数列求和7种方法.docx
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数列求和7种方法
数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)
一、总论:
数列求和7种方法:
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、4、
5、
[例1]已知,求的前n项和.
解:
由等比数列求和公式得(利用常用公式)
===1-
[例2]设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:
由等差数列求和公式得,(利用常用公式)
∴=
==
∴当,即n=8时,
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和:
………………………①
解:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②(设制错位)
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
[例4]求数列前n项的和.
解:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②(设制错位)
①-②得(错位相减)
∴
练习题1已知,求数列{an}的前n项和Sn.
答案:
练习题的前n项和为____
答案:
三、逆序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例5]求证:
证明:
设…………………………..①
把①式右边倒转过来得
(反序)
又由可得
…………..……..②
①+②得(反序相加)
∴
题1已知函数
(1)证明:
;
(2)求的值.
解:
(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
(2)利用第
(1)小题已经证明的结论可知,
两式相加得:
所以.
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例7]求数列的前n项和:
,…
解:
设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,=(分组求和)
当时,=
[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:
设
∴=
将其每一项拆开再重新组合得
Sn=(分组)
=
=(分组求和)
=
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
[例9]求数列的前n项和.
解:
设(裂项)
则(裂项求和)
=
=
[例10]在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
解:
∵
∴(裂项)
∴数列{bn}的前n项和
(裂项求和)
==
(2009年xx文)20.(本小题满分14分)
已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足-=+(n2).
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列{前n项和为,问>的最小正整数n是多少?
0.【解析】
(1),
,
.
又数列成等比数列,,所以;
又公比,所以;
又,,;
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,,
当,;
();
(2)
;
由得,满足的最小正整数为112.
练习题1.
.
练习题2。
=
答案:
求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
[练习]数列满足,求
注意到,代入得;又,∴是等比数列,
时,
(2)叠乘法
如:
数列中,,求
解,∴又,∴.
(3)等差型递推公式
由,求,用迭加法
时,两边相加得
∴
[练习]数列中,,求()
已知数列满足,,求。
解:
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
(4)等比型递推公式
(为常数,)
可转化为等比数列,设
令,∴,∴是首项为为公比的等比数列
∴,∴
(5)倒数法
如:
,求
由已知得:
,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
∴
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