第13章整式的乘除教案.docx
- 文档编号:28710367
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:159.72KB
第13章整式的乘除教案.docx
《第13章整式的乘除教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第13章整式的乘除教案.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第13章整式的乘除教案
第一章整式的乘除
单元教学分析
13.1幂的运算
1.乘方的意义→同底数幂的乘法→幂的乘方,乘方的意义+乘法交换律→积的乘方→同底数幂的除法.
13.2整式的乘法
1.乘法的运算律+同底数幂的乘法→单项式乘法。
5.乘法分配律+单项式乘法→单项式乘以多项式。
13.3乘法公式
1.两数和乘以它们的差、两数和的平方公式均来自整式的乘法,又应用于整式的乘法.
2.两数差的平方公式可以由“和”的情形来理解.
13.4整式的除法
13.5因式分解
1.整式的乘法+“因数分解”→因式分解.整式的乘法可以用来检验因式分解的正确性。
第1课时同底数幂的乘法
教学分析
重点:
掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。
难点:
对法则推导过程的理解及逆用法则。
关键:
关注性质的推导,主动探索,在实践中获得结论,并能正确地用语言表述性质。
教学过程
1.填空。
(1)2×2×2×2×2=(),a·a·…·a=()
m个
1.下述题目,要求学生说出每一步变形的根据之后,再提问让学生直接说出23×25=(),36×37=(),由此可发现什么规律?
(1)23×22=()×()=2(),
(2)53×52=()×()=5(),
(3)a3a4=()×()=a()。
2.如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数),你能写出aman的结果吗?
你写的是否正确?
(让学生猜想,并验证。
)
即am·an=am+n(m、n为正整数)
这就是同底数幂的乘法法则。
让学生用文字语言表述法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
3.说明:
同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则,应充分展示教学过程。
三、举例及应用。
1.例1、计算:
(1)103×104
(2)a·a3(3)a·a3·a5
第2课时幂的乘方
教学分析
重点:
掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。
难点:
对法则推导过程的理解及逆用法则。
关键:
利用教材内容安排的特点,把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密联系起来。
教学过程
二、新授。
1.x3表示什么意义?
2.如果把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?
3.怎样把a2·a2·a2·a2=a2+2+2+2写成比较简单的形式?
4.由此你会计算(a4)5吗?
5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。
(1)(23)2=23×23=2();
(2)(32)3=()×()×()=3();
(3)(a3)5=a3×()×()×()×()=a()。
6.用同样的方法计算:
(a3)4;(a11)9;(b3)n(n为正整数)。
这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例。
教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错。
此时应让学生思考,有没有简捷的方法?
引导学生认真思考,并得到:
(23)2=23×2=26;(32)3=32×3=36;(a11)9=a11×9=a99(b3)n=b3×n=b3n
(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?
结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?
)怎样说明你的猜想是正确的?
即(am)n=am·n(m、n是正整数)。
这就是幂的乘方法则。
你能用语言叙述这个法则吗?
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
三、举例及应用。
3.例2、下列计算过程是否正确?
(1)x2·x6·x3+x5·x4·x=xll+x10=x2l。
(2)(x4)2+(x5)3=x8+x15=x23
(3)a2·a·a5+a3·a2·a3=a8+a8=2a8。
(4)(a2)3+a3·a3=a6+a6=2a6。
说明:
(1)要让学生指出题中的错误并改正,通过解题进一步明确算理,避免公式用错。
(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。
第3课时积的乘方
教学分析
重点:
探索积的乘方法则的形成过程。
难点:
积的乘方公式的推导及公式的逆用。
关键:
关注性质的推导,主动探索,在实践中获得结论,并能正确地用语言表述性质。
教学过程
3.探索,概括。
于是我们得到了积的乘方法则:
(ab)n=anbn(n是正整数)。
这就是说,积的乘方,等于各因数乘方的积。
教师应一步一步地引导学生,得出结论(因为指数是用字母表示的,就学生的思维状况来说是个难点)。
然后让学生自己对照公式总结,自己叙述出法则。
4.引导学生剖析积的乘方法则。
问题:
三个或三个以上因式的积的乘方,是不是也具有这一性质?
(1)(abc)n=(ab)ncn=anbncn。
即(abc)n=anbncn(n为正整数)。
三、举例及应用。
1.例3计算:
(1)(-2b)3;
(2)(2×a3)2;(3)(-a)3;(4)(-3x)4。
第4课时同底数幂的除法
教学分析
重点:
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算。
难点:
理解同底数幂的除法的运算算理。
关键:
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则。
教学过程
(1)叙述同底数幂的乘法性质.
(2)计算:
①
②
③
.(m,n都是正整数)
三.导向深入,揭示规律
我们通过同底数幂相乘的运算法则可知,
那么,根据除法是乘法的逆运算可得
也就是
同样,
,
那么
,当m,n都是正整数时,如何计算呢?
(板书)
四.尝试反馈,理解新知
例1计算:
(1)
(2)
例2计算:
(1)
(2)
第5课时单项式与单项式相乘
教学分析
重点:
对单项式运算法则的理解和应用;
难点:
尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律;
关键:
正确认识单项式与单项式的系数、相同字母、不同字母三者在它们的乘积中的处理方法。
教学过程
;
1.判断下列计算是否正确,如有错误加以改正。
(1)a3·a5=a10
(2)a·a2·a5=a7;(3)(a3)2=a9;(4)(3ab2)2·a4=6a2b4。
2.计算:
(1)10×102×104=();
(2)(a+b)·(a+b)3·(a+b)4=();(3)(-2x2y3)2=()。
二、导入新课。
我们刚才已经复习了幂的运算性质。
从本节开始,我们学习整式的乘法。
我们知道,整式包括什么?
(包括单项式和多项式。
)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。
这节课我们就来学习最简单的一种:
单项式与单项式相乘。
第6课时单项式与多项式相乘
教学分析
重点:
掌握单项式乘以多项式的法则。
难点:
熟练地运用法则,准确地进行计算。
关键:
单项式与多项式相乘时应用乘法分配律转化为单项式相乘。
教学过程
1.单项式与单项式相乘的法则?
单项式乘以单项式就是系数与系数相乘,相同字母按同底数的幂相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。
2.完成下列各题。
(1)2x2·(-4xy)=();
(2)(-2x2)·(-3xy)=();
(3)(-
ab)·(
ab2)=();(4)12(
-
+
)=()
二、引导观察,图形演示。
1.在l2×(
-
+
)中,你是怎样计算的?
用什么样的方法较简单?
(乘法分配律。
)
即12×(
-
+
)=12×
-12×
+12×
。
2.我们知道代数式中的字母都表示数,如果把上题中的数都换成字母,你会计算m(a+b+c)吗?
(引导学生用乘法的分配律解决。
)
3.你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?
(出示图。
)
大长方形的面积有两种表示方法,一是长为a+b+c,宽为m,面积是m(a+b+c);二是三个小长方形的面积和,即am+bm+cm。
它们都是大长方形的面积,所以它们是相等的,即m(a+b+c)=am+bm+cm。
4.在m(a+b+c)=ma+mb+mc中,“m”是单项式,“a+b+c”是多项式,这两者相乘,从中你能看出什么规律?
(在教师的引导下,学生总结出法则,并用语言叙述。
)
法则:
单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加。
用式子表示为:
m(a+b+c)=ma+mb+mc
三、举例及应用。
1.例1计算:
(-2a2)·(3ab2-5ab3)。
解:
(-2a2)·(3ab2-5ab3)
=(-2a2)·3ab2+(-2a2)·(-5ab3)
=-6a3b2+l0a3b3。
(此题是为了熟悉法则,解题时要严格按法则,教师示范解题格式。
)
4.例3计算:
-2a2(
ab+b2)-5a(a2b-ab2)。
(该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算,对于后一个括号中的“-”的处理,要看成是单项式的符号。
)
第7课时多项式与多项式相乘
教学分析
重点:
多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用;
难点:
多项式乘以多项式的法则的正确应用;
关键:
多项式的乘法应先转化为单项式乘多项式相乘进行运算,进一步再转化为单项式的乘法。
教学过程
一、复习活动。
指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。
(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项,再把所得的积相加。
)
二、引导观察,图形演示。
1.式子p(a+b)=pa+pb中的p,可以是单项式,也可以是多项式。
如果p=m+n,那么p(a+b)就成了(m+n)(a+b),这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。
(由此引出课题。
)
你会计算这个式子吗?
你是怎样计算的?
(教师引导学生由繁化简,把m+n看作一个整体,使之转化为单项式乘以多项式,即:
[(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+mb+na+nb。
]
2.你能用图形验证你算出的式子吗?
某地区在退耕还林期间,有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米,加宽了b米。
请你表示这块林区现在的面积。
问题:
(1)如何表示扩大后的林区的面积?
(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?
(学生分组讨论,相互交流得出答案。
)
学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m+n)(a+n)米2;另一个是(ma+mb+na+nb)米2.以上的两个结果都是正确的。
3.观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系,能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?
如果能得到,又是怎样相乘得到的?
(教师示范。
)
你能用语言叙述这个式子吗?
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
即:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
第8课时两数和乘以这两数的差
教学分析
重点:
掌握平方差公式的特点,牢记公式。
难点:
具体问题要具体分析,会运用公式进行计算。
关键:
抓住本节公式结构特征,判断哪些算式符合公式特征,哪些不符合公式特征。
教学过程
二、知识回顾。
1.多项式乘以多项式的法则:
____________________________________________________________。
2.利用多项式与多项式的乘法法则说出(x+a)(x+b)的结果。
3.计算:
(1)(x+3)(x-3);
(2)(a+2b)(a-2b);(3)(4m+n)(4m-n);(4)(5+4y)(5-4y)。
三、引导观察。
1.请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子,两个因式有什么特点?
积有什么特点?
2.这四个题目与(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab有什么关系?
你还能再举出这样的几个例子来吗?
(引导学生发现:
当a=-b时,(x+a)(x+b)=x2-b2,从而得出平方差公式。
)
第9课时两数和的平方
教学分析
重点:
掌握两数的平方这一公式的结构特征;
难点:
对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键:
引导学生对本节课公式结构特征进行理解,并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程
1.说出平方差公式。
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差。
)
2.计算:
(x+a)(x+b)=______。
二、引导观察。
4.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2。
引导学生将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为[a+(-b)]2=a2+2a×(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2,并指出这也是一个乘法公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2。
5.你能用图形验证:
(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2吗?
在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的,两个小正方形的面积分别是a2、b2,长方形的面积是ab,所以有等式(a+b)2=a2+2ab+b2。
在右图中,大正方形的面积是a2,两个小正方形的面积分别是(a-b)2、b2,两个相等的长方形面积都是(a-b)·b,于是有a2=(a-b)2+2(a-b)·b+b2,即(a-b)2=a2-2(a-b)·b-b2=a2-2ab+b2。
(让学生进一步感受“数形结合”的思想。
)
6.比较(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2这两个公式,它们有什么不同?
有什么联系?
(引导学生进一步总结公式的结构特点,公式的左边是两数和(或差)的平方,右边是一个三项式,其中两项是这两个数的平方,另一项是这两个数积的2倍。
)
6、你会用乘法公式计算吗?
(1)(m+n)(m-n)(m2-n2)
(2)(a+b+c)2
先让学生讨论,再解答,交流体会。
7、请你完成下面计算。
(1)912
(2)3012(3)(x+2)2-(x-2)2
第10课时单项式除以单项式
教学分析
重点:
掌握整式除法运算法则,并学会简单的整式除法运算。
难点:
理解和体会单项式除以单项式的法则。
关键:
通过整式乘法,类比数的运算,迁移到整式除法运算。
教学过程
(l)叙述同底数幂的除法性质.
(2)计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
学生活动:
学生回答上述问题.(
,m,n都是正整数,且m>n)
通过复习引起学生回忆,且巩固同底数幂的除法性质.同时为本节的学习打下基础,注意要指出零指数幂的意义.
二.指出问题,引出新知
问题地球的质量约为5.98×1024千克,木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍?
(结果保留三个有效数字)
分析本题只需做一个除法运算:
(1.9×1027)÷(5.98×1024),我们可以先将1.9除以5.98,再将1027除以1024,最后将商相乘.
解 (1.9×1027)÷(5.98×1024)=(1.9÷5.98)×1027-24≈0.318×103=318.
答:
木星的重量约是地球的318倍.
12
(2)你能根据
(2)说一说单项式除以单项式的运算法则吗?
学生总结,教师归纳:
单项式除以单项式法则:
单项式除以单项式,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
三.范例学习
例1计算
(1)
(2)-21
(3)
评析:
注意
=
=1,字母c只在被除式中出现,结果它仍保留在商中.
课堂演练:
计算:
(1)28
(2)15
第11课时多项式除以单项式
教学分析
重点:
掌握多项式除以单项式的运算法则及简单运算。
难点:
理解和体会多项式除以单项式的法则。
关键:
类比数的除法,除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数,也可利用逆运算进行考虑。
教学过程
一、课堂小测
1、
2、-13
3、
4、6a
÷
-4
÷
二.讨论
1.问题提出
计算下列各式,谈谈你是怎么计算
(1)(am+bm)÷m
(2)
(3)
三、范例学习
例3计算
(1)
(2)
四、课堂演练
计算:
(1)(
)÷3a
(2)
(3)[
(2x+y)-8x]÷2x
第12课时因式分解
(1)
教学分析
重点:
因式分解的概念及用提公因式法分解因式。
难点:
正确的找出多项式各项的公因式进行因式分解。
关键:
正确找出多项式各项的公因式,对于每个多项式应分解彻底。
教学过程
二、因式分解的概念
教师活动:
1、探究题:
请同学们把下列多项式写成整式的积的形式(投影)
(1)x2+x=___________
(2)x2-1=_____________
2、引导学生分析上面式子的特点,归纳因式分解的概念。
定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
也叫做把这个多项式分解因式。
3、引导学生分析整式乘法与因式分解的联系与区别。
联系:
都是由几个相同的整式组成的等式。
区别:
相同整式的位置比同,两者是相反的恒等变形。
例1下列各式那些是因式分解?
(1)x2+x=x(x+1)
(2)a(a-b)=a2-ab
(3)(a+3)(a-3)=a2-9(4)a2-2a+1=a(a-2)+1
例2指出下列多项式的公因式:
(1)a2-a
(2)5a2b-ab2
(3)4m2np-2mn2q(4)a2b-ab2
强调找公因式的方法:
公因式的系数应取最大公约数;字母取相同字母且字的指数取最低次数。
3、引入提公因式法分解因式。
整式乘法:
m(a+b+c)=ma+mb+mc逆变形得到
因式分解:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
说明:
多项式ma+mb+mc各项都有的公因式m可以提到括号外面,写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
定义:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
4、提公因式法分解因式典型举例。
例3把下列各式分解因式:
(1)8a3b2-12ab3c
(2)3x2-6xy+x(3)2a(b+c)-3(b+c)
说明:
1)提公因式法分解因式的步骤:
第一步:
找出公因式。
第二步:
提公因式。
2)当多项式的一项是公因式时,这项应看成它与1的积,提公因式后剩下的是1,不能漏掉。
3)公因式不仅可以是单项式,也可以是多项式,找公因式时要注意观察。
四、课堂巩固练习
1.把下列各式分解因式:
(1)8m2n+2mn
(2)12xyz-9x2y2(3)2a(y-z)-3b(z-y)(4)p(a2+b2)-q(a2+b2)
2.先分解因式,再求值。
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3
六、布置作业:
用提公因式法分解因式
(1)-20a-25ab
(2)-
(3)
(4)
(5)
(6)
第13课时因式分解
(2)
教学分析
重点:
能利用公式法进行分解因式
难点:
观察多项式的特点,判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法,并完整地进行分解
关键:
抓住乘法公式的特征应用于多项式的分解,注意检验多项式是否分解彻底
教学过程
特点:
这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式,对于这种形式的多项式,可以利用平方差公式来分解因式。
即:
反过来就是:
要求学生具体说说这个公式的意义,教师用语句清楚地进行表述。
例1、分解因式:
(1)4x
-9
(2)
-0.01
(3)(x+p)
-(x+q)
例2、分解因式
(1)
(2)
例3、分解因式
(1)16x
+24x+9
(2)-x+4xy-4y
训练学生运用完全平方公式分解因式,要尽可能地让学生说和做,引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点,把多项式向公式的方向转化。
例4、分解因式
(1)3ax
+6axy+3ay
(2)(a+b)
-12(a+b)+36
学生仔细观察多项式的特点,教师适当提醒和指导,要从公式的形式和特点上进行比较.(可把a+b看作一个整体,设a+b=m)
四、随堂练习:
1、用公式法分解因式
(1)
(2)
(3)144
-256
(4)
(5)
(6)a-
第14课时面积与代数恒等式
教学分析
重点、难点从图形面积到代数恒等式、从代数恒等式到图形面积
教学方法:
引导启发、自主探索、合作交流
教学手段:
网络教学
教学过程
(一)引入:
前一阶段我们学习了整式的乘法和因式分解,无论是整式的乘法还是因式分解,我们都接触了一些幂的运算公式和乘法公式。
今天我们借用拼图的方式来验证它们的正确性。
(二)从图形面积到代数恒式:
1、说一说
首先请同学们观察用硬纸片拼成的几幅图形:
这些图形面积的两种不同表示,可以用来解释什么等式?
,
小结:
利用同一图形面积的不同表示方法可以得出代数恒等式
(三)从代数恒等式到图形面积:
1、做一做
前面我们根据拼图面积的不同表示方法,写出了代数恒等式。
现已知代数恒等式,同学们能否用拼图的方法来验证它们的正确性?
如:
代数恒等式:
(1)
(2)
(3)
(4)
小结:
由代数恒等式来设计图形,可根据恒等式左右两边的特点来进行。
如:
可以看成一个边长为
的正方形的面积,画出图形;
可以看成一个长为
,宽为
的长方形的面积,画出图形;
可以看成一个长为
,宽为
的长方形的面积,。
然后对画出的图形进行适当的割补!
2、试一试
让大家都当一回设计师,帮一个工程队设计一套住房,要求:
在一块长为
,宽为
的长方形荒地上建成一套两室一厅一厨一卫的房子。
其中客厅面积为
;两卧室面积共为
;厨房面积为
;卫生间面积为
。
根据今天所学的内容,请你试着把自己的想法画成平面结构示意图。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 13 整式 乘除 教案