随机过程方兆本第三版课后习题答案.docx
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随机过程方兆本第三版课后习题答案
习题4
以下如果没有指明变量t的取值范围,一般视为tR,平稳过程指宽平稳过程。
1.设X(t)sinUt,这里U为(0,2)上的均匀分布
证明:
(a)验证宽平稳的性质
0,ts
21
COV(X(t),X(t))Esin2Ut
1
(b)EX(t)2t(1cos(2t)),与t有关,
11
DX(t)sin(2t),与t有关,不平稳.
28t
Xn
(1)XnXn1,Xn
(2)Xn
(1)Xn
(1)1,,证明:
这些序列仍是平稳的
证明:
已知,EXn
m,DXn
2,COV(Xn
t,Xt)
(t)
EXn
(1)
EXnEXn1
0,DXn
(1)
D(Xn
22
Xn1)22
(1)12
COV(Xn
(1)t,Xn
(1))
COV(Xnt
Xnt1,Xn
Xn1)
COV(Xnt,Xn)COV(Xnt1,Xn)
COV(Xnt,Xn1
)COV(Xn
t1,Xn1)
2(t)(t1)
(t1)
显然,Xn
(1)为平稳过程
同理可证,Xn
(2),Xn(3),亦为平稳过程
3.设Znk2(aknuk)这里k和ak为正常数,k=1,n;u1,...un是(0,2)
k1
上独立均匀分布随机变量。
证明{xn,n0,1,2,...}是平稳过程。
n
证明:
EXn=k2Ecos(aknuk),
k1
22
Ecos(aknuk)=01/2cos(aknuk)duk=1/2sin(aknuk)|0=0
D[cos(aknuk)]=1/2-Ecos(2akn2uk)1/2
cov(cos(aknuk),cos(ak(nt)uk))=Ecos(aknuk)Ecos(ak(n1)uk)=1/2cosakt
cov(cos(aknuk),cos(alnul))0,(kl)nn
22
EXn=0,D(Xn)=k2.2D(cos(aknuk))k2.为常数
k1k1
nn
cov(xnt,xn)k.l.2.cov[cos(ak(nt)uk),cov(alnul)]
K1l1
n
=k2.2.1/2.cos(akt)
k1
只与t有关,与n无关。
从而知道{Xn.n=0,1,2⋯.}为宽平稳的。
4.设Akk1,2...n是n个实随机变量;
Wk,k=1,2⋯n是n个实数。
试问Ak与Wk之间应
n
满足这样的条件才能使:
Z(t)Akejwt是一个复的平稳过程。
(j2=1)
k1
Ezk
Solution:
n
EAkejwkt
k1
常数
要求EAk0
nn
Eztzt
EAkAl
k1l1
jktjlt
常数
要求EAkAl
0,kl
Pxn1
1p,n1,2,...
s00,sn令
k1
n1,2,...
n1,2,...求sn,n1,2,...
的协方差
函数和自相关函数,
p取何值时,此序列为平稳序列?
Solution:
协方差函数
1,Dxn
Exn2
Exn2
12
p1
2
m,Esn
1
n
n
Rsn
m,n
covsn
m,sn
nm
Exnxm
p1
n
Exk
k1
Exnp
n
Rsnm,n
自相关函数:
rsnm,n
1当p=2时,
但协方差函数
2p
21
2p
2
14p1p
4p1
nm,n
k1
Exn
Rs
6.设Xt是
0,Dxn
nm,n
个平稳过程,
Xt与X/t不相关,其中
Proof.EXtm,DX
X/tlimXtt0
covxk,xl
l1
4p1
EsnmEsn
12,Esn0,D
2n
n
nm始终与
对每一个t
X/tdXdtt
sn1
x1
xn
2
12p2
n,n+m有关,还是不平稳!
R,
tXt,EX/t
t
X/t存在,证明对每个给定的t,
tm.
7.设X
令Zt
ii)
iii)
CovXt,X/tEXtX/t
t是Gauss过程,均值为0,
Xt1,WtXt1,
求EZtWt和EZtWt
lim
t0
1dX2tE
2dt
1dEX2t
2dt
1d
2dt
2
m20
协方差函数R24e2Z
求Zt的密度函数fZz及PZt1;
求Zt与Wt的联合密度fZ,Wz,w.
Solution.(i)EZtWtEXt1Xt1
4e
Z,W
z,w
8.设
yt
ii)EXt
Zt
PZt
0,DXtR04.
Xt
iii)Zt,Wt
Xt,t
Xt
2
1~N0,22
11e24dx.
22
224
~N0;22;0;22;4e4,
1z0
exp8
21e84
R2
4
2e4
z0
4
2
02
4
R是一个严平稳过程,为只取有限个值的随机变量
tR仍是一个严平稳过程.
证明
d
y1,,yn
Proof.Xt1,XtnXt1h,,Xtnh
t1,t2,,tnPyt1,,ytny1,,yn
=p((X(t1-),⋯,X(tn-)≤(y1,⋯,yn))
=kPk.p((X(t1-h-ak),⋯X(tn-h-ak))≤(y1,⋯,yn))
=p((y(t1-h),⋯,y(tn-h))≤(y1,⋯,yn))=Ft1h,,tnh(y1,⋯,yn)
即知y(t)为严平稳.
9、设X(t),tR是一个严平稳过程,构造随机过程Y如下:
Y(t)=1,)若X(t)>1,若X(t)>0;-1,若X(t)≤0
证明Y(t)是一个平稳过程,如果进一步假定X(t),tR是均值为0的Gauss2
过程(平稳),证明RY()为arcsin(RX()RX(0))
证明:
P((Y(t1),⋯,Y(tn))=(a1,⋯,an))
=P(X(t1),⋯,X(tn)中有的大于0,有的小于等于0)=P(X(t1+h),⋯,X(tn+h)相应于X(t1),⋯,X(tn)中的符号
不变)=P((Y(t1+h),⋯,Y(tn+h))=(a1,⋯,an))即y(t)亦为严平稳的.
2
EX(t)=0,EX(t)=Rx(0),X(t)N(0,Rx(0))11
EY(t)=1*P(Y(t)=1)-1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)>0)-P(X(t)≤0)=-=022
RY()=EY(t+)Y(t)=P(X(t+)>0,X(t)>0)+P(X(t+)≤0,X(t)≤0)-P(X(t+)≤
R(y2)
02R(x0)1
2exp
(22)
-2(1-
(22)
记
(2)Rx
(2)
Rx
(0)
001
-1
2R(x0)1
(22)
-2(1-
(22)
01
-1
02R(x0)1
(22)
-2(1-
(22)
0
+
1
0
x22
(2)xyy2
Rx(0)
22x22
(2)xyy2
Rx(0)
22
x22
(2)xyy2
Rx(0)
dxdy
dxdy
dydx
=2
011
exp-2
2R(x0)1(22)2(1-(22)
1exp
02Rx(0)12
(2)
1
2Rx(0)(1(22))
2
01
2Rx(0)1
2
(2)
exp
1
2
2Rx(0)(1(22))
极坐标变换:
x
rcos
y
rsin
2
(2)
1
(2)sin2
2
01
x22
(2)xyy2
Rx(0)
dydx
2
r2(1
(2)sin2.rdrd
r2(1
(2)sin2.rdrd
2
(2)
1
(2)sin2d
1
2
2
(2)
dt
12
1
2
2
(2)
dt
t2
2
(2)t
01
t2
2
(2)t
t
n
(2)2
1arctan
t
(2)2
1
(22)0
1
2
(2)0
(2)
1
(2)
arctan
arctan
12
(2)
2
12
(2)
令ttan,
d
arctan
1
2
2
0
11t2dt
=2arctan
1
(2)
2
(2)
2
=arcsin
(2)
注:
验证sinarctansinarcsin.即可!
注:
验证sinarctan12sinarcsin.即可!
10.设Xt是一个复值平稳过程,证明:
2
EXtXt2ReR0R
Proof:
E
Xt
Xt
2
EXt
Xt
Xt
Xt
EXt
Xt
EXtXt
EX
tXt
EXt
Xt
2R0
R
R
2Re
R0
R
11.设Xt是零均值的平稳Gauss过程,协方差函数为R,证明:
a,其中?
为标准正态函数
R''0
Proof:
hR
1
hR
2
2
2
Ey2t10,h,
2
h,0
h2
R''
2
1
Ey2
tR''0Ey2t
h
即yt:
0,
R''
0
yt@X't
从而
R0
12.设{x(t)}为连续平衡过程,均值m未知,协方差函数R()=aeb||,R,a0,b0.对固定的T0,令x=10x(s)ds。
证明:
Exm(即x是m的无偏估计)以及
Var(x)2a[(bT)1
(bT)2(1e
bT)]。
Proof:
Ex(t)
m,
ExT
1T
Ex(s)dsm
Var(x)
E(xm)2
1T1
E[T10E(x(t)m)dtgT1
T
0(x(s)m)ds]
2TT
=T200E(x(t)m)(x(s)m)dtdsT
2T
0
aeb|ts|dtds
0
TsTT
2Tsb(st)TTb(ts)
=T[aedtdsaedtds]000s
=aT2[1T12(ebT1)]2bb
13.设{x(t)}为平稳过程,以及{x(t)}的n阶导数x(n)(t)存在,证明
{x(n)(t)}是平稳过程。
Proof:
由Cov(x(n)(t),x(n)(t))
(1)nR(2n)()知
{x(n)(t)}为平稳过程
Ex(n)(t)0
Ex(t)Elimx(t)x(t)limEx(t)Ex(t)
00
NN
1
2
2N1kNlN
令tkl,s
kl,则t
s2k,ts2l
1
2N12t
12Nt
R
2N
2Ns
2N2Nt
R
2Nt
12N
2
2N12
2
2N
2N
lim
由均值遍历,知N
Var
XN
lim2N122N知N2N120
2
2N1
R
10
N
1N
m0
liN
Ro
2N1
(A)
B)
由(B)很容易推出(A)
15、
如果X1,X2,X3,X4是均值为0
的联合正态随机向量,则
EX1,X2,
X3,X4
CovX1,X2CovX3,X4
CovX1,X3CovX2,X4
CovX1,X4CovX2,X3
proof:
协方差阵
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
41
42
43
44
矩母函数
t
et1x1t2x2t3x3exp1t
4
ot
2
t1t2t3t4
1
N
1234
1324
1423
RN
2N
2N1
ERNR
VarRN
2E
2N
N
Xk
mXlmR2
m0
k
X
k
X
E
N
N
E
2
R
N
N
E
2
R
1
N
2
m
li
16、设X0为随机变量,
其概率密度函数为
2x,0x1f(x)={0,其他,
设Xn1在给定X0,X1,L
Xn
下是[1
Xn]上的均匀分布,
n0,1,2,L,
证明{Xn,n=0,1,
L}的均值遍历性。
Proof:
EX0
2xdx
EX11
1EX
2
E(X1
E(Xn
X0)1x0
1
dx
x0
1
2x0
X0,X1,L
Xn)
xn
1dx
xn
1[1x2]11xnxn21xn
112x
EXn
12EXn
EXn1
EX02
12
x
0
2xdx
DX0
2
3
(23)2
1
18
2
E(X2n
X0,X1,L
Xn)
xn
12
3xn2
EXn21
1EXn
13EXn2
EXn2
DXn
E[XnXnm]EE[XnXnmX0,X1,L
Xn
1]EXn(1
Rmcov(Xn,Xnm)(23)2118(12)m
EXnEXn
(23)2
12Xn
1
1
18
(23)2
1m2)m,
1)
11
m
()
182
由推论4.2知:
{Xn1}是均值遍历的
17、设{n,n0,1,L}为白噪声序列,令Xn=
Xn-1+n,
1,n
0,1,2,L则
Xn=
K0
KnK,从而证明{Xn,n
L,
1,0,1,L}为平稳序列。
求出该序列的协方差函数,此序列是否具有遍历性?
Proof:
易知:
Xn
K
nK,
0
EXn=
K
KE
0
0,COV(Xn
m,Xn)
E[
K
nmk
l0
nl]
kl
mk
ne
e0
ll2
n1
R(m)12
m
m;(m0,1,2,
2l2
1
m?
2?
112;(||
1)
因R(m)0(m
0),故{Xn}为均值遍历的。
以下没有特殊声明,所涉及的过程均假定均值函数为零。
18.我们称一个随机过程X为平稳Gauss-Markov
过程,如果
X是平稳
GaussProcess
并且具有Markov性,
即对任意的
数xt,xs,xu
P(Xtxt|Xsxs,Xuxu,u
s)P(Xt
xt
|Xsx)s。
试证明:
零均值的平稳
Gauss-Markov过程的协方差函数
R
(2)具有ce
a|
|这种形式,这里
c为常数。
Proof
Xt1
Xt2
Xt1
Xt2
Xtn
R(0)
R(t2
t1)
R(t2t1)
R(0)
R(tnt1)
R(t2tn)
Xtn
R(tn
t1)
R(tnt2)
R(0)
R12R1n
R0R2n
Rn2R0
f(Xt1,Xt2,Xt3)
1
3
(2)2|3|
{
1e
1
2(x1,x2,x3)
31(X1,X2,X3)}
R0
3R21
R31
R12
R0
R32
R13
R23,2
R0
R0
R32
R23
R0
R0R12
R21R0
11
1{(x1,x2)11(x1,x2)}f(x,x,x)
f(xt1,xt2)11e2,f(Xt3|Xt1,Xt2)f(xt1,xt2,xt3)
12f(xt1,xt2)
2|1|
R(0)=2C=2︱R()︱ Ry()=2Rx()-Rx(+2a)-Rz(-2a), Sy()=4Sx()sin2aw ProofRy()=Cov(y(t+),y(t))=E{(x(t++a)-m)-(x(t+-a)-m)}*((x(t+a)-m)-(x(t-a)-m))。 其中m=EX(t) =E(X(t++a)-m)(X(t+a)-m)-E(X(t++a)-m)(x(t-a)-m)-E(X(t+-a) -m)( X (t+a) -m) +E( X(t+ -a)-m)(x(t-a) -m) =Rx ( )-Rx (2a+ )- Rx( -2a)+Rx()=2R x( )-Rx( 2a+) -Rx(-2a) Sy( ) = Ry () e-jw =(2Rx()- Rx( +2a) -Rx( -2a))e-jw =2Sx( w) Rx(k)e-jwk*ej2aw- Rx( )e-jw k*e-j2aw k 2a 2a =2Sx( w) -2cos (2aw )Sx(w)=4Sx(w) sin2( aw) Solution: 由Wiener-Khintchine公式知, 功率谱密度函数 S(w)2R()cos()d 2 0ecos( )d 22、设平稳过程{Xt}的协方差函数 2 a cos 2 b2ea ,求功率谱密度函数 Solution: S(w) R( )ejd ej 2 a e 2 31.设xn,n 1,0,1...为平稳序列,协方差函数为 (1)求xn1的形如 1 xn1axn的最小均方误差方差预报, a为待定常数 (2)求xn1的形如 2 xn1axnbn1的最小均方误差方差预报,a,b为待定 (3)上述两个预报中,哪个预报的均方误差要小些? 试用 R 表示它们的差 (4)求xn k的形如xnkaxnbxnN,1 kN的最小均方误差内插,(a,b为待定) Zn (5)设 N xnk k0 ,其中N为固定常数, 求Zn的形如ZnaxnbxnN的最小均方误差预 报,其中 a,b为待定常数。 Solution Qa xn1axn 2E xn1axnxn0 R1 R1 R0 xn1 R0 xn (2) Qa,b Exn1 axn bxn1 E2xn1 axn bxn1 xn0 E2xn1axn bxn1 xn10 R1aR0 bR1 0 R 2aR 1 bR0 0 Q (3) a R20 R2 1 R 0 b b R1R0R2 22 R20R21 R0R2R21 R20R21 Qa,b 2 Exn1abxn1R0 2aR1 2 2bR2aR0 2abR1bR0 R50R303R21R22 2R20R21R2R0R212R21R222R41R2 R20 R21 R20R21R0R2R21 Qa,bQa22R0R20R21 R0R2R21 R0R20R21 (4)Q4a,b Exnk axn 2 bxnN Q4a,b a Q4a,b E2xnk axn bxn E2xnk axn bxnN xn0 xnN0 aR0bRNRk R20R2N R0RnkRkRN (5) NN RNkRNRk k0k0 22 R20R2N 35.设{Xn,n=0, ±1,⋯.}为AR(p)模型: Xn1Xn1 pXnp n=⋯,-1,0,1,⋯ 试导出Yule-Walker方程: R(h) 1R(h1)... pR(hp) Proof. E(xnxnh) 1E(xn1xnh)... pE(xnpxnh)E(nxnh) R(h)1R(h 1)...pR(p
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