宁夏银川一中10届高三二模数学理.docx
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宁夏银川一中10届高三二模数学理
宁夏银川一中2010届高三二模(数学理)
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银川一中2010届高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,其中第Ⅱ卷第22-24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷 一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,满分60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y= 1x,x?
A},则A?
B=( )2A.{1,2,3,4} B.{1,2} C.{1,3} D.{2,4}2.设m、n是两条不同的直线,?
、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若m∥n,m∥?
,则n∥?
B.若?
⊥β,m∥?
,则m⊥βC.若?
⊥β,m⊥β,则m∥?
D.若m⊥n,m⊥?
,n⊥β,则?
⊥β3.右边程序运行结果为( ) A.7 B.6 C.5 D.44.函数f= A. 1的最大值是( ) 1?
x(1?
x)n=10s=0DOs=s+nn=n-1LOOPUNTILs﹥=40PRINTnEND45B. 54C. 34D. 435.已知直线ax?
by?
c?
0不经过第二象限,且ab?
0,则( ) A. c?
0B.c?
0 C.ac?
0 D.ac?
06.函数f(x)?
lnx?
A.0 B.1 1的零点的个数是( )x?
1C.2 D.3 本卷第1页 天星教育网,因你而精彩!
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x2y257.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是6,且a?
b,则椭圆2?
2?
1 2ab的离心率e等于( ) A. 32B. 2532C. 13D.1338.已知双曲线x2x轴的距离为( ) y?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1?
MF2?
0,则点M到 53A. 43B.C.233D.39.下列命题正确的是( ) A.函数y?
sin(2x?
?
33644B.函数y?
cosx?
sinx的最小正周期为2?
?
?
C.函数y?
cos(x?
D.函数y?
tan(x?
)在区间(?
?
?
)内单调递增 3)的图像是关于点(,0)成中心对称的图形 6?
3)的图像是关于直线x?
?
6成轴对称的图形 10.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB, y 124若(,)是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是( )35105123312123A.(?
?
)B.(?
?
)C.(,)D.(?
) 312510105510OBC(,)A1x243511.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n,则函数y?
上为增函数的概率是( ) 23mx?
nx?
1在[1,?
?
)335D. 46?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12.已知O是正三角形ABC内部一点,OA?
2OB?
3OC?
0,则?
OAC的面积与?
OAB A. B. C. 的面积之比是( )A. 1223 321 B. C.2 D.233第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题13.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x?
y?
2?
0上,则此抛物 线方程为__________________. 本卷第2页 天星教育网,因你而精彩!
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14.我校在上次摸考中约有1000人参加考试,数学考试的成绩?
~N(90,a2),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总 B1 C1 3人数的,则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有 人。
515.如图ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠BCA=90°,点E、F分别是A1B1、A1C1 的中点,若BC=CA=AA1,则BE与AF所成角的余弦值为__________。
EFA1 BCA16.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一 个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是 (用数字作答). 三、解答题:
本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. 在数列?
an?
中,a1?
2,an?
1?
4an?
3n?
1,n?
N. *证明数列?
an?
n?
是等比数列; 设数列?
an?
的前n项和Sn,求Sn?
1?
4Sn的最大值。
18. 某单位为加强普法宣传力度,增强法律意识,举办了“普法知识竞赛”,现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是 4,甲、丙两人5都回答错误的概率是 11,乙、丙两人都回答对的概率是.154求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。
求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。
19. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。
求证:
AB1⊥面A1BD; 求二面角A-A1D-B的正弦值;20. x2?
y2?
1的左、右焦点.设F1、F2分别是椭圆4?
?
?
?
?
?
?
?
?
若P是该椭圆上的一个动点,求PF1?
PF2的取值范围; 设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角,求直线l的斜率k的取值范围. 本卷第3页 天星教育网,因你而精彩!
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(3)设A(2,,0)B(01),是它的两个顶点,直线y?
kx(k?
0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.21. 设x1、x2(x1?
x2)是函数f(x)?
ax3?
bx2?
a2x(a?
0)的两个极值点。
若x1?
?
1,x2?
2,求函数f(x)的解析式;若|x1|?
|x2|?
22,求b的最大值。
a(3a?
2)2若x1?
x?
x2,且x2?
a,g(x)?
f’(x)?
a(x?
x1),求证:
|g(x)|?
。
12四、选考题:
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.选修4-1:
几何证明选讲 如图,BA是⊙O的直径,AD是切线,BF、BD是割线,求证:
BE?
BF=BC?
BD 23.选修4-4:
坐标系与参数方程 在抛物线y=4a(x+a)(a>0),设有过原点O作一直线分别交抛物线于A、B两点,如图所示,试求|OA|?
|OB|的最小值。
24.选修4—5;不等式选讲 设|a| 银川一中高三第二次模拟数学(理科)参考答案 ?
题?
1?
1?
1 ?
1?
2?
3?
4?
5?
6?
7?
8?
9号012?
答 ?
B?
D?
C?
D?
D?
C?
B?
C?
C?
B?
D?
B案 302213.y?
?
8x或x?
8y14.20015.16.60 10*17.证明:
题设an?
1?
4an?
3n?
1,得an?
1?
(n?
1)?
4(an?
n),n?
N.又a1?
1?
1,所以数列?
an?
n?
是首项为1,且公比为4的等比数列. 可知an?
n?
4n?
1,于是数列?
an?
的通项公式为an?
4n?
1?
n.所以数列?
an?
2 2 DCFEOAByAOxB544n?
1n(n?
1)?
的前n项和Sn?
.32本卷第4页 天星教育网,因你而精彩!
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?
4n?
1n(n?
1)?
4n?
1?
1(n?
1)(n?
2)Sn?
1?
4Sn?
?
?
4?
?
?
3232?
?
12=?
(3n?
n?
4)故n=1,最大0. 218.解:
记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、 B、C, ?
P(A)P(C)?
?
4?
则P(A)?
,且有?
5?
P(B)P(C)?
?
?
32?
P(B)?
P(C)?
83115,141?
[1?
P(A)][1?
P(C)]?
?
?
15即?
1?
P(B)P(C)?
?
4?
151,P(B)?
1?
P(B)?
P(C)?
1?
P(C)?
583 “甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件:
A?
B?
C?
A?
B?
C?
A?
B?
C,其中概率为P 43145213229 P?
P(A?
B?
C?
A?
B?
C?
A?
B?
C)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
58358358360A19.解答:
解法一:
取BC中点O,连结AO. ?
△ABC为正三角形,?
AO⊥BC. ?
正三棱柱ABC?
A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1, P(A)?
1?
P(A)?
A1F ?
AO⊥平面BCC1B1. 连结B1O,在正方形BB1C1C中,O,D分别为 C DBC,CC1的中点,O?
B1O⊥BD, BB1?
AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,?
AB1⊥平面A1BD. F,连结AF,设AB1与A1B交于点G,在平面A1D于1BD中,作GF⊥A?
∠AFG为二面角A?
A1D?
B的平面角.得AB1⊥平面A1BD.?
AF⊥A1D, 145,又?
AG?
AB1?
2, 2510AG210.所以二面角A?
A1D?
B的大小?
sin∠AFG?
?
?
4AF4545解法二:
取BC中点O,连结AO.?
△ABC为正三角形,?
AO⊥BC. ?
在正三棱柱ABC?
A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,?
AD⊥平面BCC1B1. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
取B1C1中点O1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向为x,y,z轴的正方向建立空 在△AA1D中,等面积法可求得AF?
C1,0,0),D(?
11,,0),A间直角坐标系,则B(12,0),0,3),B1(1,,2,3),A(0,1(0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,,,BA?
(?
1?
AB1?
(1,2,?
3),BD?
(?
210),2,3). ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
AB1?
BD?
?
2?
2?
0?
0,AB1?
BA1?
?
1?
4?
3?
0,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
AB1⊥BD,AB1⊥BA1.?
AB1⊥平面A1BD.z设平面A1AD的法向量为n?
(x,y,z).A本卷第5页 A1FCDC1
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?
?
?
?
?
?
?
?
AD?
(?
11,,?
3),AA1?
(0,2,0). ?
?
?
?
?
?
?
?
?
n⊥AD,n⊥AA1, ?
?
?
?
?
?
?
x?
y?
3z?
0,?
?
y?
0,?
n?
AD?
0,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2y?
0,?
x?
?
3z.?
n?
AA1?
0,?
令z?
1得n?
(?
3,01),为平面A1AD的一个法向量. ?
?
?
?
知AB1⊥平面A1BD,?
AB1BD的法向量.1为平面A?
?
?
?
?
?
?
?
n?
AB1?
3?
36.?
二面角A?
A1D?
B的正弦大小为?
?
cos?
n,AB1?
?
?
?
?
?
?
42?
22n?
AB110420.
(1)解法一:
易知a?
2,b?
1,c?
3所以F1?
3,0,F212?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
PF?
PF?
?
?
3?
x,?
y?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
故?
PF1?
PF2?
1-2 ?
?
?
3,0,设P?
x,y?
,则 x213?
x,?
y?
x?
y?
3?
x?
1?
?
3?
?
3x2?
8?
44?
222显然直线x?
0不满足题设条件,可设直线l:
y?
kx?
2,M(x1,y1),B(x2,y2), ?
y?
kx?
21?
?
?
联立?
x2,消去y,整理得:
?
k2?
?
x2?
4kx?
3?
0 24?
?
?
?
y?
1?
44k3∴x1?
x2?
?
x1?
x2?
11k2?
k2?
44331?
2?
?
?
?
4k?
?
4?
k?
?
?
3?
4k2?
3?
0得:
k?
或k?
?
224?
?
又0°0?
OM?
ON>0∴OM?
ON?
x1x2?
y1y2?
0 ?
k2?
1?
8k2?
?
4?
又y1y2?
?
kx1?
2?
?
kx2?
2?
?
kx1x2?
2k?
x1?
x2?
?
4?
111k2?
k2?
k2?
4443?
k2?
1?
?
0,即k2?
4∴?
2?
k?
2∵ 11k2?
k2?
4433故①、②得?
2?
k?
?
或?
k?
2 22解法一:
根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为 23k2本卷第6页 天星教育网,因你而精彩!
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h1?
h2?
x1?
2kx1?
25x2?
2kx2?
25?
2(1?
2k?
1?
4k2)5(1?
4k)5(1?
4k2)2, ?
2(1?
2k?
1?
4k2).又AB?
22?
1?
5,所以四边形AEBF的 12(1?
2k)1?
4k2?
4k14(1?
2k)面积为S?
AB(h1?
h2)?
?
5?
≤22,?
?
222221?
4k21?
4k5(1?
4k)1当2k?
1,即当k?
时,上式取等号.所以S的最大值为22. 2解法二:
题设,BO?
1,AO?
2. 设y1?
kx1,y2?
kx2,①得x2?
0,y2?
?
y1?
0,故四边形AEBF的面积为S?
S△BEF?
S△AEF?
x2?
2y2?
2222?
x2?
4y2?
4x2y2≤2(x2?
4y2)?
22, (x2?
2y2)2当x2?
2y2时,上式取等号.所以S的最大值为22. 21.解:
f’(x)?
3ax2?
2bx?
a2(a?
0)∵x1?
?
1,x2?
2是函数f(x)的两个极值点, ∴f’(?
1)?
0,f’
(2)?
0。
∴3a?
2b?
a2?
0,12a?
4b?
a2?
0,解得a?
6,b?
?
9。
∴f(x)?
6x3?
9x2?
36x。
∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点,∴f’(x1)?
f’(x2)?
0。
∴x1,x2是方程3ax2?
2bx?
a2?
0的两根。
23x1?
x2?
?
∵?
?
4b?
12a,∴?
?
0对一切a?
0,b?
R恒成立。
2bax1?
x2?
?
,,3a3∵a?
0,∴x1?
x2?
0。
2b2a4b24∴|x1|?
|x2|?
|x1?
x2|?
(?
)?
4(?
)?
?
a。
|x1|?
|x2|?
22得23a39a34b24?
a?
22,∴b2?
3a2(6?
a)。
239a2∵b?
0,∴3a2(6?
a)?
0,∴0?
a?
6。
令h(a)?
3a2(6?
a),则h’(a)?
?
9a2?
36a。
当0?
a?
4时,h’(a)?
0,∴h(a)在内是增函数;当4?
a?
6时,h’(a)?
0,∴h(a)在内是减函数。
∴当a?
4时,h(a)有极大值为96,∴h(a)在(0,6]上的最大值是96, ∴b的最大值是46。
(3)∵x1,x2是方程f’(x)?
0的两根, a1,x2?
a,∴x1?
?
。
33111∴|g(x)|?
|3a(x?
)(x?
a)?
a(x?
)|?
|a(x?
)[3(x?
a)?
1]|∵x1?
x?
x2, 3331|g(x)|?
a(x?
)(?
3x?
3a?
1) 3∴f’(x)?
3a(x?
x1)(x?
x2),∵x1?
x2?
?
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13a?
1a23a313a31a(3a?
2)222?
?
3a(x?
)(x?
)?
?
3a(x?
)?
?
a?
a?
?
a?
a?
334324312。
22.证法一:
连接CE,过B作⊙O的切线BG,则BG∥AD∴∠GBC=∠FDB,又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB BCBE,即BE?
BF=BC?
BD?
BFBD证法二:
连续AC、AE,∵AB是直径,AC是切线∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF 22 射线定理有AB=BC?
BD,AB=BE?
BF ∴BE?
BF=BC?
BD 又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角∴△BCE∽△BDF∴ 23.解:
法一,(极坐标)?
sin?
-4a?
sin?
-4a=0∴|OA||OB|= 法二:
(参数方程)lAB?
?
2 222 4a2sin?
2≤4a 2 ?
x?
tcos?
y?
tsin?
?
2 2 sin2?
1252222 24.证:
|f(x)|=|a(x-1)+x|≤|a(x-1)|+|x|≤|x-1|+|x|=1-x+|x|=-(|x|-)+≤ 24545 ∴|f(x)|≤ 4代入y=4a(x+a)中得:
t2sin?
-4atcos?
-4a=0 |OA||OB|=|t1t2|= 4a2≤4a 2 本卷第8页
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