x?
?
1时,有?
1?
ln?
xx?
1x?
1
如果f是函数f在区间上的最大值,则有f?
f,
那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证.∴当x?
?
1时,g?
g?
0,即ln?
2、直接作差构造函数证明
已知函数f?
图象的下方;
第1页共4页122x?
lnx.求证:
在区间上,函数f的图象在函数g?
x3的23
分析:
函数f的图象在函数g的图象的下方?
不等式f?
g问题,12212x?
lnx?
x3,只需证明在区间上,恒有x2?
lnx?
x3成立,设2323
1f?
g?
f,x?
,考虑到f?
?
06
要证不等式转化变为:
当x?
1时,f?
f,这只要证明:
g在区间是增函数即可。
21设f?
g?
f,即f?
x3?
x2?
lnx,32即
1则f?
?
2x?
x?
=xx2
当x?
1时,f?
=x
从而f在上为增函数,∴f?
f?
∴当x?
1时g?
f?
0,即f?
g,
故在区间上,函数f的图象在函数g?
1?
0623x的图象的下方。
3
本题首先根据题意构造出一个函数,
并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。
读者也可以设f?
f?
g做一做,深刻体会其中的思想方法。
3、换元后作差构造函数证明
111都成立.?
nn2n3
1分析:
本题是山东卷的第问,从所证结构出发,只需令?
x,则问题转化为:
当x?
0时,恒n证明:
对任意的正整数n,不等式ln?
有ln?
x?
x成立,现构造函数h?
x?
x?
ln,求导即可达到证明。
令h?
x?
x?
ln,322332
13x3?
2
?
则h?
?
3x?
2x?
在x?
上恒正,x?
1x?
12
所以函数h在上单调递增,∴x?
时,恒有h?
h?
0,
即x?
x?
ln?
0,∴ln?
x?
x
对任意正整数n,取x?
32231111?
,则有ln?
2?
3nnnn
我们知道,当f在上单调递增,则x?
a时,有f?
f.如果f=?
,要证明当x?
a时,f?
?
,那么,只要令f=f-?
,就可以利用f的单调增性来推导.也就是说,在f可导的前提下,只要证明f’?
0即可.
4、从条件特征入手构造函数证明
若函数y=f在r上可导且满足不等式xf?
>-f恒成立,且常数a,b满足a>b,求
证:
.af>bf
由已知xf?
+f>0∴构造函数f?
xf,
则f?
xf?
+f>0,从而f在r上为增函数。
‘
?
a?
b∴f?
f即af>bf
由条件移项后xf?
?
f,容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数f?
xf,
求导即可完成证明。
若题目中的条件改为xf?
?
f,则移项后xf?
?
f,要想到
是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。
21、设a?
0,f?
x?
1?
lnx?
2alnx
求证:
当x?
1时,恒有x?
lnx?
2alnx?
1,
2、已知定义在正实数集上的函数2
f?
52122x?
2ax,g?
3a2lnx?
b,其中a>0,且b?
a?
3alna,22
求证:
f?
g
3、已知函数f?
ln?
恒有lna?
lnb?
1?
x,求证:
对任意的正数a、b,1?
xb.a
4、f是定义在上的非负可导函数,且满足xf?
?
f≤0,对任意正数a、b,若a af≤bfaf≤f
1、提示:
f?
?
1?
∴bf≤afbf≤f2lnx2a2lnx,当x?
1,a?
0时,不难证明?
?
1xxxf?
?
0,即f在内单调递增,故当x?
1时,
2f?
f?
0,∴当x?
1时,恒有x?
lnx?
2alnx?
1
3a21222、提示:
设f?
g?
f?
x?
2ax?
3alnx?
b则f?
?
x?
2a?
x2
=?
a?
0,∴当x?
a时,f?
?
0,x
故f在上为减函数,在上为增函数,于是函数f在上的最小值
是f?
f?
g?
0,故当x?
0时,有f?
g?
0,即f?
g
3、提示:
函数f的定义域为,f?
?
11x?
?
221?
x
∴当?
1?
x?
0时,f?
?
0,即f在x?
上为减函数
当x?
0时,f?
?
0,即f在x?
上为增函数
因此在x?
0时,f取得极小值f?
0,而且是最小值x1,即ln?
1?
1?
x1?
x
a1bab令1?
x?
?
0,则1?
?
1?
于是ln?
1?
bx?
1aba
b因此lna?
lnb?
1?
a于是f?
f?
0,从而ln?
xf’?
fff4、提示:
f?
,f?
?
,故在上是减函数,由?
0f?
2xxx
a?
b有ff?
?
af≤bf故选ab
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