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第十四第一次函数
第十四章 一次函数
教材内容
本章主要内容包括:
变量与函数的概念,函数的三种表示法,正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用;用函数的观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。
教材首先从5个具有实际背景的问题入手,通过填表和列式认识常量和变量的主要特征,归纳出这些问题中变量间关系的共同特点,接着用心电图、人口统计表等问题对这种关系进行了补充和强化,在此基础上,教材给出了函数的概念,这个定义突出了变化与对应的思想,是对函数最基本、最朴素的刻画,紧接着讨论了函数图象的概念,函数图象的画法,最后指出了函数有三种常见的表示法。
在对函数概念初步讨论后,转入对一种具体的函数即一次函数的讨论。
首先讨论了特殊的一次函数——正比例函数的概念、图象和性质,为讨论一般的一次函数奠定了基础,接着用同样的方法讨论了一次函数的概念、图象和性质,最后通过函数的三种不同形式,讨论了一次函数本身以及它的简单应用,初步反映了以一次函数为数学模型解决实际问题的过程。
最后一节,从“数”和“形”的角度讨论了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的关系,从而为解决上述三个数学对象提供了新的思想和方法,进而加深了对已学的相关内容之间联系的认识,这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
教学目标
[知识与技能]1、结合实例了解常量和变量的概念,体会“变化与对应”的意思,了解函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),能利用图象分析简单的函数关系。
2、理解正比例函数和一次函数的概念,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的基本性质,能利用这些函数分析和解决简单的实际问题。
3、通过讨论一次函数与方程(组)及不等式的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程(组)及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系。
[过程与方法]1、以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题的过程”,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
2、通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现与函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
3、通过画函数的图象及用函数的图象探究函数的性质,体验数与形的内在联系,渗透数形结合的思想。
4、经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力。
[情感与态度]1、通过对变量与函数、一次函数的教学,向学生渗透特殊与一般的辩证唯物主义思想;2、通过画图象,引导学生领略图象所显示的数学美,激发学生学习的兴趣;3、通过运用函数知识解决实际问题,让学生体会数学来源于生活,又能为社会服务,发展学生的应用能力。
4、经历函数与方程(组)、不等式关系问题的探索过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
重点难点
函数的概念,一次函数的图象、性质及应用,用函数的观点看待方程(组)和不等式是重点;理解函数的概念,一次函数性质的探索,一次函数图象的应用,函数与方程(组)和不等式的关系是难点。
课时分配
14.1变量……………………………………………1课时
14.2函数……………………………………………4课时
14.3一次函数………………………………………5课时
14.4用函数的观点看方程(组)与不等式………3课时
本章小结……………………………………………课时
14.1变量与函数
(一)
〔教学目标〕1、了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量和变量;2、在具体情景中领悟函数的意义,理解函数的概念。
〔重点难点〕函数概念的形成过程是重点;正确理解函数的概念是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
我们生活在一个不断变化的世界中,行星在宇宙中的位置随时间而变化;人体细胞的个数随年龄而变化,气温随海拔而变化,汽车行驶的里程随时间而变化……
看下面的例子:
汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.
请同学们填写下表:
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
我们看到,在这个过程中,有些量是变化的,有些量是不变的,这些量之间有着怎样的本质联系呢?
二、常量与变量
这种现象是大量存在的。
我们先来思考下面的两个问题:
1、每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?
早场电影票房收入:
150×10=1500(元)
日场电影票房收入:
205×10=2050(元)
晚场电影票房收入:
310×10=3100(元)
关系式:
y=10x
2、要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?
圆的面积为20cm2呢?
怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?
面积为10cm2的圆半径r=
面积为20cm2的圆半径r=
关系式:
r=
上面的问题反映了不同事物的变化过程,想一想,哪些量是不变的?
哪些量是变化的?
在引例中速度是不变的,时间和路程是变化的,在问题1中票价是不变的,售票的张数与票房收入是变化的;在问题2中,圆周率
是不变的,半径和面积是变化的。
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable),数值始终不变的量为常量(constant).
下面我们来做两个实验:
1、在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10㎝,每1㎏重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度l?
改变悬挂重物的重量,观察弹簧长度的变化:
挂1kg重物时弹簧长度:
1×0.5+10=10.5(cm)
挂2kg重物时弹簧长度:
2×0.5+10=11(cm)
挂3kg重物时弹簧长度:
3×0.5+10=11.5(cm)
关系式:
l=0.5m+10
2、用10m长的绳子围成矩形,试改变矩形长度.观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律.设矩形的长度为xcm,面积为Scm2.怎样用含有x的式子表示S?
改变矩形的长度,观察面积的变化:
若长为1cm,则宽为5-1=4(cm)
面积S=1×4=4(cm2)
若长为2cm,则宽为5-2=3(cm)
面积S=2×(5-2)=6(cm2)
……
若长为xcm,则宽为5-x(cm)
面积S=x·(5-x)=5x-x2(cm2)
在上面的实验中,哪些量是常量?
哪些量是变量?
三、函数的概念
讨论:
在上面的问题中有几个变量?
同一个问题中的变量之间有什么联系?
有两个变量;一个变量随着另一个变量的变化而变化,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就随之确定一个值。
再看下面的问题,请你回答:
(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?
(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)吗?
中国人口数统计表
年份
人口数/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independentvariable),y是x的函数(function).如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
在上面所举人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数;当x=1999时,函数值y=12.52亿.
注意:
①函数是两个变量之间的关系,不是一个什么“数”;②对自变量每一个确定的值,函数都有唯一确定的值与之对应。
思考:
在关系式m=3n2中,m与n谁是自变量?
谁是函数?
为什么?
四、课堂练习
课本99面练习1、2题。
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识?
有什么收获?
1、什么是常量?
什么是变量?
2、什么是自变量?
什么是函数?
3、函数可以用什么来表示?
从上面所举的例子可以看出,函数可以用一个式子表示,可以用一个图象表示,可以用一个表格表示。
作业:
课本106面1、2、3题。
教学后记:
14.1变量与函数
(二)
〔教学目标〕1、进一步理解函数的概念,能根据条件列出简单的函数关系式;2、会确定自变量取值范围、求函数值。
〔重点难点〕列出简单的函数解析式是重点;确定自变量的取值范围是难点。
〔教学过程〕
一、复习导入
上节课我们学习了函数的概念,请大家回忆一下,什么是函数?
现在请大家在计算器上按照下面的程序进行操作:
填表:
x
1
3
-4
0
10
y
显示的数y是输入的数x的函数吗?
为什么?
y是x的函数,因为从计算结果可以看出,每输入一个x的值,操作后都有唯一一个y的值与其对应。
请大家再在计算器上按照下面的程序进行操作.
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果:
x
1
2
3
0
-1
y
3
5
7
2
-1
所按的第三、四两个键是哪两个键?
y是x的函数吗?
如果是,写出它的表达式(用含有x的式子表示y).
第三、四按键是
这两个键;因为每个x的值都有唯一一个y值与其对应,所以y是x的函数;关系式是:
y=2x+1.
我们知道,一般地,函数可以用一个解析式来表示,那么实际问题中的函数关系怎样用解析来表示呢?
下面我们通过一个例子来进行研究。
二、例题
例1求下函数中自变量的取值范围:
(1)y=2x-3;
(2)y=
;(3)y=
分析:
要使函数有意义,x必须满足什么条件?
解:
(1)自变量x的取值范围是全体实数;
(2)由1-2x≠0得x≠1/2
所以自变量的取值范围是x≠1/2的所有实数;
(3)由3x-4≥0得,x≥4/3
所以自变量的取值范围是x≥4/3的所有实数。
例2 一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系式.(2)指出自变量x的取值范围.(3)汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?
分析:
(1)在这个问题中,什么是自变量?
什么是自变量的函数?
函数关系是什么?
(2)自变量x的取值范围是什么?
它可以取负数吗?
(3)“汽车行驶200km”告诉我们什么?
“油桶中还有多少汽油”是要求什么?
解:
(1)行驶里程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,函数关系式为:
y=50-0.1x
(2)自变量x的取值范围是:
0≤x≤500
(3)当x=200时,y=50-0.1×200=30
所以汽车行驶200km时,油箱中还有30升汽油.
反思:
(1)怎样求函数的关系式?
求函数的关系就是列出关于两个变量的方程,再化成函数的表达式。
(2)怎样确定自变量的取值范围?
自变量的取值要使函数式有意义,对于实际问题,还应使实际问题有意义。
三、课堂练习
一个正方形的边长为5㎝,它的边长减少x㎝后得到的新的正方形的周长为y㎝,
(1)写出y与x的关系式,
(2)指出自变量的取值范围(3)当边长减少2㎝时,新的正方形的周长是多少?
四、课堂小结
1、这节课我们主要讨论了什么问题?
这节课我们在进一步明确函数概念的同时,讨论了怎样根据实际问题列函数关系式,确定自变量的取值范围,求函数值。
2、怎样确定自变量的取值范围?
作业:
课本106面4;108面8、9题。
教学后记:
14.1.3函数的图象
(一)
〔教学目标〕1、理解函数图象的意义,初步认识函数与图象的对应关系;2、能在平面坐标系内画出简单函数的图象。
〔重点难点〕画出简单函数的图象是重点;理解函数图象的概念是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
如图,是某日上证指数走势图,它反映了上证指数与时间的函数关系,你能写出它的关系式吗?
不能。
还有前面提到的人体生物电流与时间的函数关系也不能列出关系式。
N·
M·
事实上,有些问题中的函数关系很难列式子表示,但是可以用图来直观的反映。
即使对于能列式子表示的函数关系,如也能画图表示则会使函数关系更清晰。
那么怎样画函数图象呢?
二、函数图象的概念
从上面的图中,
(1)你知道11︰00时,上证指数是多少吗?
你是怎么知道的?
11︰00时,上证指数是1736.84;从水平方向对应的时间11︰00向上看,再从M点向右看,对应的1736.84就是此时的上证指数。
这就是说自变量和对应的函数值可以用平面上的一个点来表示。
(2)你知道点N表示的含义吗?
点N表示14︰30时,上证指数是1746.26。
这就是说,平面上的一个点可以表示自变量和它对应的函数值。
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph)。
三、画函数的图象
例 在下列式子中,对于x的每一确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数,画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5;
(2)y=6/x(x>0)
分析:
由函数图象的意义,你认为应该怎样画函数图象?
先计算出一些自变量和它对应的函数值,再把它们作为点的横、纵坐标在坐标系中描点,最后把这些点连接起来。
解:
(1)y=x+0.5
计算自变量和它对应的函数值,列表:
描点,连线。
(2)y=6/x(x>0)
计算自变量和它对应的函数值,列表:
描点,连线。
我们看到,函数y=x+0.5的图象是一条直线,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大;函数y=6/x(x>0)的图象是一条光滑的曲线,曲线从左向右下降,即当x由小变大时,y=6/x(x>0)随之减小。
反思:
描点法画函数图象的一般步骤是什么?
(1)列表;
(2)描点;(3)连线.
四、课堂练习
课本104面练习1题。
五、课堂小结
本节课我们讨论了函数的图象。
1、什么叫做函数的图象?
2、作函数图象的步骤是什么?
作业:
课本106面5题;108面10题;选做12题。
教学后记:
14.1.3函数的图象
(二)
〔教学目标〕学会观察图形,能从图象中获取有关信息,初步体会数形结合的思想。
〔重点难点〕从图象中获取有关信息.
〔教学过程〕
一、情景导入
下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化而变化,你从图象中得到了什么信息?
可以认为,上图表示气温T是时间t的函数。
(1)这一天中凌晨4时气温最低,是-3℃,14时气温最高,是8℃;
(2)从0时至4时气温呈下降状态,从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态;
(3)可以看出任何一个时刻气温的大小;
我们知道,根据函数关系式可以画出函数的图象,反之,从函数图象中我们可以获得有关信息。
二、从图象中获取信息
下面看一个例子。
例 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小名离他家的距离.
根据图象回答问题:
(1)菜地离小明家多远?
小明走到菜地用了多少时间?
;
(2)小明给菜地浇水用了多少时间?
(3)菜地离玉米地多远?
小明从菜地到玉米地用了多少时间?
(4)小明给玉米锄草用了多少时间?
(5)玉米地离小名家多远?
小明从玉米地走回家的平均速度是多少?
分析:
小明离家的距离y(纵轴)是时间x(横轴)的函数。
图中哪一段表示小明从家到菜地?
哪一段表示小明在浇水?
哪一段表示小明从菜地到玉米地?
哪一段表示小明在玉米地里锄草?
哪一段表示小明从玉米地里回到家中?
解:
(1)由纵坐标看出,菜地离小明家1.1千米;由横坐标看出,小明从家到菜地用了15分钟。
(2)由横坐标看出,小明给菜地浇水用了10分钟。
(3)由纵坐标看出,菜地离玉米地0.9千米;由横坐标看出,小明从菜地到玉米地用了12分钟。
(4)由横坐标看出,小明给玉米地锄草用了18分钟。
(5)由纵坐标看出,玉米地到小明家2千米;由横坐标看出,小明从玉米地回家用了25分钟,由此算出平均速度是0.08千米/分.
思考:
课本103面。
三、课堂练习
课本104面练习2、3题。
四、课堂小结
这节课我们讨论了什么问题?
你认为从图象中获取信息要弄清楚什么?
要弄清楚图象上点的意义,即横轴表示什么意义,纵轴表示什么意义。
作业:
课本107面6、7题.
教学后记:
第十四章第一阶段复习(14.1-3)
一、双基回顾
1、常量与变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终保持不变的量称为常量.
〔1〕多边形的内角和W与边数n的关系是:
,其中常量是 ,变量是 .
2、函数:
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
注意:
函数概念①有两个变量;②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化;③自变量的每一个确定值,函数有且只有一个值与之对应。
〔2〕下列变量关系不是函数关系的是 .
(1)长方形的宽一定,长与面积;
(2)长方形的周长与面积;(3)等腰三角形的底边与面积;(4)一天中的时刻与气温。
3、自变量的取值范围:
在一个函数关系式中,自变量的取值必须使函数解析式有意义,这就是函数自变量的取值范围。
在实际问题中,自变量的取值范围还应使实际问题有意义。
〔3〕函数
自变量的取值范围是 .
4、函数值:
y是x的函数,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
〔4〕已知函数y=-2x+3,当自变量是4时,函数值是 .
5、函数图象及画法:
对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
画函数图象的一般步骤:
①列表,②描点,③连线.
〔5〕下列各点中在函数y=3x-1的图象上的是( )
A.(1,-2)B.(-1,-4)C.(2,0)D.(0,1)
6、函数图象的应用:
从函数图象中获取信息,可以解决生活中的一些实际问题。
〔6〕一天,亮亮感冒发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感冒好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.图中能基本反映出亮亮这一天(0~24时)体温的变化情况的是()
二、例题导引
例1 已知等腰三角形的周长为12㎝,若底边长为y㎝,一腰长为x㎝,
(1)确定y与x之间的函数关系式;
(2)确定的取值范围;(3)画出函数的图象。
例2 已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去,下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系,请根据图象回答下列问题:
(1)甲地与乙地相距多少千米?
两个人分别用了几小时才到达乙地?
谁先到达了乙地?
早到多长时间?
(2)分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态.
(3)求摩托车行驶的平均速度.
三、练习提高
夯实基础
1、小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系是 ,其中常量是 ,变量是 .
2、下图分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()
3、已知函数y=2x-1中,当x=a时的函数值为3,则a=.
4、下列函数中,自变量的取值范围错误的是()
A.y=2x2中,x是全体实数B.y=
中,x≠-1
C.y=
中,x≥2 D.y=
,x≥-3
5、汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系及自变量的取值范围是()
A.S=120-30t(0≤t≤4)B.S=30t(0≤t≤4)
C.S=120-30t(t>0)D.S=30t(t=4)
6、已知函数y=4-2x,
(1)用描点法画出函数的图象;
(2)写出图象与坐标轴的交点坐标;(3)判断点P(2,1/2),Q(7/8,9/4)是否在这个函数的图象上,如果在,将它画在图象上。
7、弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:
x/kg
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
(1)请写出弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式;
(2)当挂重10千克时弹簧的总长是多少?
能力创新
8、如图,每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案,图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≤2)个棋子,每个图案的棋子总数为S,按图的排列规律推断S与n之间的函数关系式是___________.
9、如图,向高为H的圆柱形空水杯里注水,表示注水量y与水深x的关系的图象是()
10、学校创建多媒体教学中心,备有资金150万元,已分批购进电脑x台,每台电脑单价5000元,
(1)求所剩资金y(万元)与电脑台数x之间的函数关系,并求出自变量的取值范围;
(2)购入200台这种型号的电脑后还有备用资金多少?
(3)画出函数图象,并在上面标出
(2)的结果。
11、汽车的速度随时间变化的情况如图所示:
①这辆汽车的最高时速是多少?
②汽车在行驶了多长时间后停了下来,停了多长时间?
③汽车在第一次匀速行驶时共用了几分钟?
速度是多少?
在这段时间内,它走了多远?
探索创新
12、某气象中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程.开始时风速平均每小时增加2km,4h后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4km,一段时间内风速保持不变.当沙尘暴遇到绿色植被林时,其风速平均每小时减小1km,最终停止.结合风速与时间的图象,回答下列问题:
(1)在y轴()内填入相应的数值;
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少小时?
教学后记:
14.1.3函数的图象(三)
〔教学目标〕1、理解函数的三种表示方法,明确它们的优缺点;2、利用函数三种表示方法的优点解决有关的实际问题。
〔重点难点〕利用函数三种表示方法的优点解决有关的实际问题是重点;三种表示方法的相互转化是难点。
〔教学过程〕
一、直接导入
我们知道,函数可以用一个式子表示,也可以用一个图象表示,还可以用一个表格表示。
今天我们来研究函数的三种表示方法和它们的应用。
二、函数的三种表示方法
用式子表示函数关系的方法叫做解析法,表示函数的关系式通常称为解析式,用表格表示函数关系的方法叫做表格法,用图象表示函数关系的方法叫做图象法,这是函数常用的表示法。
从前面的例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点?
列表法直接给出部分函数值,比较具体,但不容易看出对应规律;
解析式清楚地表示对应规律,简明扼要,但比较抽象,且不是所有的函数都能列出解析式;
图象法明显的表示变化趋势,形象直观,但不精确。
表示函数时,
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- 第十四 第一次 函数