专题15 立体几何中的向量方法教学案高考数学理考纲解读与热点难点突破原卷版.docx
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专题15立体几何中的向量方法教学案高考数学理考纲解读与热点难点突破原卷版
【2019年高考考纲解读】
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.
【重点、难点剖析】
1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0..
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
2.空间角的计算
(1)两条异面直线所成的角
设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=
(其中φ为异面直线a,b所成的角).
(2)直线和平面所成的角
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=
.
(3)二面角
如图所示,二面角α-l-β,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,〈n1,n2〉=θ,则二面有α-l-β的大小为θ或π-θ.
3.用向量法证明平行、垂直问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面.
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题.
(3)根据运算结果解释相关问题.
4.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系
(1)求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,而不是线面角的余弦;
(2)求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析.
【题型示例】
题型一 向量法证明平行与垂直
例1、如图,在直三棱柱ADE-BCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的
中点,O为DF的中点,运用向量方法证明:
(1)OM∥平面BCF;
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
【方法技巧】利用空间向量证明平行与垂直的步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;
(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系;
(4)根据运算结果解释相关问题.
【变式探究】如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:
EF∥平面PAB;
(2)求证:
平面PAD⊥平面PDC.
【感悟提升】用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
【变式探究】如图,在直三棱柱ADE—BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,点O为DF的中点.运用向量方法证明:
(1)OM∥平面BCF;
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
【变式探究】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.
(1)求证:
EF⊥BC;
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
【感悟提升】
(1)空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:
一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量法来论证,而用向量法证明空间线线、线面、面面平行或垂直时,实质上转化成直线的方向向量与平面的法向量之间的关系.
(2)用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证,而直接算就行了,把几何问题代数化.尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷.但是向量法要求计算必须准确无误.
【变式探究】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
【规律方法】证明平行、垂直关系时,若用传统的几何法,难以找出问题与条件的关系时,可采用向量法,但向量法要求计算必须准确无误,利用向量法的关键是正确求平面的法向量.
【变式探究】如图,在直三棱柱ADEBCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点.求证:
(1)OM∥平面BCF;
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
题型二 利用向量求空间角
【例2】[2018·天津卷]如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:
MN∥平面CDE;
(2)求二面角EBCF的正弦值;
(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
【举一反三】[2018·全国卷Ⅱ]如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【方法技巧】
(1)利用空间向量求空间角的一般步骤
①建立恰当的空间直角坐标系.
②求出相关点的坐标,写出相交向量的坐标.
③结合公式进行论证、计算.
④转化为几何结论.
(2)[警示] 求空间角注意:
①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cosα=|cosβ|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值,即注意函数名称的变化.
【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=
AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.
【变式探究】如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.
【变式探究】如图所示,在多面体A1B1D1DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.
(1)证明:
EF∥B1C.
(2)求二面角EA1DB1的余弦值.
【举一反三】如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=
.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=
,CE=2EB=2.
(1)证明:
DE⊥平面PCD;学-科网
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
【感悟提升】
1.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤
(1)建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求出相关点的坐标;(3)写出向量坐标;(4)结合公式进行论证、计算;(5)转化为几何结论.
2.利用空间向量求空间角的思路
(1)异面直线所成的角θ,可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cosφ|;
(2)直线与平面所成的角θ主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;
(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.
提醒:
当通过二面角的两个面的法向量求解时,其中一个法向量可从题中与该面垂直的直线的方向向量得到,而不必都求.
【变式探究】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2
,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=
.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
【规律方法】异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值;线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值;二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定.
题型三 利用空间向量解决探索性问题
要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:
如果存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由,这类问题常用“肯定顺推”的方法.
【例3】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是边长为2的等边三角形,直线PB与底面ABCD所成的角为45°,PA=2CD,PD=
,E是棱PD的中点.
(1)求证:
CD⊥AE;
(2)在棱PB上是否存在一点T,使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,请指出T的位置;若不存在,请说明理由.
【方法技巧】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断;解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
【变式探究】在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=AD=1,AB=2,∠PAD=45°,E是PA的中点,F在线段AB上,且满足
·
=0.
(1)求证:
DE∥平面PBC;
(2)求二面角F-PC-B的余弦值;
(3)在线段PA上是否存在点Q,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是
,若存在,求出AQ的长;若不存在,请说明理由.
【感悟提升】空间向量最适合解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法.
【变式探究】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,点P为棱B1C1的中点,点Q为线段A1B上一动点.学科=网
(1)求证:
当点Q为线段A1B的中点时,PQ⊥平面A1BC;
(2)设
=λ
,试问:
是否存在实数λ,使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,求出这个实数λ;若不存在,请说明理由.
【举一反三】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:
BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
【感悟提升】
(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的论证推理,只需通过坐标运算进行判断,但对运算有较高要求,运算结论要准确.
(2)解题时,注意把要成立的结论做为已知条件,据此列方程或方程组,把存在性问题转化为“点的坐标是否存在,在限制范围内是否有解”等,因此把空间问题转化为运算问题,使问题的解决变的简单更有效.
(3)利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:
①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.
【变式探究】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:
B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?
若存在,求AP的长;若不存在,说明理由;
(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
【规律方法】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断;解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
【变式探究】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:
AA1⊥平面ABC;
(2)求证:
二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(3)证明:
在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求
的值.
题型四 空间距离
例4.(2015·江苏,22)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=
,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;学_科网
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
【变式探究】(2015·山东,17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
真正的才智是刚毅的志向。
——拿破仑
感情有着极大的鼓舞力量,因此,它是一切道德行为的重要前提,谁要是没有强烈的志向,也就不能够热烈地把这个志向体现于事业中。
——凯洛夫
勇敢坚毅真正之才智乃刚毅之志向。
——拿破仑
生活赋予我们一种巨大的和无限高贵的礼品,这就是青春:
充满着力量,充满着期待志愿,充满着求知和斗争的志向,充满着希望信心和青春。
——奥斯特洛夫斯基
志向不过是记忆的奴隶,生气勃勃地降生,但却很难成长。
——莎士比亚
人所缺乏的不是才干而是志向,不是成功的能力而是勤劳的意志。
——部尔卫
当教师把每一个学生都理解为他是一个具有个人特点的、具有自己的志向、自己的智慧和性格结构的人的时候,这样的理解才能有助于教师去热爱儿童和尊重儿童。
——赞科夫
人的理想志向往往和他的能力成正比。
——约翰逊
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