函数模型应用实例使用_精品文档.ppt
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函数模型的应用实例,例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。
(1)求图3.2-7中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;,解:
(1)阴影部分的面积为,501+801+901+751+651=360,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km,图3.2-7,
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应的图象。
这个函数的图象如图3.2-8所示,图3.2-7,从这个练习我们看到,在解决实际问题的过程中,图象函数是能够发挥很大的作用,因此,我们应当注意提高读图的能力。
另外,在本题中我们用到了分段函数,由此我们也知道,分段函数也是刻画现实问题的重要模型。
大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。
那么应该如何解函数的应用问题呢?
例2人口问题是当年世界各国普通关注的问题。
认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。
早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:
表3-8是19501959年我国的人口数据资料:
其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率。
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;,解:
(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r9.由,55196(1+r1)=56300,可得1951年的人口增长率r10.0200。
同理可得,,r20.0210,r30.0229,r40.0250,r50.0197,r60.0223,r70.0276,r80.0222,r90.0184,于是,19511959年期间,我国人口的年均增长率为,r=(r1+r2+r9)90.0221,令y0=55196,则我国在19501959年期间的人口增长模型为,根据表3-8中的数据作出散点图,并作出函数的图象(图3.2-9)。
由图3.2-9可以看出,所得模型与19511959年的实际人口数据基本吻合。
(2)如果按表3-8的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解:
将y=130000代入,由计算器可得,t38.76,所以,如果按表3-8的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。
由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力。
从以上的例子可以看到,用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同,因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。
因此,往往需要对模型进行修正。
例3、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,没桶装水的进价是5元。
销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
请根据以上数据作出分析,这个经营部那样定价才能获得最大利润。
解:
根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶。
设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为,题型1利用给定的函数模型解决实际问题,【例1】某市场调查发现,某种产品在投放市场的30天中,其销售价格P元和时间t天(tN)的关系如图3-2-4所示.,图3-2-4,
(1)写出销售价格P(单位:
元)和时间t(单位:
天)的函数解析式;,
(2)若日销售量Q(单位:
件)与时间t(单位:
天)的函数关系是Qt40(0t30,tN),求该商品的日销售金额y(单位:
元)与时间t(单位:
天)的函数解析式;,(3)问:
当该产品投放市场第几天时,日销售额最高,最高为多少元?
题型2建立确定性的函数模型解决问题,【例2】我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是:
水费基本费超额费损耗费.,若每户每月用水量不超过最低限量a(单位:
m3)时,只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元;若用水量超过a(单位:
m3)时,除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每1m3付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.,该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
(1)请根据上表中的数据,求a,b,c的值;,
(2)写出某户在一个月中的水费y(单位:
元)与在这个月中的,用水量x(单位:
m3)的函数关系式.,题型3建立拟合函数模型解应用题,【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每月的产量,现以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?
说明理由.,【问题探究】,1、某商品进价每个80元,零售价每个100元,为了促销,拟采取买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法,实践表明:
礼品价值1元,销售量增加10%,且在一定范围内,当礼品价值为n1元时,比礼品价值为n(nN*)元时的销售量增加10%.
(1)写出当礼品价值为n元时,利润f(n)(单位:
元)与n的函,数关系式;,
(2)请你设计当礼品价值为多少元时,商店获得最大利润.,某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在某个时刻这种细菌的个数为200个,按照每小时成倍增长,如下表:
问:
实验开始后5小时细菌的个数是多少?
练习2,解:
设实验时间为x小时,细菌数为y个,依题意有,20020020,,40020021,,80020022,,160020023,此实验开始后5小时,即x5时,细菌数为200256400(个),从而,我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式,即y2002x(xN),课堂小结,解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行:
第一步:
阅读理解,认真审题,第二步:
引进数学符号,建立数学模型,第三步:
利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果,第四步:
再转移成具体问题作出解答,实际问题,数学模型,实际问题的解,抽象概括,数学模型的解,还原说明,推理演算,1.通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应的确定的函数模型。
课堂小结,2.根据收集到的数据,作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据得出具体的函数解析式。
再用得到的函数模型解决相应的问题。
用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同,因此,往往需要对模型进行修正。
注意,方法规律小结,1.几种常见的函数模型.,
(1)一次函数模型:
f(x)kxb(k,b为常数,k0).
(2)二次函数模型:
f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0).(3)分段函数模型:
当xA时,yf(x);当xUA时,yg(x).(4)指数型函数模型:
f(x)kaxb(k,a,b为常数,a0,且a1,k0).(5)对数型函数模型:
f(x)klogaxb(k,a,b为常数,a0,且a1,k0).(6)幂函数型模型:
f(x)kxnb(k,n,b为常数,k0,n1).,2.利用函数模型解决实际问题.,
(1)一般地,函数模型方法为“设变量找关系求结,果”.,
(2)利用函数模型解应用题的基本步骤:
审题:
弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰,当选择数学模型;,建模:
将文字语言、图形(或者数表)等转化为数学语言,,利用数学知识,建立相应的数学模型;求模:
求解数学模型,得出数学结论;,还原:
将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际,问题的意义.,3.函数模型应用的主要类型.,
(1)利用给定的函数模型解决实际问题.其关键是考虑考查的是何种函数,并注意定义域,结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.,
(2)建立确定性函数模型解决实际问题.其关键是抓住几个步骤:
读懂题意;正确建立函数关系;转化为函数问题解决;作答.,(3)建立拟合函数模型解决实际问题.大多数实际问题都不能事先知道其函数模型,需要通过科学观察和测试得到一些数据,画出散点图,然后根据散点图的形状以及函数拟合的方法确定函数模型.,
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