初二数学经典四边形习题50道附答案.docx
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初二数学经典四边形习题50道附答案
1.已知:
在矩形ABCD中,AE1BD于E,ZDAE=3ZBAE,求:
ZEAC的度数。
bC
2.已知:
直角梯形ABCD中,BC=CD=a且ZBCD=60°,E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点,求:
EF的长。
3.已知:
在等腰梯形ABCD中,AB/7DC,AD=BC,EsF分别为AD、BC的中点,BD平分ZABC交EF于G,EG=18,GF=10求:
等腰梯形ABCD的周长。
E
4.已知:
梯形ABCD中,AB/7CD,以AD,AC为邻边作平行四边形ACED,DC延长线交BE于F,求证:
F是BE的中点。
5x已知:
梯形ABCD中,AB//CD,AC1CB,AC平分ZA,又ZB=60%梯形的周长是20cm,求:
AB的长。
1/1
A
B
7x已知:
梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F,使求证:
DF〃AC。
8.在正方形ABCD中,直线EF平行于对角线AC,与边AB、BC的交点为E、F,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,若EG与DF的交点为H,
求证:
AH与正方形的边长相等。
9.若以直角三角形ABC的边AB为边,
在三角形ABC的外部作正方形ABDE,
AF是BC边的高,延长FA使AG=BC,求证:
BG=CD。
10s正方形ABCD,E.F分别是AB、AD延长线上的一点,且AE二AF二AC,EF交BC于G,交AC于K,交CD于乩求证:
EG=GC=CH=HFo
1K在正方形ABCD的对角线BD上,取BE=AB,若过E作BD的垂线EF交CD于F,
求证:
CF=EDo
12、平行四边形ABCD中,ZAsZD的平分线相交DE与DC.AB延长线交于G.F,求证:
AD=DG=GF=FAo
13.在正方形ABCD的边CD上任取一点E,延长BC到F,使CF=CE,
求证:
BE1DF
14>在四边形ABCD中,AB=CD,P、Q分别是AD、BC中点,M、N分别是对角线AC>BD的中点,求证:
PQLMN。
15、平行四边形ABCD中,AD=2AB,AE二AB二BF求证:
CElDFo
16.在正方形ABCD中,P是BD上一点,过P引PE1BC交BC于E,过P引PF1CD于F,求证:
APlEFo
17s过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE,
在BE上取一点F,
使AF=AC,若作菱形CAFfi,求证:
AE及AF三等分ZBAC。
1&以AABC的三边AB.BC.CA分别为边,在BC的同侧作等边三角形ABD、BCE、CAF,求证:
ADEF是平行四边形。
19、M、N为AABC的边AB、AC的中点,E、F为边AC的三等分点,延长ME、NF交于D点,连结AD、DC,求证:
(DBFDE是平行四边形,
(2)ABCD是平行四边形。
20、平行四边形ABCD的对角线交于0,作0E1BC,AB=37cm/BE=26cm,EC=14cm/求:
平行四边形ABCD的面积。
2K在梯形ABCD中,AD〃BC,高AE二DF=12cm,两对角线BD=20cm,AC=15cm,求梯形ABCD的面积。
22、在梯形ABCD中,二底AD.BC的中点是E.F,在EF上任取一点0,
AOCD
23.平行四边形ABCD中,EF平行于对角线AG且与AB、BC分别交于E.F,
求证:
24.梯形ABCD的底为AD.BC,若CD的中点为E
求证:
^AABE
AHCD
25、梯形ABCD的面积被对角线BD分成3:
7两部分,求这个梯形被中位线EF分成的两部分的面积的比。
26.在梯形ABCD中,AB/7CD,M是BC边的中点,且MN3)于N,
求证:
S.48S=MN・AD。
27.求证:
四边形ABCD的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半。
28、平行四边形ABCD的对边AB、
CD的中点为E、F,
求证:
DE、BF三等分对角线AC。
29.证明:
顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形,其周长等于原四边形的对角线之和。
30.在正方形ABCD的CD边上取一点G,在CG上向原正方形外作正方形GCEF,求证:
DE1BG,DE=BGo
31>在直角三角形ABC中,CD是斜边AB的高,ZA的平分线AE交CD于F,交BC于E,EG1AB于&求证:
CFGE是菱形。
32、若分别以三角形ABC的边AB、AC为边,在三角形外作正方形ABDE、ACFG,求证:
BG=EC,BGlECo
33.求证:
对角线相等的梯形是等腰梯形。
34.正方形ABCD中,M为AB的任意点,
MN1DM,BN平分ZCBF,
求证:
MD=NM
35.在梯形ABCD中,AD〃BC,AD=12cm,BC=28cm,EF//AB且EF平分ABCD的面积,求:
BF的长。
36.平行四边形ABCD中,E为AB上的任一点,若CE的延长线交DA于F,连结DE,求证:
SAADE二SABEF
37、过四边形ABCD的对角线BD的中点E作AC的平行线FEG,与AB、AC的交点分别为FxG,求证:
AG或FC平分此四边形的面积,
38.若以三角形ABC的边AB.AC为边向三角形外作正方形ABDE、ACFG,
求证:
SAAEG
39s四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,又AD、BC相交于点P,
求证:
SAPMN=-SABCD.
4
40、正方形ABCD的边AD上有一点E,满足BE二ED+DC,如果M是AD的中点,求证:
ZEBC=2ZABM,
41.若以三角形ABC的边AB.BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC中点,求证:
DG=2BN,BMIDGo
42s从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行于BD,使BE=BD,若BE、CD的交点为F,求证:
DE=DFo
43.平行四边形ABCD中,直线FH与AB.CD相交,过A、D、C、B,向FH作垂线,垂足为G、F、E>H,
求证:
AG-DF=CE-BHo
44.四边形ABCD中,若ZA=ZC,求证各角平分线围成的四边形等腰梯形。
45.正方形ABCD中,ZEAF=45°求证:
BE+DF=EFo
46.正方形ABCD中,点P与久C的连线和BC的夹角为15°求证:
PA=PD=ADo
47、四边形ABCD中,AD=BC,EF为AB、DC的中点的连线,并分别与AD、BC延长线交于乐N,求证:
ZAME=ZBNEo
4&正方形ABCD中,MN1GH,求证:
MN=HGo
49.正方形ABCD中,E是边CD的中点,F是线段CE的中点
求证:
ZDAE=-ZBAFo
2
50.等腰梯形ABCD中,DC/7AB,AB>CD,AD=BC,AC和BD交于6且所夹的锐角为60。
,E、F、M分别为0D、0A、BC的中点。
求证:
三角形EFM为等边三角形。
答案
1.己戈心在矩形ABCDALLBDTE,
ZDAE=3ZBAE,求二NEAC的度数。
易得旷一NABJ67.5°-^A0B-45o-ZWCM50
2.已加k宜角梯形ABGD屮.BC=Cl?
=a
且E.F分别为梯形的.®ABv
DC的屮点'求,EE的长。
易得ADpZ延长AE交BC的催长线丁点儿易证△APbMZiJOJ
又7EF为△AB*的屮位线,二EPO.5BM
(这也是一种还明梯形屮楼线的方洙梯形屮位线二(上底}下底)/2>3s己知*在等腰梯形ABCD屮,AB^BC,
Al戶BGtkF分别为Aik弘:
的屮点'BD
平分ZABC交出••丁G,EA18,G210
求二等腰悌形AB®的周长。
易知AB长CD短.M为梯形的屮位线・•••报据三角形屮位线逆定趣知CP=Z(hA1A3&又YUD平分
ZABCABOCD^ZO
4s已知*梯形ABCD屮,AB〃CD,以AD,
•试为邻边作平行四边形ACEDrIX:
延长线
交BETt求证:
F足BEMJ屮点.
运长EC交AB丁•点山易知CihAD-EC:
X为EM的屮点根据三角形屮位线逆定理知CF是△EMB的屮位线•・」足此的屮点
5、已知:
梯形AECD屮,AE〃CD,AC丄CB,AC平分/X又ZB书(F,梯形的周长是20c叫求=AB的长。
由角度推导此为等腰梯形,丁M;平分WAAAI戶DCHEP.5.W
6、从平行四边形四边形ABC1)的各顶点作对角线的垂线也眦CGsDH,垂足分别是E、F、G*Hr求证匸EF〃GiL
易得△AED丝△CGB-DEFG又VOD-OBAOE-OG|川翅可证UHPF•;回边形EHGF为平行囚边形-EE^GH
7、梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BG的延长线上取一点舟便以空匕心,求证二W//kC.
由SAAachSgfLSgc-S'沁二Sg»-SAtfiGfSa血Sm3=S曲•
可耙EC若成足两三角彫的共同底,则
点D到AC的即离二点F到AC的師离Z.DE/7AC
8s在正方形ABCD屮,直线昉平行丁•对角线如,与边AB、为E」,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,若EG与求证;AH与正方形的边长相等。
由闊〃AC—卜JAEN:
卜'-△GAE丝△DCPJ/A/CDF
VZCDF-ZAD片90°:
.ZlrtZ.Wfr^O'fZGHD=90qVAG-AD.\AH-AG-AD
9、君以直角三角形ABC的边AB为如
在三角形ABC的夕卜部作正方形AHDE,
AF足BC边的]乱延长M使AG=BC,求证iBGFK由GF丄BC易得NGAE=上ABC—ZBAG=NDBC又VUB-BA.BC>AG/.△DBC空△BACUMKD
IV
Hl
△Ef
Kk正方形ABCD,EsP分别是AB.AD延长线上的一点.且A1MAETC,EF交
ECTG,交ACTK,交CDTH,求证;EG=GC=CH=Hh\一种】易知图屮所冇的锐角皆为45。
,若设止方形边长为1则-1AHC=CG=2-VT通过勾股定理知FH=GE=2・頁
二种I劫知图屮所冇的锐角皆为45。
・MOAF・;易证△AKF竺△ADG然启连接AH
可证△ADH^AAKH-DH-HK,K;余的玻很简单了。
这种方法过丁繁毗第一种方袪从数址关系入手,但牵扯到:
角函数或者足带冇根号的计算需呱技巧。
11-在正力形ABCD的对却线BD上,取BE-.W,若过匕作切的垂线廿交GDTK,求证:
CF=EDa
I该止方屯边长为1则-bDCZ-ZIfCeG-L
UViill方形边长为1延长EF交BC的延长线丁点G易讦△BCD竺△UbGf凶-BDfCG丸片石-1-少
12、平行四辿形ABCL)屮.ZAxZDtfl平分线相交TE・AE>1》E与DC.AB廷长线交丁G.F,求证$AD-DG-GE-EA(四边形AL>GF为菱形)由At/DG以及两务角平分线可3EFA-AD-DG・AT〃一M
f半行四边形AFGl)f四边形ADGF为麦形
13、在正方形ABC1)的边CD上任取一点E,延长BC:
到F,使Cb=CE,求证*BE丄DF
延tCBE交DFT点M易证△BCE^ADCP—ZTE1K>^CDF
fNCI>+/DEM=90°-*KE±DF
此题还可以问“当一为何值时,BE垂直平分DK%
C:
B
L4、在四边形ABCD屮,鮎二CD,l\Q分别是AD、吆屮点,H、N分别足对角线
ASBD的屮点,求证JQ1MN。
由三角形屮位线定理^1PN=MQ=0.5AB,PM=NQ=0.5CD
VAB
15s平行川边形ABCD屮,ADPAB,於ABFF求证:
CE±DF.易知BE=BC-*ZE=ZECB又VZE=ZDCE:
.ZECB=ZDCE同理可证ZACF^ZCDF易旅H出CELDF
16、在正方形ABCD屮,『足BD上一点,过P弓IPELBC交BCT£过P引卩F丄CDTFi求证;AKLEF?
延长EP交AB丁点Q.根据
根抿CHMQPPEQ.NlTAZAQlUXr)
证明△Al勺竺△Fl£fZQAF=NPAE-NPAQ+NAPQTO。
—ZFPH-ZlYh-900—AT丄EF
17s过正方他ABCD的顶点ii引对角线AC的平行线昵在业上取一点F,便AAC,荐作菱形CAFE求证:
AE及AF三等分ZBACa
作m±AGT点H
:
•菱形CAP1Z.AE平分NCAF易知四边形OBFH为矩形则EHPBP.5Bl>0.5AOO.5AF-ZEAH-300FAB-150
18、以AABC的三边AB、BC、CA分别为边,在比的同侧作等边三角形AB叭BCE、CAb\求证,ADEF足平行四边形。
根据(BD=BA.ZDEE=ZABC.BE=BC)得厶BDE^ABAC-*DE=AC=AF很据(OrCE.ZACB^ZECE,CE^CB〉得公CAB也ZXC卜E-EP別匸AD从而证明了四边形AD即是平行四边形
这种方袪的艾锥是找到相应的丄角形全等,全尊的关镀是找到
“/DBE=NABC,NACB=NFCE,这两组角相蒔
本題也可从施转的方式考虑
19、Ms"为AABC的边AIRAC的屮点,E.F为边AC的三等分点,Jg长ME.貯交丁D点,连结AD、DC,求证:
(1)BF1>E是平行四边形,
⑵ABCD是平行四边形。
NF为△胆匕的屮位线fND"BE,ME为△ABE的屮位线一MD〃B卜'〜四边形BFDE足平行四边形连搔B1)交AC丁点山则OUPD,0EP1SVAE=CfAOA-(JC\\四边形ABCD是平行四边形
20s平行四边形ABCD的对角线交TO,ftOKIBCAB=37cm,
BE^26cm,EC=14cm,求]平行四边形ABCD的商枳°
作AH丄BC则AH〃UE根据三角形屮位线逆定Jg可得E为HC的屮点〜Ah=35
2L、在梯形ABCD屮,AD〃BC,岛AE訓F2c叫两对角线BD=20cm.AC=15cm,求梯妙ABC1)的向积。
作DK1Z/AC交BC的延长线丁•点lb求得BF-16,EC-9易证GE寸*书〜BM-BE+hM-25,S険血
ZZ、在梯形磁D屮,二底AJ)、BC的屮点是心F,在EE上任取一点
Saoii-S:
\ta^Sac«三S/mx,S-Si^paFOi
S/rn二Sotnu_Sa«A-S?
.(f®
S»(口=S0w~S?
.oflrS?
.(«
23.平行四边形ABCD屮,EF平行1于对角线AG且与肪、BC分别交TE.求证1S?
J£fi=SAC®
一种,连接AKCE
临Saot=Sa«:
g又丁SAQffhS.wp
二种:
连接BD兗hb•「点也劾证EHFF
—S.rffl产Saw
fSajumtSAtarS入删‘Snaf=S户耐-3,叫師-S找的
Sjsm"iSACW
24、梯形ABCD的底为AB、氏‘若CD的屮点为IE
求证is—
2
抵长AE交眈的延长线丁•点片可证AADE仝△ECE从而可证SaxbtSa»=—S亠
2
2队梯形ABCD的南积被对角线创分戚
3:
7■两部分,求这个梯形敲屮位线EF分成
的两那分的面积时比,
由:
S.^7:
3A.Ui:
07:
3
所臥EF占5份,
ASw«ra>:
8■蕙
26、在梯形ABCD屮,仙〃Cl),M足氏边的屮点,且MNJADTh灾证:
S*二MN・AD“
本题可由羽惟F而得
27.求证r四边形ABGD的两条对角线Z和小丁它的周长而大T它的周长纳如图X
在ZUBC屮ACVAB+BC①在ZUDC屮ACVAl)+aXg>
在△ABD屮BDVAB十A1)③在△»(;»屮BDUCI1)十B0④
①+②斗③+④化简可得AC+BDVAB+BC+AB+CD
在△ABO屮AB<0A+08①在△(»屮CE 在△CIXJ屮CD ①卡②4③+④化简可得AC+BD>(AB+6JC+A1)亠CD)/2 2&平行四辿形ABCD的对边AB、CD的屮点为E、F, 求证;QE、BE三等分对角线ACfi 先证四边形BEDF为平行囚辿形,然后根据•: 角形屮位线逆定理如 G为AH的屮点,同JHH为“附屮点 29•证处肢次连结四边形的各边屮点的四边形足叩行四边形,口闌长等丁腹四边形的对角线Z札利州三角形屮位线定理可证 30.在正方JKABCD的5边上取一点G,在CG上向原止方彫外作正方 J^GCEF.求证: DEJJJG,DE=B€o 此题可用13题的方注解答 31、在宜角丄角形AW屮,CD是斜边AB的乩△的平分践AE交CDTF\交ECTE,EG1ABTG,求证: CEGE菱形。 ZCEA+NCAE如,ZEA1>ZAFD-90。 fZC: EA=4FE-CFXJE又可推导fHCE-EG又VCF〃EGf囚边形CFXJE是菱形 32. 若分别以三角形ABC的边AB・AC为边.在三角形外作正方形AKD取ACFG,求证xBG=ECrBG丄肌 根fe(AE-MZEAC=Z(tAB.ACFG) 可证△EAC也 证明垂直的方法跟L3聴就题的方法类似 33、求证,对角线相等的梯形是等1! 贺梯形。 如图作DE"M交UG的延长线丁•点匕易证四边形AC: ⑷足平行四边形,则冇NDBONE,yACB=ZE, 从而可以证明△ACS竺△DM 证明此命趣的方法不止-种,这只是几屮种 34、正方形ABCD屮,N为AB的任总点,MN丄DN,BN平分上CBF,求证,MD=AM 可根扮K的位直延仲为丄种情况: ⑴当点N左线段AB卜•时 ⑵当点M在加的延长线h时(3)当点K在BA的锤长线H.时 本趣只是第-种宿况: 由WN丄DMTDZ'MBpZADN,由BN平分ZCBF—②^MBN-1350 在抄上取AEMM逹按ME,从而冇②ZDEM-13ST,③DEFB 所以由①②⑨可证△NBkl也△MEl)f«! >”! 对丁•笫二和笫二种情况也足在在宜线M)上做辅助线必 第二种情况点E衽AD的延长线匕第二种悄况点E在DA的延长线上33、在梯形ABCD屮pADy/BC,AD=12cm,BC=28cmfEF/7AB.J1EF平分ABCD的面积,求「BF的长。 易知BE-AE,ED-12-BH.卜1>28-站・由EF平分ABCD的面积 —BFxA--xAx(ED+FC)从而可求B卜'的K 2 36、平行囚边形ABCD屮,E为AB上的枉一点, 若CE的延长找交DAT*F,连结DE,求证: Sg二Sg可证Sam=,Sars=O-55的网婕g Saa»=O.5STf7R^if£D~S? ZSB S? .ffip=O.5STf7R^wai-SAta 得证 37、过四边妙ABCD的对角线閱的屮点E作AC的平行线FE4与AB、AC的交点分别为h\G,求证IAG或代平分此四边形的商积, “WIJIH I*1"M 町珂忆君乂财剧 38、若以三角形ABC的边AB、AC为边向三角妙外作正方形ABDE、口爲,求证: Saak 如阁件GQ丄EA.l: H丄AB 可证△AHC^AGQA-*CH^GQ Sa^O, S*0.尹诫♦AU 得证 如四边^ABCD屮,MsN分别是对角线AC、的屮点,又AikBC相交丁点儿求证]Sark=—SRJtRiAiaj 43、正方形ABO)屮,NEAFM5。 求证二BE+DPEF。 如图建长Qi至M使BM-DE,可证△辭丝△AFDfAM=AKZDAE二ZUAAlfZBAE十/BAM=45°〜△AM£幺△AFEfME*FMJE+DF 1/1 49.正方仍ABCD屮,E足边GD的屮点』F足线段Clf的屮点求证: NDAE=丄上UAF*加 2卩 TE是边CD的屮点,F是线段隹的屮点 •••根辦勾股定班可得蛀: -CF-BC: 然石就可以和用40趣的方法解决 50.等腰梯形ABCD屮,UC〃AB・ABXUAJM5C,AC和Bl)交丁0, 且所夹的锐角为60》匕b\M分别为01)、OAsBG的屮点&求证]三角形EFH为等边三角仍。 如阁连接CE、BF T此为零膻梯形AC和BD交TO且所夹的锐角为60=••易证△OAB.A0C: D皆为等边三角形•又TE、F分别为3、%的屮点 ACE丄OD.BF10A 在RtACEB屮*VM为BC的屮点.\EM=O.5BC在RtACFB屮'VM为BC的屮^Z.FM=0.5BC又V^O.5AD=0.5BCAEM=FM=EF
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