第五章习题及答案.docx
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第五章习题及答案
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。
CR1R2Ruu1rcuurcR2C(a)(b)题5-1图R-C网络R2K1RR12U(s)RK(s1)解(a)依图:
c211RC111U(s)Ts1Rr1RRC112sCTR1RR2112R1sCU(j)RjRRCK(1j)c21211G(j)aU(j)RRjRRC1jTr121211RRCU(s)2s1sC22c2(b)依图:
1T(RR)CU(s)Ts1RR212r212sCU(j)1jRC1jc22G(j)b1j(RR)C1jTU(j)122r5-2某系统结构图如题5-2图所示,试根据频率特性的物理意义,求下列输入信号作用时,系统的稳态输出和稳态误差c(t)e(t)ss
(1)r(t)sin2t
(2)r(t)sin(t30)2cos(2t45)题5-2图反馈控制系统结构图77
1解系统闭环传递函数为:
(s)s212(j)j频率特性:
22j2441幅频特性:
(j)24相频特性:
()arctan()21s1系统误差传递函数:
(s),e1G(s)s221则,(j)(j)arctanarctan()ee224
(1)当时,,r=12r(t)sin2tm21则(j2)arctan()45(j)0.35,2285(j)0.79,e28218.4(j2)arctane6cr(j2)sin(2t)0.35sin(2t45)ssmer(j2)sin(2t)0.79sin(2t18.4)ssmee1,r1时:
1m1
(2)当r(t)sin(t30)2cos(2t45)2,r22m251(j1)0.45(j1)arctan()26.552110(j1)0.63)18.4(j1)arctan(ee53c(t)r(j1)sin[t30(j1)]r(j2)cos[2t45(j2)]ssmm0.4sin(t3.4)0.7cos(2t90)e(t)r(j1)sin[t30(j1)]r(j2)cos[2t45(j2)]ssmeemee0.63sin(t48.4)1.58cos(2t26.6)5-3若系统单位阶跃响应78
4t9th(t)11.8e0.8et0试求系统频率特性。
11.80.8361解C(s),R(s)ss4s9s(s4)(s9)sC(s)36则(s)R(s)(s4)(s9)36频率特性为(j)(j4)(j9)5-4绘制下列传递函数的幅相曲线:
G(s)K/s
(1)2
(2)G(s)K/s3(3)G(s)K/sKKj()2
(1)G(j)e解j0,G(j0),G(j)0()2幅频特性如图解5-4(a)。
KKj()G(j)e
(2)22(j)G(j0)0,G(j)0,()幅频特性如图解5-4(b)。
3KKj()2G(j)e(3)图解5-433(j)G(j0)0,G(j)0,3()2幅频特性如图解5-4(c)。
5-5已知系统开环传递函数10G(s)H(s)2s(2s1)(s0.5s1)0.52试分别计算和时开环频率特性的幅值和相角。
A()()79
10解G(j)H(j)2j(1j2)((1j0.5)10A()22221
(2)
(1)(0.5)0.5()90arctan2arctan21A(0.5)17.8885A
(2)0.3835计算可得(0.5)153.435
(2)327.535-6试绘制下列传递函数的幅相曲线。
5G(s)
(1)(2s1)(8s1)10(1s)G(s)
(2)2s5G(j)解
(1)222(116)(10)10111G(j)tg2tg8tg2116取ω为不同值进行计算并描点画图,可以作出准确图形0三个特殊点:
①ω=0时,G(j)5,G(j)0②ω=0.25时,G(j)2,G(j)900③ω=∞时,G(j)0,G(j)180幅相特性曲线如图解5-6
(1)所示。
8x10410.830.620.410.200-0.2-1-0.4-2-0.6-3-0.8-4-1-1-9012345-8-7-6-5-4-3-2-10RealAxisRealAxis14x10图解5-6
(1)Nyquist图图解5-6
(2)Nyquist图2101G(j)
(2)280
10G(j)tg1800G(j),G(j)180两个特殊点:
①ω=0时,0G(j)0,G(j)90②ω=∞时,幅相特性曲线如图解5-6
(2)所示。
5-7已知系统开环传递函数K(Ts1)2;G(s)K,T,T012s(Ts1)1e1当时,,,单位速度稳态误差,试写出系G(j)0.51G(j)180ssv统开环频率特性表达式。
G(j)K(Ts1)2解:
G(s)s(Ts1)1K(Ts1)2绘制的幅相曲线,然后顺时针转180°即得到幅相曲线。
G(s)G(s)G(j)00s(Ts1)1的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。
的幅相曲线如图解5-7(c)所G(s)示。
e1K1KlimsG(s)K依题意有:
,,因此。
K1ssvvs0G(j1)arctanT90arctanT18021TT12arctanTarctanTarctan90121TT12TT1121TTj(TT)(TT)(1jT)(1jT)另有:
12121221G(j1)0.52221T1T1T12222T2T12TT2T12T0221222322T2TT2(T1)(T2)02222281
T1T0.5T2可得:
,,。
K11221j2所以:
G(j)j(1j0.5)5-8已知系统开环传递函数10G(s)2s(s1)(s1)试概略绘制系统开环幅相曲线。
解的零极点分布图如图解5-9(a)所示。
G(j)变化时,有0G(j0)90G(j1)135G
(1)315G(j)0360分析平面各零极点矢量随的变化趋势,可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)0s所示。
5-9绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。
2G(s)
(1);(2s1)(8s1)200G(s)
(2);2s(s1)(10s1)40(s0.5)G(s)(3)2s(s0.2)(ss1)20(3s1)G(s)(4)22s(6s1)(s4s25)(10s1)82
8(s0.1)G(s)(5)22s(ss1)(s4s25)2G(s)解
(1)(2s1)(8s1)图解5-9
(1)Bode图Nyquist图200G(s)
(2)2s(s1)(10s1)图解5-9
(2)Bode图Nyquist图83
40(s0.5)100(2s1)G(s)(3)2ss(s0.2)(ss1)2s
(1)(ss1)0.2图解5-9(3)Bode图Nyquist图20(3s1)G(s)(4)22s(6s1)(s4s25)(10s1)20(3s1)25G(s)2s42s(6s1)s1(10s1)255图解5-9(4)Bode图Nyquist图84
0.81s18(s0.1)250.1G(s)(5)22s(ss1)(s4s25)2142s(ss1)ss1525图解5-9(5)Bode图Nyquist图KG(s)G(s)5-10若传递函数,式中,为中,除比例和积分两种环G(s)G(s)0v0s节外的部分,试证1vK1式中,为近似对数幅频曲线最左端直线(或其延长线)与零分贝线交点的频率,如题5-110图所示。
K证依题意,G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为。
vs1KvK题意即要证明的对数幅频曲线与0db交点处的频率值。
因此,令1vs1KKv1vK,K20lg0,可得,故,证毕。
11vv(j)185
5-11三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题5-11图(a)、(b)和(c)所示。
要求:
(1)写出对应的传递函数;
(2)概略绘制对应的对数幅频和对数相频曲线。
题5-11图KG(s)解(a)依图可写出:
ss
(1)
(1)12其中参数:
,20lgKL()40dbK100100G(s)则:
11(s1)s1)(12图解5-11(a)Bode图Nyquist图86
sK
(1)21KG(s)(b)依图可写出01Cs2s
(1)2图解5-11(b)Bode图Nyquist图KsG(s)(c)ss
(1)
(1)231lgK,K20011图解5-11(c)Bode图Nyquist图87
5-12已知、和均为最小相角传递函数,其近似对数幅频曲线如题G(s)G(s)G(s)3125-12图所示。
试概略绘制传递函数G(s)G(s)12G(s)41G(s)G(s)23的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。
()20lg45.11LK解:
(1)11K1801G(s)K则:
11
(2)题5-12图()20lg20lg0.1110LKK3331K9,G(s)Ks3330.111K2G(s)(3)2ss
(1)0.8K220lgK/20lg0K1,221GG12()Gs(4)41GG2318G,G,GG(s)将代入得:
1234s(0.125s1)对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相曲线如图解5-12(b)所示:
图解5-12(a)Bode图(b)Nyquist图88
5-13试根据奈氏判据,判断题5-13图
(1)~(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。
已知曲线
(1)~(10)对应的开环传递函数分别为(按自左至右顺序)。
解题5-13计算结果列表闭环Z题备开环传递函数NP稳定性P2N号注KG(s)1不稳定0-12(Ts1)(Ts1)(Ts1)123KG(s)2稳定000s(Ts1)(Ts1)12KG(s)3不稳定0-122s(Ts1)K(Ts1)1G(s)(TT)4稳定000122s(Ts1)2KG(s)5不稳定0-123sK(Ts1)(Ts1)12G(s)6稳定0003sK(Ts1)(Ts1)56G(s)7稳定000s(Ts1)(Ts1)(Ts1)(Ts1)1234KG(s)(K1)8稳定1/201Ts11KG(s)(K1)9不稳定011Ts11KG(s)10不稳定-1/221s(Ts1)89
5-14已知系统开环传递函数,试根据奈氏判据,确定其闭环稳定的条件:
K;G(s)K,T0s(Ts1)(s1)
(1)时,值的范围;T2K
(2)时,值的范围;K10T(3)值的范围。
K,T2KK(1T)j(1T)解G(j)X()Y()222j(1j)(1jT)
(1)(1T)1令,解出,代入表达式并令其绝对值小于1Y()0X()T1KTX()11TT1T1得出:
或0K0TTK13
(1)时,;0KT221
(2)时,;K100T9(3)值的范围如图解5-14中阴影部分所示。
K,T5-15已知系统开环传递函数210(s2s5)G(s)(s2)(s0.5)试概略绘制幅相特性曲线,并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解作出系统开环零极点分布图如图解5-15(a)所示。
的起点、终点为:
G(j)G(j0)50180G(j)100与实轴的交点:
G(j)210(5j2)G(j)(2j)(0.5j)222210(5)
(1)3j(5.53.5)222
(1)(1.5)令可解出ImG(j)05.5/3.51.254090
代入实部ReG(j)4.0370概略绘制幅相特性曲线如图解5-15(b)所示。
根据奈氏判据有1ZP2N12()22所以闭环系统不稳定。
5-16某系统的结构图和开环幅相曲线如题5-16图(a)、(b)所示。
图中31s,H(s)G(s)22s(1s)(s1)试判断闭环系统稳定性,并决定闭环特征方程正实部根个数。
2sG(s)G(s)H(s)解内回路开环传递函数:
04(s1)G(j0)000G(j0)01800G(j)0180G(j)G(j)大致画出的幅相曲线如图解5-16所示。
可见不会00包围(-1,j0)点。
ZP2N0200000即内回路小闭环一定稳定。
内回路小闭环极点(即开环极点)在右半S平面的个数为0。
PZ00由题5-16图(b)看出:
系统开环频率特性包围(-1,j0)点的圈数N=-1。
根据劳斯判据ZP2NZ2N02
(1)21系统不稳定,有两个闭环极点在右半S平面。
91
5-17已知系统开环传递函数10G(s)2s(0.2s0.8s1)试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。
解作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。
21010[0.8j(10.2)]G(j)22j(1j0.2)(1j)
(1)(10.04)的起点、终点为:
G(j)G(j0)180G(j0)270G(j)0270limRe[G(j)]80幅相特性曲线与负实轴无交点。
由于惯性环节的时间常数,小于不稳定惯T0.2G(j)1性环节的时间常数,故呈现先增大后减小的变化趋势。
绘出幅相特性曲线如图T1()2解5-17(b)所示。
根据奈氏判据1ZP2N12()22表明闭环系统不稳定。
5-18已知单位反馈系统的开环传递函数,试判断闭环系统的稳定性。
10G(s)2ss(s1)
(1)40解作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。
当变化时,的G(j)变化趋势:
92
G(j0)0G(j0)90G(j2)153.4G(j2)333.4G(j)0360绘出幅相特性曲线如图解5-18(b)所示。
根据奈氏判据G(j)ZP2N02
(1)2表明闭环系统不稳定。
5-19反馈系统,其开环传递函数为100G(s)
(1)s(0.2s1)50G(s)
(2)(0.2s1)(s2)(s0.5)10G(s)(3)s(0.1s1)(0.25s1)s100
(1)2(4)G(s)sss(s1)
(1)1)(2010试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性,并确定系统的相角裕度和幅值裕度。
100100G(s)解
(1)ss(0.2s1)s
(1)593
510022.36C画Bode图得:
g00100180G(j)18090tg0.212.6C1hG()g图解5-19
(1)Bode图Nyquist图5050G(s)
(2)ss(0.2s1)(s2)(s0.5)
(1)
(1)(2s1)52画Bode图判定稳定性:
Z=P-2N=0-2×(-1)=2系统不稳定。
6由Bode图得:
c506.3G(j)1令:
解得ccc2c52gg1110G(j)tgtgtg21803.7令:
解得ggg52011010CCtg180G(j)180tgtg229.4C52gg222()1()1
(2)1g152h0.39150G()g94
图解5-19
(2)Bode图Nyquist图1010G(s)(3)sss(0.1s1)(0.25s1)s
(1)
(1)10404106.3250C画Bode图得:
系统临界稳定。
h14106.325g图解5-19(3)Bode图Nyquist图95
s100
(1)2(4)G(s)sss(s1)
(1)1)(201021.5c画Bode图得:
13.1g180()24.8ch0.3439.3(dB)系统不稳定。
图解5-19(4)Bode图5-20设单位反馈控制系统的开环传递函数,试确定相角裕度为45°时的α值.as1G(s)2s21(a)10G(j)(tga180)解2开环幅相曲线如图所示。
以原点为圆心作单位圆,在A点:
221acA()12c422a1即:
(1)cc00180()45要求相位裕度c1000即:
()tga18045180135cca1
(2)c1.19a0.84联立求解
(1)、
(2)两式得:
,。
c5-21系统中10G(s),H(s)1Kshs(s1)试确定闭环系统临界稳定时的K。
h解开环系统传递函数为10(1Ks)nG(s)H(s)s(s1)法
(一):
画伯特图如图解5-21所示96
图解5-2110(Kj1)nG(j)H(j)j(j1)00110(90180tg)tgK180临界稳定时ccnc110tgtgK90cncKcnc1Kcnc21K0nc1Kn2c3.16由Bode图cK0.1n10(1Kj)n()()u()jv()GjHj法
(二)j(j1)2K1)10(10(1K)nnv()u();22
(1)
(1)221K10(K1)0v()0令,则nn1
(1)Kn10(1K)n1u()又令2
(1)110(1K)
(1)代入
(1)得:
nKn210K9K10nn97
19121K,K1K解出:
(舍去)。
nnn102010K110故当1/秒,时,系统临界稳定。
n5-22若单位反馈系统的开环传递函数0.8sKeG(s)s1试确定使系统稳定的K的临界值。
Kj0.8G(j)e解1jKG(j)幅频特性为211j0.81()e0.8tg()相频特性为1j求幅相特性通过(-1,j0)点时的K值KG(j)1即
(1)211()G(j)0.8tg
(2)1tg0.8由
(2)式1tg(tg)tg(0.8)tg0.8tg0.8K1代入
(1):
21[tg(0.8)]2K1[tg(0.8)]sec0.82.45,K2.65解出:
c5-23设单位反馈系统的开环传递函数2s5seG(s)4(s1)试确定闭环系统稳定的延迟时间τ的范围。
25G(j)1解令
(1)22
(1)180010G(j)1804tg180
(2)215由
(1):
1.6180.618解得:
(舍去)1298
将ω=0.618代入
(2)式:
180013604tg解得:
τ=1.3686,由图可见:
当τ〈1.3686时,G(jω)不包围(-1,j0)点,所以的稳定范围是:
0<τ<1.36865-24某最小相角系统的开环对数幅频特性如题5-24图所示。
要求
(1)写出系统开环传递函数;
(2)利用相角裕度判断系统的稳定性;(3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程,试讨论对系统性能的影响。
解
(1)由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下:
10G(s)sss
(1)
(1)0.120
(2)系统的开环相频特性为()90arctanarctan0.120截止频率0.1101c相角裕度180()2.85c故系统稳定。
(3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程后,可得系统新的开环传递函数100G(s)ss(s1)
(1)200其截止频率1010c1c而相角裕度180()2.851c1故系统稳定性不变。
由时域指标估算公式可得1=o0.160.4
(1)oo1osinKK00t0.1tss110cc1所以,系统的超调量不变,调节时间缩短,动态响应加快。
5-25对于典型二阶系统,已知参数,,试确定截止频率和相角裕30.7cn度。
解依题意,可设系统的开环传递函数为99
2232.143nG(s
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