09 学探诊初三上 期末试题3.docx
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09学探诊初三上期末试题3
期末检测题(三)
一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)
1.若方程x2-5x=0的一个根是a,则a2-5a+2的值为()
A.-2B.0C.2D.4
2.如图,⊙O的半径OA等于5,半径OC与弦AB垂直,垂足为D,若OD=3,则弦AB的长为()
A.10B.8C.6D.4
3.将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4?
()
A.先向左平移3个单位,再向上平移4个单位
B.先向左平移3个单位,再向下平移4个单位
C.先向右平移3个单位,再向上平移4个单位
D.先向右平移3个单位,再向下平移4个单位
4.小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方,用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度,已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米,那么她测得这棵树的高度为()
A.
B.
C.
D.
5.如图,以某点为位似中心,将△AOB进行位似变换得到△CDE,记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为()
A.(0,0),2B.
C.(2,2),2D.(2,2),3
3题图5题图6题图7题图
6.将抛物线y=x2+1绕原点O族转180°,则族转后的抛物线的解析式为:
()
A.y=-x2B.y=-x2+1C.y=x2-1D.y=-x2-1
7.如图,PA、PB与⊙O相切,切点分别为A、B,PA=3,∠P=60°,若AC为⊙O的直径,则图中阴影部分的面积为()
A.
B.
C.
D.
8.已知b>0时,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示.
根据图分析,a的值等于()
A.-2B.-1C.1D.2
二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)
9.若△ABC∽△DEF,且对应边BC与EF的比为2∶3,则△ABC与△DEF的面积等于______.
10.如图,⊙O的直径是AB,CD是⊙O的弦,基∠D=70°,则∠ABC等于______.
11.如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,
长为半径作⊙O,将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA',若BA'与⊙O相切,则旋转的角度α(0°<α<180°)等于______.
12.等腰△ABC中,BC=8,若AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的根,则m的值等于______.
三、解答题(本题共29分,第13~17题每小题5分,第18题4分)
13.解方程:
2x2-6x+1=0.
14.计算:
15.已知:
关于x的方程x2+2x=3-4k有两个不相等的实数根(其中k为实数).
(1)求k的取值范围;
(2)若k为非负整数,求此时方程的根.
16.已知:
如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,∠B=30°,延长BA到D,使∠ADC=30°.
(1)求证:
DC是⊙O的切线;
(2)若AB=2,求DC的长.
17.已知:
如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.
(1)求证:
△ABD∽△CBA;
(2)若DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
18.已知:
如图,∠MAN=45°,B为AM上的一个定点.若点P在射线AN上,以P为圆心,PA为半径的圆与射AN的另一个交点为C.请确定⊙P的位置,使BC恰与⊙P相切.
(1)画出⊙P;(不要求尺规作图,不要求写画法)
(2)连结BC、BP并填空:
①∠ABC=______°;
②比较大小:
∠ABP______∠CBP.(用“>”、“<”或“=”连接)
四、解答题(本题共21分,第19题6分,第20题4分,第21题6分,第22题5分)
19.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0).
(1)填空:
抛物线的对称轴为直线x=______,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______;
(2)求该抛物线的解析式.
20.已知:
如图,等腰△ABC中,AB=BC,AE⊥BC于E,EF⊥AB于F,若CE=2,
,求EF的长.
21.某水果批发市场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)如果市场某天销售这种水果盈利了6000元,同时顾客又得到了实惠,那么每千克这种水果涨了多少元?
(2)设每千克这种水果涨价x元时(0<x≤25),市场每天销售这种水果所获利润为y元.若不考虑其它因素,单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元时,市场每天销售这种水果盈利最多?
最多盈利多少元?
22.已知:
如图,△ABC中,AB=3,∠BAC=120°,AC=1,D为AB延长线上一点,BD=1,点P在∠BAC的平分线上,且满足△PAD是等边三角形.
(1)求证:
BC=BP;
(2)求点C到BP的距离.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.已知关于x的方程x2-2ax-a+2b=0,其中a、b为实数.
(1)若此方程有一个根为2a(a<0),判断a与b的大小关系并说明理由;
(2)若对于任何实数a,此方程都有实数根,求b的取值范围.
24.已知:
如图,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延长线于D,OC交AB于E.
(1)求∠D的度数;
(2)求证:
AC2=AD·CE;
(3)求
的值.
25.已知:
抛物线
与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2.
(1)求A、B两点的坐标(用a表示);
(2)设抛物线的顶点为C,求△ABC的面积;
(3)若a是整数,P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围.
答案与提示
期末检测题(三)
一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
C
D
A
B
二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)
题号
9
10
11
12
答案
4∶9
20°
60°或120°(各2分)
16或25(各2分)
三、解答题(本题共29分,第13~17题每小题5分,第18题4分)
13.解:
因为a=2,b=-6,c=1,1分
所以b2-4ac=(-6)2-4×2×1=28.2分
代入公式,得
3分
所以原方程的根为
(每个根各1分)5分
14.解:
4分
5分
15.
(1)解一:
原方程可化为(x+1)2=4-4k.1分
∵该方程有两个不相等的实数根,
∴4-4k>0.2分
解得k<1.
∴k的取值范围是k<1.3分
解二:
原方程可化为x2+2x+4k-3=0.1分
∆=22-4(4k-3)=4(4-4k).以下同解法一.
(2)解:
∵k为非负整数,k<1,
∴k=0.4分
此时方程为x2+2x=3,它的根为x1=-3,x2=1.5分
16.
(1)证明:
连结OC.
∵OB=OC,∠B=30°,
∴∠OCB=∠B=30°.
∴∠COD=∠B+∠COB=60°.1分
∵∠BDC=30°,
∴∠BDC+∠COD=90°,DC⊥OC.2分
∴BC是弦,
∴点C在⊙O上.
∴DC是⊙O的切线.3分
(2)解:
∵AB=2,
4分
∵在Rt△COD中,∠OCD=90°,∠D=30°,
∴
5分
17.
(1)证明:
∵AB=2,BC=4,BD=1,
1分
∵∠ABD=∠CBA,2分
∴△ABD∽△CBA.3分
(2)答:
△ABD∽△CDE;4分
DE=1.5.5分
18.解:
(1)图形见下.2分
(2)①∠ABC=45°;3分
②∠ABP<∠CBP.4分
四、解答题(本题共21分,第19题6分,第20题4分,第21题6分,第22题5分)
19.解:
(1)抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为(3,0);2分
(2)∵抛物线经过点C(1,0)、D(3,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3).4分
由抛物线经过点A(0,3),得a=1.5分
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.6分
20.解:
∵AE⊥BC,EF⊥AB,
∴∠1+∠2=90°,∠B+∠2=90°.
∴∠1=∠B.1分
∴
∴Rt△ABE中,
2分
设BE=4k,则AB=BC=5k,EC=BC-BE=k=2.
∴BE=8.3分
∴Rt△BEF中,
4分
21.解:
(1)设市场某天销售这种水果盈利了6000元,同时顾客又得到了实惠时,
每千克这种水果涨了x元.
由题意得(10+x)(500-20x)=6000.1分
整理,得x2-15x+50=0.
解得x1=5,x2=10.2分
因为顾客得到了实惠,应取x=5.3分
答:
市场某天销售这种水果盈利6000元,同时顾客又得到了实惠时,每千克这种水果涨了5元.
(2)因为每千克这种水果涨价x元时,市场每天销售这种水果所获利润为y元,y关于x的函数解析式为y=(10+x)(500-20x)(0<x≤25).4分
而y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=-20(x-7.5)2+6125.
所以,当x=7.5时(0<7.5≤25),y取得最大值,最大值为6125.
6分
答:
不考虑其他因素,单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元时,市场每天销售这种水果盈利最多,最多盈利6125元.
22.
(1)证明:
如图1,连结PC.1分
图1
∵AC=1,BD=1,∴AC=BD.
∵∠BAC=120°,AP平分∠BAC,
∵△PAD是等边三角形,
∴PA=PD,∠D=60°.
∴∠1=∠D.
∴△PAC≌△PDB.2分
∴PC=PB,∠2=∠3.
∴∠2+∠4=∠3+∠4,∠BPC=∠DPA=60°.
∴△PBC是等边三角形,BC=BP.3分
证法二:
作BM∥PA交PD于M,证明△PBM≌△BCA.
(2)解法一:
如图2,作CE⊥PB于E,PF⊥AB于F.
图2
∵AB=3,BD=1,∴AD=4.
∵△PAD是等边三角形,PF⊥AB,
∴BF=DF-BD=1,
4分
5分
即点C到BP的距离等于
解法二:
作BN⊥DP于N,
以下同解法一.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:
(1)∵方程x2-2ax-a+2b=0有一个根为2a,
∴4a2-4a2-a+2b=0.1分
整理,得
2分
∵a<0,
即a<b.3分
(2)∆=4a2-4(-a+2b)=4a2+4a-8b.4分
∵对于任何实数a,此方程都有实数根.
∴对于任何实数a,都有4a2+4a-8b≥0,即a2+a-2b≥05分
∴对于任何实数a,都有
当
时,
有最小值
6分
∴b的取值范围是
24.
(1)解:
如图3,连结OB.1分
图3
∵⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,
∴∠BOC=2∠BAC=90°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°.
∵AD∥OC,
∴∠D=∠OCB=45°.2分
(2)证明:
∵∠BAC=45°,∠D=45°,
∴∠BAC=∠D.3分
∵AD∥OC,
∴∠ACE=∠DAC.4分
∴△ACE∽△DAC.
∴AC2=AD·CE.5分
(3)解法一:
如图4,延长BO交DA的延长线于F,连结OA.
图4
∵AD∥OC,
∴∠F=∠BOC=90°.
∵∠ABC=15°,
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°.
∵OA=OB.
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°,∠OAF=30°.
∴
.
∵AD∥OC,
∴△BOC∽△BFD.
即
的值为2.7分
解法二:
作OM⊥BA于M,设⊙O的半径为r,可得
所以
25.解:
(1)∵抛物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),
∴x1、x2是关于x的方程
的解.
方程可简化为x2+2(a-1)x+(a2-2a)=0.
解方程,得x=-a或x=-a+2.1分
∵x1<x2,-a<-a+2,
∴x1=-a,x2=-a+2.
∴A、B两点的坐标分别为A(-a,0),B(-a+2,0).2分
(2)∵AB=2,顶点C的纵坐标为
3分
∴△ABC的面积等于
4分
(3)x1<1<x2,∴-a<1<-a+2.
∴-1<a<1.5分
∵a是整数,
∴a=0,所求抛物线的解析式为y=
6分
解法一:
此时顶点C的坐标为
如图5,作CD⊥AB于D,连结CQ.
图5
则AD=1,
∴∠BAC=60°.
由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形.
由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得,点
M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN为平行四边形,C、Q、
P三点共线,且
7分
∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,
8分
解法二:
设点P的坐标为P(x,0)(0<x<2).
如图6,作MM1⊥AB于M1,NN1⊥AB于N1.
图6
∵△APM和△BPN是等边三角形,且都在x轴上方,
∴AM=AP=x,BN=BP=2-x,
∠MAP=60°,∠NBP=60°.
∴M、N两点的坐标分别为
可得线段MN的中点Q的坐标为
由勾股定理得
7分
∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,0<x<2,
8分
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