数学分析9-1.ppt
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返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第八章定积分的概念本章重点学习定积分的性质和计算,特别是定积分的计算.一,定积分的基本概念返回返回返回返回中央财经大学中央财经大学-数学分析(数学分析(W.HW.H)二,牛顿莱布尼茨公式三,可积条件四,定积分的性质五,微积分学基本定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1定积分的概念在很多数学和物理问题中,经常需要求一类特殊和式的极限:
这类特殊极限问题导出了定积分的概念.返回返回返回返回中央财经大学中央财经大学-数学分析(数学分析(W.HW.H)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三个典型问题三个典型问题1.设设求曲边梯形求曲边梯形A的面积的面积S(A),其中其中yxO中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.已知质点运动的速度为已知质点运动的速度为求从时刻求从时刻3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为求线状物体的质量求线状物体的质量m.显然显然,这就是说这就是说,在在“常值常值”、“均匀均匀”、“不变不变”的情况下,的情况下,a到时刻到时刻b,质点运动的路程质点运动的路程s.中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可以用简单的乘法进行计算可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题而现在遇到的问题以下我们以求曲边梯形的面积为例,把这类问题以下我们以求曲边梯形的面积为例,把这类问题中心思想:
中心思想:
是是“非常值非常值”、“不均匀不均匀”、“有变化有变化”的情形,的情形,如何如何来解决这些问题呢?
来解决这些问题呢?
合理地归为一类合理地归为一类特殊和式的极限特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和,每把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和,每个小曲边梯形面积,可近似地用矩形的面积来替个小曲边梯形面积,可近似地用矩形的面积来替中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页代,虽然为此会产生误差,但当分割越来越细的代,虽然为此会产生误差,但当分割越来越细的一分为二一分为二时候,矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面时候,矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积积.yxO中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一分为四一分为四yxO中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一分为八一分为八yxO中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一分为一分为n可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积的面积.yxO中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页过程呢?
过程呢?
这可以分三步进行这可以分三步进行.1.分割:
分割:
把曲边梯形把曲边梯形A分成分成n个小曲边梯形个小曲边梯形a即在即在上找到上找到个分点个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.近似近似:
中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.逼近逼近:
不管分割多么细,小曲边梯形终究不是:
不管分割多么细,小曲边梯形终究不是S总有差别总有差别.当分割越来越细时,和式当分割越来越细时,和式问题是:
问题是:
越细?
越细?
就会越来越小就会越来越小.下面依次讨论这两个问题下面依次讨论这两个问题.与曲边梯形的面积与曲边梯形的面积矩形,因此黎曼和矩形,因此黎曼和中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页来表示分割来表示分割T越来越细越来越细,因为可能某些因为可能某些的长度不趋于的长度不趋于0.就能保证分割越来越细就能保证分割越来越细.中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页总结以上分析,下面给出定积分定义总结以上分析,下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和也可类似地归结为黎曼和给定的给定的能够找到能够找到的极限的极限.中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1并称并称J为为f在在a,b上的上的及任意及任意定积分定积分,记作记作中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1列极限,也不是函数极限列极限,也不是函数极限.注注2中中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求显然要求因此定积分既不是数因此定积分既不是数关于定积分定义,应注意以下几点:
关于定积分定义,应注意以下几点:
f(x)在每个小区间在每个小区间xi1,xi上变化不大上变化不大,这相当于这相当于要求要求f(x)有某种程度上的连续性有某种程度上的连续性.中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页a,b上的一致连续性上的一致连续性,可证可证f(x)在在a,b上上可积可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.解解例例1存在存在.为方便起见为方便起见,令令以后将知道以后将知道f(x)在在a,b上连续时上连续时,利用利用f(x)在在中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则此时黎曼和的极限化为此时黎曼和的极限化为的极限的极限.中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是注注这里利用了连续函数的可积性这里利用了连续函数的可积性.因为可积因为可积,所所以可取特殊的分割以可取特殊的分割(等分等分)和特殊的介点和特殊的介点中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作业中央财经大学中央财经大学-数学分析数学分析P206P20612
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