冀教版数学七年级下册11章专项训练试题及答案.docx
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冀教版数学七年级下册11章专项训练试题及答案
专训1 因式分解的七种常见应用
名师点金:
因式分解是整式的恒等变形的一种重要形式,它与整式的乘法是两个互逆的过程,是代数恒等变形的重要手段,在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用.
用于简便计算
1.利用简便方法计算:
23×2.718+59×2.718+18×2.718.
2.计算:
20182-4038×2018+20192.
用于化简求值
3.已知x-2y=3,x2-2xy+4y2=11.求下列各式的值:
(1)xy;
(2)x2y-2xy2.
用于判断整除
4.随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数,把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数,并用较大的两位数减去较小的两位数,所得的差一定能被9整除吗?
为什么?
用于判断三角形的形状
5.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状.
用于比较大小
6.已知A=a+2,B=a2+a-7,其中a>2,试比较A与B的大小.
用于解方程(组)
7.已知大正方形的周长比小正方形的周长多96cm,大正方形的面积比小正方形的面积多960cm2.请你求这两个正方形的边长.
用于探究规律
8.观察下列各式:
12+(1×2)2+22=9=32,
22+(2×3)2+32=49=72,
32+(3×4)2+42=169=132,….
你发现了什么规律?
请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来,并说明理由.
答案
1.解:
23×2.718+59×2.718+18×2.718
=(23+59+18)×2.718
=100×2.718
=271.8.
2.解:
20182-4038×2018+20192
=20182-2×2018×2019+20192
=(2018-2019)2
=1.
3.解:
(1)∵x-2y=3,∴x2-4xy+4y2=9,
∴(x2-2xy+4y2)-(x2-4xy+4y2)=11-9,
即2xy=2,∴xy=1.
(2)x2y-2xy2=xy(x-2y)=1×3=3.
4.解:
所得的差一定能被9整除.理由如下:
不妨设该两位数个位上的数字是b,十位上的数字是a,且a>b,则这个两位数是10a+b,将十位数字与个位数字对调后的数是10b+a,则这两个两位数中,较大的数减较小的数的差是(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b),所以所得的差一定能被9整除.
5.解:
∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.
又∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
即a=b=c,∴△ABC为等边三角形.
6.解:
B-A=a2+a-7-a-2
=a2-9
=(a+3)(a-3).
因为a>2,所以a+3>0,
从而当2<a<3时,a-3<0,所以A>B;
当a=3时,a-3=0,所以A=B;
当a>3时,a-3>0,所以A<B.
点拨:
根据a的取值范围分类讨论是正确解此题的关键.
7.解:
设大正方形和小正方形的边长分别为xcm,ycm,
根据题意,得
由①得x-y=24,③
由②得(x+y)(x-y)=960,④
把③代入④得x+y=40,⑤
由③⑤得方程组
解得
答:
大正方形的边长为32cm,小正方形的边长为8cm.
点拨:
根据目前我们所学的知识,还无法解方程组
但是我们可以利用因式分解,把这个问题转化为解关于x,y的二元一次方程组的问题.
8.解:
规律:
n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
理由如下:
n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
=[n(n+1)]2+2n2+2n+1
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
=[n(n+1)+1]2.
专训2 因式分解的六种常见方法
名师点金:
因式分解的常用方法有:
(1)提公因式法;
(2)公式法;(3)提公因式法与公式法的综合运用.在对一个多项式因式分解时,首先应考虑提公因式法,然后考虑公式法.对于某些多项式,如果从整体上不能利用上述方法因式分解,还要考虑对其进行分组、拆项、换元等.
提公因式法
公因式是单项式的因式分解
1.若多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2,则另一个因式是( )
A.3y+4x-1B.3y-4x-1
C.3y-4x+1D.3y-4x
2.【中考·广州】分解因式:
2mx-6my=__________.
3.把下列各式分解因式:
(1)2x2-xy;
(2)-4m4n+16m3n-28m2n.
公因式是多项式的因式分解
4.把下列各式分解因式:
(1)a(b-c)+c-b;
(2)15b(2a-b)2+25(b-2a)2.
公式法
直接用公式法
5.把下列各式分解因式:
(1)-16+x4y4;
(2)(x2+y2)2-4x2y2;
(3)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.
先提再套法
6.把下列各式分解因式:
(1)(x-1)+b2(1-x);
(2)-3x7+24x5-48x3.
先局部再整体法
7.分解因式:
(x+3)(x+4)+(x2-9).
先展开再分解法
8.把下列各式分解因式:
(1)x(x+4)+4;
(2)4x(y-x)-y2.
分组分解法
9.把下列各式分解因式:
(1)m2-mn+mx-nx;
(2)4-x2+2xy-y2.
拆、添项法
10.分解因式:
x4+
.
整体法
“提”整体
11.分解因式:
a(x+y-z)-b(z-x-y)-c(x-z+y).
“当”整体
12.分解因式:
(x+y)2-4(x+y-1).
“拆”整体
13.分解因式:
ab(c2+d2)+cd(a2+b2).
“凑”整体
14.分解因式:
x2-y2-4x+6y-5.
换元法
15.分解因式:
(1)(a2+2a-2)(a2+2a+4)+9;
(2)(b2-b+1)(b2-b+3)+1.
答案
1.B 2.2m(x-3y)
3.解:
(1)原式=x(2x-y).
(2)原式=-4m2n(m2-4m+7).
点拨:
如果一个多项式第一项含有“-”,一般将“-”一并提出,但要注意括号里面的各项要改变符号.
4.解:
(1)原式=a(b-c)-(b-c)=(b-c)(a-1).
(2)原式=15b(2a-b)2+25(2a-b)2=5(2a-b)2(3b+5).
点拨:
将多项式中的某些项变形时,要注意符号的变化.
5.解:
(1)原式=x4y4-16=(x2y2+4)(x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+2)(xy-2).
(2)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.
(3)原式=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4.
点拨:
因式分解必须分解到不能再分解为止,如第
(2)题不能分解到(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)就结束了.
6.解:
(1)原式=(x-1)-b2(x-1)
=(x-1)(1-b2)
=(x-1)(1+b)(1-b).
(2)原式=-3x3(x4-8x2+16)
=-3x3(x2-4)2
=-3x3(x+2)2(x-2)2.
7.解:
原式=(x+3)(x+4)+(x+3)(x-3)
=(x+3)[(x+4)+(x-3)]
=(x+3)(2x+1).
点拨:
解此题时,表面上看不能分解因式,但通过局部分解后,发现有公因式可以提取,从而将原多项式因式分解.
8.解:
(1)原式=x2+4x+4=(x+2)2.
(2)原式=4xy-4x2-y2=-(4x2-4xy+y2)=-(2x-y)2.
点拨:
通过观察发现不能直接分解因式,但运用整式乘法法则展开后,便可以运用公式法因式分解.
9.解:
(1)原式=(m2-mn)+(mx-nx)
=m(m-n)+x(m-n)
=(m-n)(m+x).
(2)原式=4-(x2-2xy+y2)
=22-(x-y)2
=(2+x-y)(2-x+y).
10.解:
原式=x4+x2+
-x2
=
-x2
=
(x2-x+
).
点拨:
此题直接分解因式很困难,考虑到添加辅助项使其符合公式特征,因此将原式添上x2与-x2两项后,便可通过分组使其符合乘法公式的结构特征,从而将原多项式进行因式分解.
11.解:
原式=a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(a+b-c).
12.解:
原式=(x+y)2-4(x+y)+4
=(x+y-2)2.
点拨:
本题把x+y这一整体当作完全平方公式中的字母a.
13.解:
原式=abc2+abd2+cda2+cdb2
=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(bc+ad)(ac+bd).
点拨:
本题“拆”开原式中的两个整体,重新分组,可谓“柳暗花明”,出现转机.
14.解:
原式=(x2-4x+4)-(y2-6y+9)
=(x-2)2-(y-3)2
=(x+y-5)(x-y+1).
点拨:
这里巧妙地把-5拆成4-9.“凑”成(x2-4x+4)和(y2-6y+9)两个整体,从而运用公式法分解因式.
15.解:
(1)设a2+2a=m,
则原式=(m-2)(m+4)+9
=m2+4m-2m-8+9
=m2+2m+1
=(m+1)2
=(a2+2a+1)2
=(a+1)4.
(2)设b2-b=n,
则原式=(n+1)(n+3)+1
=n2+3n+n+3+1
=n2+4n+4
=(n+2)2
=(b2-b+2)2.
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