华师大版九年级下《2713圆周角》同步练习含答案解析.docx
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华师大版九年级下《2713圆周角》同步练习含答案解析
华师大版数学九年级下册第27章27.1圆的认识3.圆周角
同步练习
一、选择题
1.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是( )
A.80°B.160°C.100°D.80°或100°
答案:
D
解析:
解答:
如图,∵∠AOC=160°,
∴∠ABC=
∠AOC=
×160°=80°,
∵∠ABC+∠AB′C=180°,
∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°.
∴∠ABC的度数是:
80°或100°.
故选:
D.
分析:
首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.
2.如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=( )
A.80°B.90°C.100°D.无法确定
答案:
B
解析:
解答:
∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,
∴∠AOB=∠ACB,
∵∠AOB=90°,
∴∠ACB=90°.
故选B.
分析:
由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.
3.如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为( )
A.15°B.18°C.20°D.28°
答案:
B
解析:
解答:
连结OB,如图,∠BOC=2∠A=2×72°=144°,
∵OB=OC,
∴∠CBO=∠BCO,
∴∠BCO=
(180°-∠BOC)=
×(180°-144°)=18°.
故选B.
分析:
连结OB,如图,先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数.
4.如图,BC是⊙O的直径,点A是⊙O上异于B,C的一点,则∠A的度数为( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
答案:
D
解析:
解答:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠A=90°.
故选D.
分析:
利用直径所对的圆周角为直角判断即可.
5.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为( )
A.68°B.88°C.90°D.112°
答案:
B
解析:
解答:
如图,∵AB=AC=AD,
∴点B、C、D在以点A为圆心,
以AB的长为半径的圆上;
∵∠CBD=2∠BDC,
∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,
∴∠CAD=2∠BAC,而∠BAC=44°,
∴∠CAD=88°,
故选B.
分析:
如图,作辅助圆;首先运用圆周角定理证明∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,结合已知条件∠CBD=2∠BDC,得到∠CAD=2∠BAC,即可解决问题.
6.如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,∠BOD=48°,则∠BAC的大小是( )
A.60°B.48°C.30°D.24°
答案:
D
解析:
解答:
∵直径AB⊥CD,
∴
,
∴∠BAC=
∠BOD=
×48°=24°.
故选D.
分析:
先根据垂径定理得到
,然后根据圆周角定理求解.
7.如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°
答案:
C
解析:
解答:
作OD⊥AB,如图,
∵点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,
∴OD=1,
∴∠OAB=30°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AEB=
∠AOB=60°,
∵∠E+∠F=180°,
∴∠F=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.
故选C.
分析:
作OD⊥AB,如图,利用垂线段最短得OD=1,则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°,根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,则可根据圆周角定理得到∠AEB=
∠AOB=60°,根据圆内接四边形的性质得∠F=120°,所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.
8.如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )
A.80°B.100°C.110°D.130°
答案:
D
解析:
解答:
连接OC,如图所示,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=40°,
∴∠BOC=100°,
∵∠1+∠BOC=360°,
∴∠1=260°,
∵∠A=
∠1,
∴∠A=130°.
故选:
D.
分析:
连接OC,然后根据等边对等角可得:
∠OCB=∠OBC=40°,然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°,然后根据周角的定义可求:
∠1=260°,然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数.
9.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( )
A.25°B.50°C.60°D.30°
答案:
A
解析:
解答:
∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=50°,
∴∠BAC=25°,
∵AC∥OB,
∴∠BAC=∠B=25°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠B=25°,
故选:
A.
分析:
由圆周角定理求得∠BAC=25°,由AC∥OB,∠BAC=∠B=25°,由等边对等角得出∠OAB=∠B=25°,即可求得答案.
10.如图,△ABD的三个顶点在⊙O上,AB是直径,点C在⊙O上,且∠ABD=52°,则∠BCD等于( )
A.32°B.38°C.52°D.66°
答案:
B
解析:
解答:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABD=52°,
∴∠A=90°-∠ABD=38°;
∴∠BCD=∠A=38°.
故选:
B.
分析:
由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ADB的度数,继而求得∠A的度数,又由圆周角定理,即可求得答案.
11.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则∠BOD的度数是( )
A.25°B.30°C.40°D.50°
答案:
D
解析:
解答:
∵在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,
∴
,
∴∠DOB=2∠C=50°.
故选:
D.
分析:
由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C,得到答案.
12.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
答案:
C
解析:
解答:
连接OB,
∵∠ACB=25°,
∴∠AOB=2×25°=50°,
由OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO,
∴∠BAO=
(180°-50°)=65°.
故选C.
分析:
连接OB,要求∠BAO的度数,只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°,然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得.
13.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为( )
A.50°B.80°C.100°D.130°
答案:
D
解析:
解答:
∵∠BOD=100°,
∴∠BAD=100°÷2=50°,
∴∠BCD=180°-∠BAD
=180°-50°
=130°
故选:
D.
分析:
首先根据圆周角与圆心角的关系,求出∠BAD的度数;然后根据圆内接四边形的对角互补,用180°减去∠BAD的度数,求出∠BCD的度数是多少即可.
14.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
答案:
D
解析:
解答:
∵OA=OC,∠ACO=45°,
∴∠OAC=45°,
∴∠AOC=180°-45°-45°=90°,
∴∠B=
∠AOC=45°.
故选D.
分析:
先根据OA=OC,∠ACO=45°可得出∠OAC=45°,故可得出∠AOC的度数,再由圆周角定理即可得出结论.
15.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,分别连接AC、BC、CD、OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=( )
A.20°B.30°C.40°D.70°
答案:
A
解析:
解答:
∵∠DOB=140°,
∴∠AOD=40°,
∴∠ACD=
∠AOD=20°,
故选:
A.
分析:
根据∠DOB=140°,求出∠AOD的度数,根据圆周角定理求出∠ACD的度数.
二、填空题
16.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,若∠AOC=80°,则∠B=.
答案:
40°
解析:
解答:
∵∠AOC=80°,
∴∠B=
∠AOC=40°.
故答案为:
40°
分析:
直接根据圆周角定理求解.
17.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=°.
答案:
100°
解析:
解答:
∵∠A+∠C=180°,
∴∠A=180°-130°=50°,
∴∠BOD=2∠A=100°.
故答案为:
100.
分析:
先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°-∠C=50°,然后根据圆周角定理求∠BOD.
18.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为.
答案:
50°
解析:
解答:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.
故答案为:
50°.
分析:
根据圆周角定理得到∠ACB=90°,然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数.
19.如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出以下五个结论:
①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧
是劣弧
的2倍;⑤AE=BC,其中正确的序号是.
答案:
①②④
解析:
解答:
连接AD,AB是直径,
则AD⊥BC,
又∵△ABC是等腰三角形,
故点D是BC的中点,即BD=CD,故②正确;
∵AD是∠BAC的平分线,
由圆周角定理知,∠EBC=∠DAC=
∠BAC=22.5°,故①正确;
∵∠ABE=90°-∠EBC-∠BAD=45°=2∠CAD,故④正确;
∵∠EBC=22.5°,2EC≠BE,AE=BE,∴AE≠2CE,③不正确;
∵AE=BE,BE是直角边,BC是斜边,肯定不等,故⑤错误.
综上所述,正确的结论是:
①②④.
故答案是:
①②④.
分析:
根据圆周角定理,等边对等角,等腰三角形的性质,直径对的圆周角是直角等知识,运用排除法逐条分析判断.
20.如图,点A,B,C是⊙O上的点,AO=AB,则∠ACB=度.
答案:
150°
解析:
解答:
∵点A,B,C是⊙O上的点,AO=AB,
∴OA=OB=AB,
∴△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠BAC+∠ABC=30°,
∴∠ACB=150°,
故答案为:
150
分析:
根据AO=AB,且OA=OB,得出△OAB是等边三角形,再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°,解答即可.
三、解答题
21.在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
答案:
解答:
(1)连结OQ,如图1,
∵PQ∥AB,OP⊥PQ,
∴OP⊥AB,
在Rt△OBP中,∵tan∠B=
,
∴OP=3tan30°=
,
在Rt△OPQ中,∵OP=
,OQ=3,
∴PQ=
;
(2)连结OQ,如图2,
在Rt△OPQ中,PQ=
,
当OP的长最小时,PQ的长最大,
此时OP⊥BC,则OP=
OB=
,
∴PQ长的最大值为
=
.
解析:
分析:
(1)连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=
,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=
;
(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=
,则当OP的长最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=
OB=
,所以PQ长的最大值=
.
22.如图,AB是⊙O的弦,∠OAB=20°,求弦AB所对的圆周角的度数.
答案:
解答:
∵AO=BO,
∴∠OBA=∠OAB=20°,
∴∠AOB=180°-20°-20°=140°,
∴弦AB所对的圆周角的度数是:
140°÷2=70°;
∵弦AB所对的优弧的度数为:
360°-140°=220°,
∴弦AB所对的圆周角的度数是:
220°÷2=110°;
综上,可得弦AB所对的圆周角的度数是70°或110°.
解析:
分析:
首先根据AO=BO,可得∠OBA=∠OAB=20°,然后根据三角形的内角和定理,判断出∠AOB=180°-20°-20°=140°,最后根据圆周角定理,判断出弦AB所对的圆周角是多少即可.
23.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,以AC为直径画⊙O交BC于点D,交AB于点E,连接CE.
(1)求证:
BD=CD;
(2)求CE的长.
答案:
解答:
连结AD,如图,
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD;
(2)解:
在Rt△ADC中,∵AC=13,CD=
BC=5,
∴AD=
=12,
∵AC为直径,
∴∠AEC=90°,
∴
CE•AB=
AD•BC,
∴CE=
.
解析:
分析:
(1)连结AD,如图,根据圆周角定理得到∠ADC=90°,而AB=AC,则根据等腰三角形的性质可得BD=CD;
(2)先利用勾股定理计算出AD=12,然后利用面积法计算CE的长.
24.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:
∠A=∠AEB;
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:
△ABE是等边三角形.
解析:
分析:
(1)根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°,进而得到∠A=∠DCE,然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB,进而可得∠A=∠AEB;
(2)首先证明△DCE是等边三角形,进而可得∠AEB=60°,再根据∠A=∠AEB,可得△ABE是等腰三角形,进而可得△ABE是等边三角形.
25.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证:
∠1=∠2.
答案:
解答:
(1)解:
∵BC=DC,
∴∠CBD=∠CDB=39°,
∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°;
(2)证明:
∵EC=BC,
∴∠CEB=∠CBE,
而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,
∵∠BAE=∠CBD,
∴∠1=∠2.
解析:
分析:
(1)根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°,再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°;
(2)根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE,再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE,则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,加上∠BAE=∠CBD,所以∠1=∠2.
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