精选教育初三数学同步练习一元二次方程测试题doc.docx
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初三数学同步练习:
一元二次方程测试题
初三数学同步练习:
初三数学一元二次方程测试题
一、选择题
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()
A.B.C.D.
2.某市2019年平均房价为每平方米12019元.连续两年增长后,2019年平均房价达到每平方米15500元,设这两年平均房价年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是()
A.15500(1+x)2=12019B.15500(1﹣x)2=12019
C.12019(1﹣x)2=15500D.12019(1+x)2=15500
3.用因式分解法解一元二次方程,正确的步骤是()
A.B.
C.D.
4.已知1是关于的一元二次方程的一个根,则m的值是()
A.0B.1C.-1D.无法确定
5.若关于的一元二次方程有实数根,则()
A.B.C.D.
6.已知一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的范围是()
A.kB.k
C.k0D.k0
7.一元二次方程的解是()
A.B.C.D.
8.用配方法解方程,配方正确的是()
A.B.C.D.
9.某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率为x,则可列方程为().
A.48(1﹣x)2=36B.48(1+x)2=36C.36(1﹣x)2=48D.36(1+x)2=48
10.若关于的一元二次方程的两根分别为,,则p、q的值分别是()
A.3、2B.3、2C.2、3D.2、3
11.关于x的一元二次方程(其中a为常数)的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.可能有实数根,也可能没有实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
12.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为,则下面列出的方程中正确的是()
A.B.
C.D.
13.若一元二次方程x2+x-2=0的解为x1、x2,则x1x2的值是()
A.1B.1C.2D.2
14.用配方法解方程时,原方程应变形为()
A.B.C.D.
15.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是()
A.5个B.6个C.7个D.8个
16.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍(0
A.B.C.D.
17.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为
A.B.
C.D.
18.一元二次方程可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是,则另一个一元一次方程是【】
A.B.C.D.
19.一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是【】
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
20.如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是
A.5.5B.5C.4.5D.4
二、填空题
21.将一元二次方程化成一般形式为.
22.若是一元二次方程的两个根,则的值是;的值是.
23.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根,则=.
24.若关于的方程有一根为3,则=___________.
25.某种型号的电脑,原售价6000元/台,经连续两次降价后,现售价为4860元/台,设平均每次降价的百分率为,则根据题意可列出方程:
.
26.方程的解是________.
27.已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,则的值是________.
28.若,且一元二次方程有实数根,则的取值范围是.
29.已知与的半径分别是方程的两根,且,
若这两个圆相切,则t=.
30.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程.
31.对于实数a,b,定义运算﹡:
.例如4﹡2,因为42,所以4﹡2=42﹣42=8.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=.
32.如图,在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300m2.若设道路宽为m,则根据题意可列方程为__.
33.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根,则k的非负整数值是.
34.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根,则方程的另一个根是.
35.(2019年四川自贡4分)已知关于x的方程,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
①x1②x1x2
三、计算题
36.(本题满分8分)
求证:
不论k为任何实数,关于的方程都有两个不相等的实数根。
37.解方程:
(1)(2x+3)2-25=0
(2)x2+3x+1=0.
38.解方程:
39.解方程:
40.先化简再求值:
,其中x是方程的根.
41.解方程:
(x+3)2﹣x(x+3)=0.
42.1)
(2)
43.给出三个多项式:
①;②;③.请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果因式分解.
四、解答题
44.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程解相同.
(1)求k的值;
(2)求方程x2+kx-2=0的另一个根.
45.已知是方程的一个根,求的值.
46.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,化简:
.
47.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)求证:
不可能是此方程的实数根.
48.已知关于x的一元二次方程的一个根为2.
(1)求m的值及另一根;
(2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长,求此等腰三角形的周长.
49.已知:
关于的一元二次方程.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设上述方程的两个实数根分别为x1、x2,求:
当取哪些整数时,x1、x2均为整数;
(3)设上述方程的两个实数根分别为x1、x2,若,求k的值.
50.某水果专卖店销售樱桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每千克降低1元,则平均每天的销售可增加10千克,若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克樱桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
参考答案
1.A.
【解析】
试题分析:
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
所以选A.
考点:
1.一元二次方程一般形式下的二次项系数2.一元二次方程一般形式下的一次项系数3.一元二次方程一般形式下的常数项.
2.D
【解析】2019年平均房价为12019(1+x)元,2019年平均房价为12019(1+x)(1+x)元,而2019年的平均房价是15500元,由此可列方程12019(1+x)2=15500.
试题分析:
增长率问题中的关系为:
现在量=原来量(1+增长率),根据题意,2019年平均房价为12019(1+x)元,2019年平均房价为12019(1+x)(1+x)元,而2019年的平均房价是15500元,由此可列方程12019(1+x)2=15500.
考点:
增长率问题.
3.D
【解析】根据题意,可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0,提公因式(x-1),有(x-1)(x+2)=0.
试题分析:
因式分解的一般步骤是:
第一,看能不能用提公因式法;第二,公式法,平方差公式和完全平方公式;第三步,对于二次三项式,看能不能用十字相乘法.
考点:
因式分解.
4.C
【解析】由题,将x=1代入一元二次方程,有m-1+1+1=0,m=-1.
试题分析:
根是使方程两边相等的未知数的值,已知具体的一个根,可以将其代入方程,从而得到等式.
考点:
一元二次方程的根.
5.D
【解析】由题,△=b2-4ac=﹣12k0,k0.
试题分析:
一元二次方程有实数根等价于根的判别式大于等于零,由题,△=b2-4ac=﹣12k0,k0.
考点:
一元二次方程有实数根的条件.
6.D.
【解析】
试题分析:
根据一元二次方程有两个不相等的实数根,知△=b2-4ac0,然后据此列出关于k的方程,解方程,结合一元二次方程的定义即可求解:
∵有两个不相等的实数根,
△=1-4k0,且k0,解得,k0.
故选D.
考点:
1.一元二次方程根的判别式;2.一元二次方程的定义;3.分类思想的应用.
7.B.
【解析】
试题分析:
将分别代入方程,知使方程成立,使方程不成立,所以方程的解为.故选B.
考点:
方程的解.
8.A.
【解析】
试题分析:
把方程,变形为把方程两边加上一次项系数一半的平方,得,整理,得.故选A.
考点:
配方法解一元二次方程.
9.D
【解析】
试题分析:
一元二次方程应用中的增长率问题,一月份的营业额为36万元,二月份的营业额为万元,三月份的营业额为万元,即.
考点:
一元二次方程的应用.
10.A
【解析】
试题分析:
由一元二次方程根与系数的关系:
,,可得,,所以,.
考点:
一元二次方程根与系数的关系
11.A
【解析】
试题分析:
先判断出根的判别式,从而可得此方程有两个不相等的实数根.
考点:
一元二次方程根的判别式
12.B.
【解析】
试题分析:
因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x,去年上半年发放给每个经济困难学生389元,
去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,
则今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+x)(1+x)=389(1+x)2元.
据此,由题设今年上半年发放了438元,列出方程:
389(1+x)2=438.
故选B.
考点:
由实际问题列方程(增长率问题).
13.D.
【解析】
试题分析:
∵一元二次方程x2+x-2=0的解为x1、x2,.故选D.
考点:
一元二次方根与系数的关系.
14.A.
【解析】
试题分析:
用配方法解方程的步骤为:
第一步:
移项,使右边是数,左边都含未知数;第二步:
两边同除以二次项系数,使二次项系数变成1;第三步;配方;两边配上一次项系数一半的平方;第四步;开平方.因此,
故选A.
考点:
配方法.
15.C
【解析】
试题分析:
设参赛球队的个数是x个,则每个队应比(x1)场,根据题意列方程得:
,解得:
=7;=6(舍去);故参赛球队的个数是7.
考点:
一元二次方程的应用.
16.C.
【解析】
试题分析:
分别得到每次钉入木板的钉子的长度,等量关系为:
第一次钉入的长度+第二次钉入的长度+第三次钉入的长度=1,把相关数值代入即可求解:
∵第一次受击进入木板部分的铁钉长度是钉长的,铁钉的长度为1,
第一次受击进入木板部分的铁钉长度是;
∵每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍,
第二次受击进入木板部分的铁钉长度是k,第三次受击进入木板部分的铁钉长度是k2.
可列方程为:
.
故选C.
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题).
17.C
【解析】
试题分析:
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程:
。
故选C。
18.D。
【解析】将两边开平方,得,则则另一个一元一次方程是。
故选D。
19.A。
【解析】∵△=12-41(-2)=90,方程有两个不相等的实数根。
故选A。
20.A。
【考点】因式分解法解一元二次方程,三角形中位线定理,三角形三边关系
【解析】
试题分析:
解方程x2﹣8x+15=0得:
x1=3,x2=5,
根据三角形三边关系,第三边c的范围是:
2
三角形的周长l的范围是:
10
根据三角形中位线定理,连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长m的范围是:
5
满足条件的只有A。
故选A。
21..
【解析】
试题分析:
.
考点:
一元二次方程的表示形式.
22.x1+x2=3;x1x2=-1.
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系是:
x1+x2=,x1x2=.根据题意,x1+x2==3,x1x2==-1.
试题分析:
一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系是:
x1+x2=,x1x2=.根据题意,代入求解即可.
也可以用公式法将一元二次方程的根求出来,x1=,x2=,代入求解即可.
考点:
一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系(x1+x2=,x1x2=).
23.
【解析】由题,,,.
试题分析:
一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数关系:
,,由题,,,.
考点:
一元二次方程根与系数关系.
24.
【解析】
试题分析:
方法一:
把代入方程得;方法二:
由根与系数的关系:
两根之和,得,解得,又有两根之积,得
考点:
一元二次方程根与系数的关系.
25.
【解析】
试题分析:
根据降价后的价格=降价前的价格(1平均每次降价的百分率),可列出方程为.
考点:
一元二次方程的实际应用
26.,
【解析】
试题分析:
先移项,再提取公因式x,然后根据两个式子的积为0,至少有一个为0求解.
考点:
解一元二次方程
27.2或7
【解析】
试题分析:
分两种情况:
(1)a=b,则=2;
(2)ab,把a、b看成是方程的两个根,则a+b=6,ab=4,而.
考点:
1、一元二次方程根与系数的关系;2、异分母分式的加减法;3、和的完全平方公式.
28.且.
【解析】
试题分析:
∵,.
一元二次方程为.
∵一元二次方程有实数根,
且.
考点:
1.绝对值和算术平方根的非负数性质;2.一元二次方程根与系数的关系;3.分类思想的应用.
29.2或0。
【解析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解:
∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程的两根,解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。
①当两圆外切时,圆心距O1O2=t+2=1+3=4,解得t=2;
②当两圆内切时,圆心距O1O2=t+2=3-1=2,解得t=0。
t为2或0。
30.x2-5x+6=0(答案不唯一)
【解析】
试题分析:
已知直角三角形的面积为3,则两直角边长可以分别是2,3;1,6;只要二者的积等于6即可。
当直角边长分别为2、3时,根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2-5x+6=0;
当直角边长分别为1、6时,根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2-7x+6=0;
(答案不唯一)。
31.3或﹣3
【解析】
试题分析:
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,
(x﹣3)(x﹣2)=0,解得:
x=3或2。
①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3
②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=32﹣32=﹣3。
32.(22-x)(17-x)=300或者2217-22x-17x+x2=300.
【解析】方法一:
矩形的总面积是2217m2,横道路面积是22xm2,竖道路面积是17xm2,横竖道路重合面积x2m2,由题草坪面积是300m2,可列方程2217-22x-17x+x2=300;
方法二:
将两条道路分别移到一角,可得草坪的长是(22-x)m,宽是(17-x)m,由题草坪面积是300m2,可列方程(22-x)(17-x)=300.
试题分析:
通常的想法是用总的面积减去道路的面积,剩下的是草坪的面积,矩形的面积是2217m2,道路的面积有一部分重合,重合部分的面积是x2m2,横道路面积是22xm2,竖道路面积是17xm2,而草坪面积是300m2,可列方程2217-22x-17x+x2=300;也可以将两条道路分别移到一角,此时草坪是一个矩形,可得草坪的长是(22-x)m,宽是(17-x)m,由题草坪面积是300m2,可列方程(22-x)(17-x)=300.
考点:
一元二次方程的实际应用.
33.1。
【解析】根据题意得:
△=16﹣12k0,且k0,
解得:
k,且k0。
则k的非负整数值为1。
34.3
【解析】
试题分析:
设方程另一个根为x1,根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2x1=﹣6,所以x1=3。
35.①②。
【解析】①∵方程中,△=(a+b)2﹣4(ab﹣2)=(a﹣b)2+40,
x1x2。
故①正确。
②∵x1x2=ab﹣1
③∵x1+x2=a+b,即(x1+x2)2=(a+b)2。
x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(a+b)2﹣2ab+2=a2+b2+2a2+b2,即x12+x22a2+b2。
故③错误。
;
综上所述,正确的结论序号是:
①②。
考点:
一元二次方程根与系数的关系和根的判别式。
36.0方程有两个不相等的实数根
【解析】
试题分析:
证明:
方程总有两个不等的实数根。
37.
【解析】
试题分析:
(1)解:
(2x+3)2=25,
2x+3=5,
2x=5-3,
x1=1,x2=-4.
(2)解:
∵a=1,b=3,c=1
b2-4ac=32-411=50
38.
【解析】
试题分析:
)解:
39.-1,
【解析】
试题分析:
解:
∵x2+2x-5=0x==-1.
40.原式,当时,原式
【解析】
试题分析:
原式
由,得(舍去)
41.x=﹣3
【解析】
试题分析:
方程左边提取公因式变形后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
解:
(x+3)2﹣x(x+3)=0,
分解因式得:
(x+3)(x+3﹣x)=0,
42.⑴2或-6⑵
【解析】
试题分析:
⑴;x+2=4.解得x=2或-6
43.①+②:
;
【解析】
试题分析:
①+②:
;
44.
(1)-1;
(2)-1.
【解析】
试题分析:
(1)由题,可以先把的解求出来,x=2,然后代入一元二次方程,4+2k-2=0,求得k的值-1;
(2)方法一:
由
(1)知k=-1,代入一元二次方程,有x2-x-2=0,求解得x1=2,x2=-1;方法二:
方程一元二次方程根与系数关系,,一个根是2,=-2,所以另外一个根为-1.
试题解析:
(1)方程两边同乘以x-1得,
x+1=3(x-1),
x=2,
经检验是原方程的解,所以x=2,
把x=2代入方程x2+kx-2=0,
得4+2k-2=0,
所以k=-1.
(2)方法一:
由
(1)知k=-1,代入一元二次方程,
有x2-x-2=0,
(x+1)(x-2)=0,
求解得x1=2,x2=-1.
方法二:
方程一元二次方程根与系数关系,,一个根是2,=-2,所以另外一个根为-1.
考点:
一元二次方程根与系数关系.
45.
【解析】
试题分析:
一般的思路是将a代入方程x2-x-1=0,得到a2-a-1=0,然后解出a,再代入所求的式子中,但是这种方法对于此题太过繁琐,因为a是无理数,可以考虑整体代换,由题目条件,a是方程x2-x-1=0的一个根,根据根的定义,将其代入方程,有a2-a-1=0,而要求的式子中含有代数式a2-a,将a2-a看成一个整体,则a2-a=1代入要求的式子中,计算得到结果.
试题解析:
方法一:
∵a是方程x2-x-1=0的一个根,
将a代入方程,有a2-a-1=0,
用求根公式解之,得到,,
当时,,
当时,,
方法二:
(整体代换)∵a是方程x2-x-1=0的一个根,
将a代入方程,有a2-a-1=0,即a2-a=1,
将a2-a=1代入,有.
考点:
1.求解一元二次方程;2.整体代换思想.
46.
(1)m
(2)7-2m.
【解析】
试题分析:
(1)一元二次方程有两个不相等的实数根等价于根的判别式大于等于零,由题,△=b2-4ac=(﹣2)2﹣4m0,12-4m0,m3.
(2)去绝对值和去根号是一个难点,要理解掌握绝对值和去根号的知识方法,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零,去绝对值之前要判断这个数的正负,去根号有公式,从而转化成去绝对值的问题.
试题解析:
(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,
△=b2-4ac=(﹣2)2﹣4m0,12-4m0,m3.
(2)∵m3,
m-30,4-m0,
考点:
1.一元二次方程根的情况和判别式之间的关系;2.绝对值的化简;3.根式的化简.
47.
(1),
(2)见解析.
【解析】
试题分析:
(1)一元二次方程有两个不相等的实数根,一元二次方程根判别式,,即=解得,
(2)把代入一元二次方程的左边,左边=,通过配方得到左边=,而右边=0,左边右边,从而得证
试题解析:
(1)∵关于的方程有两个不相等的实数根,
(2)∵当时,左边=
而右边=0,左边右边.
不可能是此方程的实数根.
考点:
1.一元二次方程根判别式,2.一元二次方程的根.
48.
(1),方程另一根为3.
(2)等腰三角形的周长为8或2.
【解析】
试题分析:
(1)把一个根2代入一元二次方程得到关于m的方程,解得,再把代入得一元二次方程为,解方程可得另一根.
(2)当长度为2的线段为等腰三角形底边时,则腰长为3,满足三角形的三边关系,此时三角形的周长为2+3+3=8;当长度为3的线段为等腰三角形底边时,则腰长为2,也满足三角形的三边关系,此时三角形的周长为2+2+3=7.
试题解析:
(1)∵关于x的一元二次方程的一个根为2,
一元二次方程为.
解得.
,方程另一根为3.
(2)当长度为2的线段为等腰三角形底边时,则腰长为3,此时三角形的周长为2+3+3=8;当长度为3的线段为等腰三角形底边时,则腰长为2,此时三角形的周长为2+2+3=7.
考点:
1.一元二次方程的根2.等腰三角形定义3.三角形的三边关系.
49.
(1)k
(2)k=1或者k=(3).
【解析】
试题分析:
(1)一元二次方程存在的条件是二次项系数不为零,根据题意,kx2+2x+2-k=0是关于x的一元二次方程,所以k
(2)根据求根公式,可以将方程的解求出来,,,,要使得方程的根为整数,只要要求是整数即可,进而只要要求为整数,k是2的因数,所以k=1或者k=(3)方法一:
由
(2)可以得到,,所以,分类讨论,①当时,此方程无解;②当时,解得;方法二:
可以根据根与系数关系,进行求解,具体详见解析.
试题解析:
(1)∵方程是关于x的一元二次方程,
实数k的取值范围是k0.
(2)△=b2-4ac=4-4k(2-k)=k2-2k+1=(k-1)2,
由求根公式,得,
∵要求两个实数根x1、x2是整数,
为整数,即是整数,
k是2的因数,k=1或者k=2.
(3)方法一:
由
(2)可以得到,,
,分类讨论:
①当时,此方程无解;
②当时,解得;
方法二:
根据题意,,两边平方,有,
整理得,
由根与系数的关系,,
整理,得8k-4=0,k=.
考点:
1.一元二次方程的求
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