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圆
第3章圆
一、车轮为什么做成圆形
教学目标:
熟识圆的基本知识点,理解圆的概念和点与圆的位置关系;并能运用所学知识判定点和圆的位置关系。
教学重点:
和圆的三种位置关系.
教学难点:
集合的观点研究圆的概念.
1、圆的定义
问:
为什么车轮要做成圆形呢?
能否做成长方形或正方形?
论:
如上图,A、B表示车轮边缘上的两点,点O表示车轮的轴心,A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系?
延伸思考:
一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开.这样的队形对每个人都公平吗?
你认为他们应当排成什么样的队形?
圆的定义:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle).其中,定点称为圆心(Centreofacircle),定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.
【注意】确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小.圆心确定其位置,半径确定其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.
巩固练习:
1、以已知点O为圆心,已知线段a为半径作圆,可以作()
A、一个B、两个C、三个D、无数个
易误易混辨析:
1、判断
(1)以点O为圆心只能作一个圆()
(2)以3cm为半径的圆有且只有1个()
2、点和圆的位置关系(难点)
基本概念:
1、一个圆应该将平面分成三部分:
圆的内部、圆、圆的外部.
2、设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d.
3、点与圆的位置关系:
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
4、点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定的。
当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时,点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外.
【注意】点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系;反过来,也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系.
巩固练习:
1、设AB=3cm,作图说明满足下列要求的图形.
(1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形.
(2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形.
2、已知圆O的半径为10厘米,根据下列点P到圆心的距离,判断点P和圆的位置关系,并说明理由。
(1)8厘米;
(2)10厘米;(3)12厘米。
课后练习:
一、选择题
1、P为⊙O内与O不重合的一点则下列说法正确的是()
A、点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B、⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C、⊙O上有两点到点P的距离最小
D、⊙O上有两点到点P的距离最大
2、若⊙A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为()。
A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、不确定
3、以已知点O为圆心作圆,可以作()。
A、1个B、2个C、3个D、无数个
4、在?
ABC中,?
C=90°,AC=BC=4cm,D是AB的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中,在圆内的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
5、与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()
A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);
C.圆;D.圆的内部(包括边界)
6、已知?
O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在?
O上,则OA的长()
A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cmD.大于12cm
7、?
O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与?
O的位置关系是()
A.点P在?
O内;B.点P的?
O上;
C.点P在?
O外;D.点P在?
O上或?
O外
二、填空题:
1、⊙O的周长为8
cm,若PO=2cm,则点1.⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P,当PO_______时,点P在⊙O上;当PO_____时,点P在⊙O内;当PO______时,点P在⊙O外.毛
2、已知P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.
3、平面上有两点A、B,若线段AB的长为3cm,则以A为圆心,经过点B的圆的面积为_______.
4、点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心,6为半径的圆的_______.
5、在半径为5cm的⊙O上有一点P,则OP的长为________.
三、解答题:
1、如图,点O到直线AB的距离为8cm,点C、D都在直线AB上,OA?
AB.若AD=6cm.CD=2cm,AB=5cm.以O为圆心,10cm为半径作圆,试判断A、B、C、D四点与?
O的位置关系.
2、设线段AB=4cm,作图说明:
到点A的距离大于3cm,且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形.
3、作图说明到点O的距离大于2cm而小于3cm的所有点组成的图形.
4、如图,点P的坐标为(4,0),?
P的半径为5,且?
P与x轴交于点A、B,与y轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.
5、如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,试问:
是否存在一个圆,使A、B、C、D四个点都在这个圆上?
如果存在,请指出这个圆的圆心和半径;如果不存在,说明理由.
6、操场上站着A、B、C三位同学,已知A、B相离5米,B、C相离3米,试写出A、C两位同学之间距离的取值范围.
7、如图,?
O的半径为2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P点的距离为1,则点P、Q与?
O有何位置关系?
说明理由.
二、圆的对称性
教学目标:
理解圆的轴对称性,熟识垂径定理及其逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论,并能灵活运用所学知识计算和证明。
教学重点:
理解圆的轴对称性和熟识垂径定理及其逆定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论.
教学难点:
灵活运用上述定理进行有关的计算和证明。
基本知识点:
圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
1.圆弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).
2.弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).
3.直径:
经过圆心的弦叫直径(diameter).
如下图,以A、B为端点的弧记作
,读作“圆弧AB”或“弧AB”;线段AB是⊙O的一条弦,弧CD是⊙O的一条直径.
巩固练习:
1、下列轴对称图形中,对称轴条数最少的是()。
A、正三角形B、正方形C、正六边形D、圆
构造图像:
连接OA、OB得到等腰△OAB,即OA=OB.因CD⊥AB,故△OAM与△OBM都是Rt△,又OM为公共边,所以两个直角三角形全等,则AM=BM.又⊙O关于直径CD对称,所以A点和B点关于CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
与
重合,
与
重合.因此AM=BM,
=
,
=
.
结论:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.——垂径定理
【注意】①条件中的“弦”可以是直径.②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦.
简化原理:
一条直线若满足:
(1)过圆心;
(2)垂直于弦,那么可推出:
①平分弦,②平分弦所对的优弧,③平分弦所对的劣弧.
即垂径定理的条件有两项,结论有三项.用符号语言可表述为:
如图,在⊙O中,
例题分析:
[例1]如下图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中
,点O是
的圆心),其中CD=600m,E为
上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
延伸思考:
如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.
问:
上图是轴对称图形吗?
如果是,其对称轴是什么?
结论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧——垂径定理的一个逆定理。
经典例题分析
【例1】如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE=2cm,BE=6cm,∠CEA=300,求:
(1)CD的长;
(2)C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
分析:
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究,所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解:
(1)过点O作OF⊥CD于F,连结DO
∵AE=2cm,BE=6cm,∴AB=8cm
∴⊙O的半径为4cm
∵∠CEA=300,∴OF=1cm
∴
cm
由垂径定理得:
CD=2DF=
cm
(2)过C作CG⊥AB于G,过D作DH⊥AB于H,易求EF=
cm
∴DE=
cm,CE=
cm
∴
【例2】如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则
=()
A、28B、26
C、18D、35
分析:
如图,连结OA、OC,过O分别作AB、CD的垂线,垂足分别为M、N,则AM=MB,CN=ND。
∵OM⊥MN,ME⊥EN,CN=ND
∴
从而
即
∴
故选A。
【例3】如图,等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O,AB=AC,tanB=
。
求:
(1)BC的长;
(2)AB边上高的长。
分析:
(1)已知AB=AC,可得
,则A为
的中点。
已知弧的中点往往连结这点和圆心,从而可应用垂径定理;
(2)求一边上的高(或垂线段)可考虑用面积法来求解。
解:
(1)连结AO交BC于D,连结BO
由AB=AC得
,又O为圆心
由垂径定理可得AO垂直平分BC
∵tanB=
,设AD=
cm,则BD=
cm
∴OD=
cm
在Rt△BOD中,
,解得
,
(舍去)
∴BD=3cm,BC=6cm。
(2)设AB边上的高为
,由
(1)得:
AD=1cm,AB=
cm
∵
∴
巩固练习:
一、选择题:
1、下列命题中正确的是()
A、平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦;
C、若两段弧的度数相等,则它们是等弧;
D、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图,⊙O中,直径CD=15cm,弦AB⊥CD于点M,OM∶MD=3∶2,则AB的长是()
3、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离是()
A、2cmB、14cm
C、2cm或14cmD、2cm或12cm
4、若圆中一弦与弦高之和等于直径,弦高长为1,则圆的半径长为()
A、1B、
C、2D、
二、填空题:
1、在半径为5cm的⊙O中,有一点P满足OP=3cm,则过P的整数弦有条。
2、如图,⊙O中弦AB⊥CD于E,AE=2,EB=6,ED=3,则⊙O的半径为。
3、等腰△ABC中,AB=AC,∠A=1200,BC=10cm,则△ABC的外接圆半径为。
4、圆内一弦与直径相交成300的角,且分直径为1cm和5cm两段,则此弦长为。
5、如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,BD交OC于E,若AC=4,AB=5,则BE=。
6、如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,C、A、D三点在一条直线上,CD的延长线交O1O2的延长线于P,∠P=300,
,则CD=。
三、计算或证明题:
1、如图,Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E,求AB、AD的长。
2、如图,⊙O的半径为10cm,G是直径AB上一点,弦CD经过点G,CD=16cm,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求AE-BF的值。
3、如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于D,交⊙O于E,且AC=6,AB=8,求CE的长。
4、如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥BC于E,CF⊥AB于F,交AD于G,BE=3,CE=2,且tan∠OBC=1,求四边ABDC的面积。
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