向量代数与空间解析几何教案doc.docx
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向量代数与空间解析几何教案doc
第八章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其线性运算
教学目的:
将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。
教学重点:
1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点:
1.空间思想的建立
2.向量平行与垂直的关系
教学内容:
一、向量的概念
1.向量:
既有大小,又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向
量的大小,其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向
量)。
2.量的表示方法有:
a、i、F、OM等等。
3.向量相等ab:
如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全
重合的向量)。
4.量的模:
向量的大小,记为a、OM。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5.量平行a//b:
两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平
行。
6.负向量:
大小相等但方向相反的向量,记为
a
二、向量的线性运算
1.加减法abc:
加法运算规律:
平行四边形法则(有
bc
时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图
7
a
-4
2.abc
即a(b)c
3.向量与数的乘法
a:
设是一个数,向量
a与的乘积a规定为
(1)
0时,
a与
a同向,|
a|
|a|
(2)
0时,
a
0
(3)
0时,
a与a反向,|
a|
|||a|
其满足的运算规律有:
结合率、分配率。
设
a0表示与非零向量a同方向的单位向量,那么
a0a
a
定理1:
设向量
,那么,向量
b
平行于
a
的充分必要条件是:
存在唯一的实数
λ
,
a≠0
使b=a
例1:
在平行四边形
ABCD中,设AB
a,AD
b,试用a和b表示向量MA、MB、MC
和MD,这里M是平行四边形对角线的交点。
(见图7-5)
图7-4
解:
ab
AC
2AM,于是MA
1(a
b)
2
由于MC
MA,
于是MC
1
b)
(a
2
1(ba)
又由于
a
bBD
2MD,于是MD
1(b
2
由于MB
MD,
于是MB
a)
2
三、空间直角坐标系
1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)
如图7-1,其符合右手规则。
即以右手握住
z轴,当右手的四个手指从正向
x轴以
角度
2
转向正向y轴时,大拇指的指向就是
z轴的正向。
2.间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:
x轴、y轴、z轴,坐标面分别
为xoy面、yoz面、zox面。
坐标面以及卦限的划分如图
7-2所示。
图
图7-1右手规则演示
7-2空间直角坐标系图
图7-3空间两点M1M2的距离图3.空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意:
特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4.空间两点间的距离。
若
M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间任意两点,
则M1M2的距离(见图
7-3),利用
直角三角形勾股定理为:
d2
M1M2
2
2
2
M1NNM2
2
2
NM2
2
M1p
pN
而
M1Px2
x1
PN
y2
y1
NM2
z2
z1
所以
d
M1M2
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2z1)2
特殊地:
若两点分别为
M(x,y,z),o(0,0,0)
d
oM
x2
y2
z2
例1:
求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2
(4
7)2
(3
1)2
(12)2
14
证明:
M1M2
M2M3
2
7)2
(2
1)2
(3
2)2
6
(5
2
(5
4)2
(2
3)2
(3
1)2
6
M3M1
由于
M2M3
M3M1,原结论成立。
例2:
设P在x轴上,它到P1(0,
2,3)的距离为到点P2(0,1,
1)的距离的两倍,求点
P的
坐标。
解:
因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0)
PP1
x2
2
2
2
x2
11
2
2
2
2
2
3
x
1
x
2
PP
1
PP1
2PP2
x2
112x2
2
x
1
所求点为:
(1,0,0),(1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a=M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量,i、j、k
分别表示
图7-5
沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图
7-5,并应
用向量的加法规则知:
M
M
2
(x
2
x)i
+(y2y1)j+(z2z1)k
1
1
或
a=axi+ayj+azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组
a
x、
y、
z与向量
a
一一对应,向量
a
在三条坐标轴上的投影
x、y、z就
a
a
aaa
叫做向量a的坐标,并记为
a={ax,ay,az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是,起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为
M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}
特别地,点M(x,y,z)对于原点O的向径
OM{x,y,z}
注意:
向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数
ax、ay、az,
向量
a
在坐标轴上的分向量是三个向量
x
i
、
y
、
z
.
a
aj
ak
2.向量运算的坐标表示
设a
{ax,ay,az},b{bx,by,bz}即aaxiayj
azk,bbxibyjbzk
则
(1)加法:
ab
(a
x
bx
)i
(a
y
by)j
(a
z
bz
)k
◆减法:
ab
(a
x
bx)i
(a
y
by)j
(az
b
z
)k
◆乘数:
a
(ax)i
(ay)j(az)k
◆或
ab
{ax
bx,ay
by,az
bz}
ab{ax
bx,ay
by,az
bz}
a{ax,ay,az}
◆平行:
若a≠0时,向量b//a相当于b
a,即
{bx,by,bz}
{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybz
axayaz
五、向量的模、方向角、投影
设a{ax,ay,az},可以用它与三个坐标轴的夹角、、(均大于等于0,小于等
于)来表示它的方向,称、、为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形
式cos、cos、cos称为方向余弦。
1.模
aax2a2ya2z
2.方向余弦
ax
M1M2
由性质1知ay
M1M2
az
M1M2
cosacos
cosacos,当aa2xa2ya2z0时,有
cosacos
ax
ax
cos
a
ax2
ay2
az2
ay
ay
cos
a
ax2
ay2
az2
az
az
cos
a
ax2
ay2
az2
◆任意向量的方向余弦有性质:
cos2cos2cos21
◆与非零向量a同方向的单位向量为:
a0
a
1
{ax,ay,az}
{cos
cos,cos}
a
a
例:
已知两点M(2,2,
2)、M(1,3,0)
,计算向量M1M2
的模、方向余弦、方向角以及与
1
2
M1M2同向的单位向量。
解:
M1M2
={1-2,3-2
,0-
2
}={-1
,1,-
2}
M1M2
(1)2
12
(2)2
2
cos
1
,cos
1
,cos
2
2
2
2
2
,
,
3
3
3
4
设a0为与M1M2
同向的单位向量,由于a0
{cos
cos,cos
}
即得
a0
{
1,1,
2}
2
2
2
3.向量在轴上的投影
(1)
轴上有向线段的值:
设有一轴
u,AB是轴u上的有向线段,如果数
满足
AB,且当AB与轴u同向时
是正的,当AB与轴u反向时
是负的,那么数
叫
做轴u上有向线段AB的值,记做AB,即AB。
设e是与u轴同方向的单位向量,则
ABe
(2)
设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有
AC
ABBC
(3)
两向量夹角的概念:
设有两个非零向量
a和b,任取空间一点
O,作OA
a,
OBb,规定不超过
的AOB称为向量
a和b的夹角,记为(a,b)
(4)空间一点A在轴u上的投影:
通过点A作轴u的垂直平面,该平面与轴u的交点A'
叫做点A在轴u上的投影。
(5)向量AB在轴u上的投影:
设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别
为点A'和B',那么轴u上的有向线段的值A'B'叫做向量AB在轴u上的投影,记做
PrjuAB。
2.投影定理
性质
1:
向量在轴
u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角
的余弦:
PrjuAB
ABcos
性质2:
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
Prju(a1a2)Prja1Prja2
性质3:
向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即
Prju(a)Prja
小结:
本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自
由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算,空间直角
坐标系(轴、面、卦限),空间两点间距离公式。
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方
向余弦的坐标表示式等概念。
作业:
第二节数量积向量积
教学目的:
让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、垂
直等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点:
1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点:
1.活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容:
一、数量积:
a)定义:
ababcos,式中为向量a与b的夹角。
b)物理上:
物体在常力F作用下沿直线位移s,力F所作的功为
WFscos
其中为F与s的夹角。
c)性质:
Ⅰ.aa
2
a
Ⅱ.两个非零向量
a与b垂直a
b的充分必要条件为:
ab0
Ⅲ.abba
Ⅳ.
(a
b)c
a
c
bc
Ⅴ.
(a)
c
(a
c)
为数
d)几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:
设a
{ax,ay,az},b
{bx,by,bz}则
abaxbx
ayby
azbz
Ⅱ.投影表示式:
ab
aPrjab
bPrjba
Ⅲ.两向量夹角可以由
a
b
cos
式求解
ab
e)例子:
已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB
提示:
先求出向量MA及MA,应用上求夹角的公式。
二、向量积:
a)概念:
设向量c是由向量a与b按下列方式定义:
c的模cabsin,式中为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面,指向按右手规则从a转向b。
※注意:
数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量。
b)公式:
cab
f)性质:
Ⅰ.aa0
Ⅱ.
两个非零向量
a与b平行a∥b的充分必要条件为:
ab0
Ⅲ.
a
b
b
a
Ⅳ.
(a
b)
c
a
c
bc
Ⅴ.
(a)ca(
c)
(ac)
为数
c)几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:
设
a
{
az
},b{b
b
b
}则
ax
ay
x
y
z
ab(aybz
azby)i(azbx
axbz)j(axbyaybx)k
i
j
k
Ⅱ.行列式表示式:
a
b
ax
ay
az
bx
by
bz
d)例子:
已知三角形
ABC的顶点分别为:
A(1,2,3)
、B(3,4,5)
和C(2,4,7)
,求
三角形ABC的面积。
解:
根据向量积的定义,
SABC
1ABACsinC
1AB
AC
2
2
由于AB={2,2,2},AC={1,2,4}
i
j
k
因此ABAC2224i
6j
2k
1
2
4
于是SABC
1AB
AC
1
42
(6)2
22
14
22
小结:
向量的数量积(结果是一个数量)向量的向量积(结果是一个向量)(注意共线、
共面的条件)
作业:
第三节平面及其方程
教学目的:
介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面,平面是本书非常重
要的一节,本节让学生了解平面的各种表示方法,学生在学习时领
会各种特殊位置平面的表示方法,会求出各种位置上的平面,了解
平面与其法向量之间的关系。
教学重点:
1.平面方程的求法
2.两平面的夹角
教学难点:
平面的几种表示及其应用教学内容:
一、平面的点法式方程
1.平面的法线向量定义:
垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2.平面的点法式方程
已知平面上的一点M
0
(x
y
z)和它的一个法线向量
n{A,B,C}
,对平面上的任
0
0
0
一点M(x,y,z),有向量M0M
n,即
nM0M0
代入坐标式有:
A(xx0)B(yy0)C(zz0)0
(1)
此即平面的点法式方程。
例1:
求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面方程。
解:
先找出这平面的法向量
n,
i
j
k
n
M1M2M1M3
3
4
6
14i9jk
2
3
1
由点法式方程得平面方程为
14(x
2)9(y1)(z
4)0
即:
14x9yz150
二、平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为:
AxByCzD0
几个平面图形特点:
1)D=0:
通过原点的平面。
2)A=0:
法线向量垂直于x轴,表示一个平行于x轴的平面。
同理:
B=0或C=0:
分别表示一个平行于
y轴或z轴的平面。
3)A=B=0:
方程为CZ
D
0,法线向量{0,0,C},方程表示一个平行于
xoy面的
平面。
同理:
AX
D
0和BY
D
0分别表示平行于
yoz面和xoz面的平面。
4)反之:
任何的三元一次方程,例如:
5x
6y
7z
110都表示一个平面,该平
面的法向量为n
{5,6,
7}
例2:
设平面过原点及点
(6,
3,2),且与平面4x
y
2z
8垂直,求此平面方程。
解:
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