求数列前N项和的七种方法含例题和答案.docx
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求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N项和的七种方法
点拨:
核心提示:
求数列的前n项和要借助于通项公式,即先有通项公式,再在分析数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时,要注意观察数列的特点和规律,找到适合的方法解题。
1.公式法
等差数列前n项和:
n(a1+an)y亠n(n+1)_,
Si——naq十d
2'2
特别的,当前n项的个数为奇数时,S2k岀=(2k+1)_ak41,即前n项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n项和:
q=1时,
qH1,sn=a1"q),特别要注意对公比的讨论。
其他公式:
1、Sn
n
=Zk
kd:
3、Sn
[例1]
弓(卄)2、
n
=送k3
k=1
2
计+1)]
21
Sn=!
:
k=-n(n+1)(2n+1)
6
—123
已知log3X=7,求X+X+X
+…+
log23
xn+…的前n项和.
解:
由log3
—1
=log3X=—logs2=
log23
1
x=—
2
由等比数列求和公式得
Sn=X+X2+
(利
_x(1-xn)
—1-x
用常用公式)
11
迂R_1丄1一丄—2n
2
[例2]设Sn=1+2+3+…+n,n€N*,求f(n)=Sn
(n+32)Sn屮
的最大值.
解:
由等差数列求和公式得
11
Sn=—n(n+1),Sn*=-(n+1)(n+2)
22
(利
用常用公式)
f(n)=Sn
(n+32)盼
2
n2+34n+64
□+34+^(屛--)2+5O
50
•••当亦=2,即n=8时,f(n)max
\ln
50
2.错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列
{an•bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列
[例3]求和:
Sn=1+3x+5x2+7x3+”””+(2n-1)xn"
解:
由题可知,{(2n-1)xn』}的通项是等差数列{2n—1}的通项与等比数列{xn」}的
通项之积
设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2门_〔以
①一②得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn」一(2门_1)xn
(错位相减)
nJ
1—xn
再利用等比数列的求和公式得:
(1-x)Sn=1+2x・-(2n-1)xn
1-x
G(2n-1)xn+—(2n+1)xn+(1+x)
Sn=
(1-x)2
[例4]求数列贪…前n项的和.
解:
由题可知,{2n
2
n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{右}的通项之积
设S=2+土十-6+…+空
以6--2小3
2n
担=;2
(设制错位)
十243
十264
2n
+
(^1)Sn
2+&p.,2_2n
22
(错位相减)
练习:
求:
Sn=1+5x+9x2++(4n-3)xn"1
解:
Si=1+5x+9)(++(4n-3)xn-1
①两边同乘以X,得
23
=2n-n
n
x)-(4n-3)x
XSn=x+5X+9x++(4n-3)x
①-②得,(1-x)S=1+4(X+X2+X3+
当x=1时,S=1+5+9++(4n-3)
3.反序相加法求和
再把它与原数列相加,就可以得到n个(印+an)•
[例5]求sin21+sin22+sin23+…+sin288+sin289的值
202020202
解:
设S=sin1+sin2+sin3+…+sin88+sin89
将①式右边反序得
S=sin289+sin288+…+sin3+sin2+sin1
(反序)
22
又因为sinx=cos(90-x),sinx+cosx=1
①
(反序相加)
2S=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)+…+(sin289+cos289)=89
S=44.5
4.分组法求和
组求和)
[例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+门2)+(1+2+…+n)
22
n2(n+1)2十n(n+1)(2n+1)十n(n+1)
(分组求和)
n(n+1)2(n+2)
1111
练习:
求数列12,24,38^**(^2^)^*啲前n项和。
1111
解:
Sn=1-+2-43_+•«%nJ)
2482
11
J+•••J)
空2n
an
n(n-1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)
(裂项)
(裂项求和)
=(J2-祈)+(J3-V2)+…+
=7n+1-1
n项的和.
bn
(裂项)
(裂项求和)
(裂项)
(裂项求和)
100000Q00
{(tan1-tanO)+(tan2-tan1)+(tan3-tan2)+[tan89-tan88]}sin1
原等式成立
11111111111匕(q"苗-尹芜-7匕(7二)W卡T+(1T+(1T+(1-弓]
2^3355779」
=1(1-1)=94
299
6.合并法求和
因此,在求数列的
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,
(找特殊性质项)
COSn二-cos(18^-n)
并求和)
[例13]
解:
数列{an}:
ai=1,=3,=2,an42=an41—a*,求S2002.
设S2002=aj+a2中a3中…*+a2002
由6=1,a2=3,as=2,a^^=a^^-an可得
a4=—1,a5
=—3,a6=—2,
a7二1,a8=3,
a9=2,ai0=—hail=—3,ai2=—2,
殊性质项)
a6k+二1,SskM
(合并求和)
@1+a2+a3+…兎)+@7
=3,a6kH3=2,a6kH4=-1,&61<书=—3,
+a6kH3+a6kH4+a6k45+a6k^=°
S2002
a6k46=一2
(找特
+a8+-a12)+…”+(a6k++a6k42+”…+a6k七)
+…中(a1993中a1994
+"…中ai998)中ai999+a2000中a2001中a2002
=a1999+a2000+a2001中a2002
=a6k+中a6k七中361<七+a6k七
[例14]在各项均为正数的等比数列中,若=9,求logsai+log3a2+…+logsag的
解:
设Sn=logsai+logsa2+…+logsai0
(找特
由等比数列的性质m+n=p+q=ama^apQq
殊性质项)
和对数的运算性质logaM+logaN=logaM.N得
Sn=(log3ai+logsaio)+(logsa2+logsa?
)+…+(logsas+也&6)
(合并求和)
=(logsaiai0)+(log3a2日小+…十(logsas■a6)
=logs9+logs9+…+logs9
=10
7.利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项
揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法
[例15]求1+11+111+…+111二1之和.
n个1
(找通
解:
由于111二1二丄口。
*-1)
k个19k个19
项及特征)
•••1+11+111+."112二1
n个1
1111-(101-1)+-(102-1)+-(103-1)+”…+-(10n-1)
9999
(分组求和)
11
=-(101+102+103+…+10n)—丄(1^^1±丄1)
99n个1
—(10n^-10-9n)
81
(找通
解:
•••(n+1)(an-an»8(n+1)[(^1;^-(^2;^]
项及特征)
(设制分组)
(裂项)
裂项求和)
4宀丄)+8丄
344
13
练习:
求5,55,555,…,的前n项和。
5
6(10n-1)
解:
•••9(10n-1)
C55253
•-S^=9(10-1)+6(10-1)+"9(10-1)+…+
(10+1rf+1C3+……+10n)-n]
5
81
(10n+1-9n-10)
以上一个7
种方法虽然各有其特点,但总的原则是要善于改变原数列的形式结
构,使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决,只要很好地把握这一规律,就能使数列求和化难为易,迎刃而解。
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- 数列 方法 例题 答案