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25圆生1
一、圆的基本概念与性质
1.圆上各点到圆心的距离都等于.
2.圆是对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的;圆又是对称图形,是它的对称中心.
3.垂直于弦的直径平分,并且平分;平分弦(不是直径)的垂直于弦,并且平分.
4.在同圆或等圆中,如果两个,两条,两条,两条,两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别.
5.同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的.
6.直径所对的圆周角是,90°所对的弦是.
7.三角形的三个顶点确定个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫心,是三角形的交点.
8.顶点都在圆上的四边形,叫.
9.圆内接四边形对角.
10.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条的直线;
圆是中心对称图形,对称中心为.
11.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
如图,∵CD是圆O的直径,CD⊥AB于E
∴=,=,=.
推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等.
1.直角三角形三个顶点都在以为圆心,以为半径的圆上,直角三角形的外心是.
2.在Rt△ABC,∠C=90°,BC=5,AB=13,D是AB的中点,以C为圆心,BC为半径作⊙C,则⊙C与点D的位置关系是( )
A.D在圆内 B.D在圆上 C.D在圆外 D.不能确定
3.下列说法正确的是()
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A、B、C、D的圆不存在
4.如图所示,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF等于()
(A)80°(B)50°(C)40°(D)20°
6.如图,A、B、C是⊙O上三点,∠BAC的平分线AM交BC于点D,交⊙O于点M.
若∠BAC=60°,∠ABC=50°,则∠CBM=,∠AMB=.
7.如图,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.
8.如图,AB、CD是⊙O的弦,∠A=∠C,求证:
AB=CD
9.如图,点A,B是⊙O上两点,AB=10,点P是⊙O上的动点,(P与A,B不重合),连接AP,PB,过点O分别做OE
AP于E,OF
PB于F,则EF=__________.
10.如图,AB是⊙O的直径,点C、D,E都在⊙O上,若∠C=∠D=∠E,则∠A+∠B=_________.
11.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O的半径OA的长为_________.
12.如图,点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c则下列各式中正确的是()
(A)a>b>c(B)a=b=c(C)c>a>b(D)b>c>a
13.如图AB是⊙O的直径,M是劣弧AC的中点,弦AC与BM相交于D,∠ABC=2∠A,求证:
AD=2DC
14.⊙O的半径为13cm,弦AB//CD,AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离。
1-26提升练习,任选题目解之,完成后请总结出所做题目涉及的主要原理是什么.
1.已知:
AB交圆O于C、D,且AC=BD.你认为OA=OB吗?
为什么?
2.如图所示,是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度。
3.如图所示,AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。
你认为图中有哪些相等的线段?
为什么?
4.如图所示,OA是圆O的半径,弦CD⊥OA于点P,已知OC=5,OP=3,则弦CD=____________________。
5.如图所示,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。
6.如图所示,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=_________________。
7.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为________________。
8.如图所示,四边形ABCD内接于圆O,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。
9.如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是()
A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5
C.3<OM<5D.4<OM<5
10.下列说法中,正确的是()
A.到圆心的距离大于半径的点在圆内B.圆的半径垂直于圆的切线
C.圆周角等于圆心角的一半D.等弧所对的圆心角相等
11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:
3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于()
A.45°B.90°C.135°D.270°
12.如图所示,A、B、C三点在圆O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于()
A.140°B.110°C.120°D.130°
13.△ABC中,∠C=90°,AB=
,BC=
,以点A为圆心,以
长为半径画圆,则点C在圆A___________,点B在圆A_________;
14.圆的半径等于
,圆内一条弦长2
,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________;
15.如图所示,已知AB为圆O的直径,AC为弦,OD∥BC交AC于D,OD=
,求BC的长;
16.如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D。
已知:
AB
,CD
。
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求
(1)中所作圆的半径。
17.已知:
如图所示,Rt△ABC的两直角边BC=3cm,AC=4cm,斜边AB上的高为CD,若以C为圆心,分别以r1=2cm,r2=2.4cm,r3=3cm,为半径作圆,试判断点D与这三个圆的位置关系。
18.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以点C为圆心,4cm为半径作圆。
则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
19.等腰三角形ABC中,B、C为定点,且AC=AB,D为BC中点,以BC为直径作圆D。
(1)顶角A等于多少度时,A在圆D上?
(2)顶角A等于多少度时,A在圆D内部?
(3)顶角A等于多少度时,A在圆D外部?
20.在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与CD之间的距离。
21.如图所示,圆O的直径AB和弦CD交于E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD。
22.圆O中若直径为25cm,弦AB的弦心距10cm,求弦长.
23.若圆的半径2cm,圆中一条弦长1cm,则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离?
24.圆内一条弦与直径的交角为30°,且分直径为1cm和5cm两段,求弦心距,弦长?
25.半径为5cm的圆O中有一点P,OP=4,则过P的最短弦长_________,最长弦是__________.
26.如图所示,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证:
PB=PD,若角的顶点P在圆上或圆内,上述还成立吗?
请说明。
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种:
①点在圆外,②点在圆上,③点在圆内;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为:
①d>r,②d=r,③d 2.直线与圆的位置关系共有三种: ①相交,②相切,③相离; 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为: ①d 3.圆与圆的位置关系共有五种: ①内含,②相内切,③相交,④相外切,⑤外离; 两圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为: ①d 4.圆的切线垂直于过切点的半径;经过直径的一端,并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引2条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角. 例1: 已知圆的半径r等于5厘米,点到圆心的距离为d, (1)当d=2厘米时,有dr,点在圆 (2)当d=7厘米时,有dr,点在圆 (3)当d=5厘米时,有dr,点在圆 4、直线和圆的位置关系有三种: 相、相、相. 例2: 已知圆的半径r等于12厘米,圆心到直线l的距离为d, (1)当d=10厘米时,有dr,直线l与圆 (2)当d=12厘米时,有dr,直线l与圆 (3)当d=15厘米时,有dr,直线l与圆 5、圆与圆的位置关系: 例3: 已知⊙O1的半径为6厘米,⊙O2的半径为8厘米,圆心距为d, 则: R+r=,R-r=; (1)当d=14厘米时,因为dR+r,则⊙O1和⊙O2位置关系是: (2)当d=2厘米时,因为dR-r,则⊙O1和⊙O2位置关系是: (3)当d=15厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是: (4)当d=7厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是: (5)当d=1厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是: 6、切线性质: 例4: (1)如图,PA是⊙O的切线,点A是切点,则∠PAO=度 (2)如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点, 则=,∠=∠; 中考考点: 切线的证明(11-15) (1)已知交点,连线,证垂直. (2)不知交点,作垂直,证相等. 1.⊙O的半径为4,圆心到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是() (A)相交(B)相切(C)相离(D)无法确定 2.已知圆A与圆B相切,两圆的圆心距为8cm,圆A的半径为3cm,则圆B的半径是() (A)5cm(B)11cm(C)3cm(D)5cm或11cm 3.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=() A.130°B.100°C.50°D.65° 4.如图,△ABC内接于⊙O,点D是CA延长线上一点,若∠BOC=120°,则∠BAD等于() (A)30°(B)60°(C)75°(D)90° 5.如图,AB与⊙O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则⊙O的半径为() A.4 cmB.2 cmC.2 cmD. m 6.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2cm为半径作⊙M,当OM=______cm时,⊙M与OA相切. 7.在直角坐标系中,⊙O的圆心在原点,半径为3,⊙A的圆心A(- ,1)半径为1,那么⊙O与⊙A的位置关系是__________。 8.已知⊙O的半径为1,点P到O的距离为d,若方程 有实数根, 试判定P与⊙O的位置关系? 11.已知: 如图,P是∠AOB的角平分线OC上一点.PE⊥OA于E.以P点为圆心,PE长为半径作⊙P. 求证: ⊙P与OB相切. 12.已知: 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的半圆O交AB于F,E是BC的中点. 求证: 直线EF是半圆O的切线. 13.已知: 如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E点,直线EF⊥AC于F. 求证: EF与⊙O相切. 14.已知: 如图,PA切⊙O于A点,PO∥AC,BC是⊙O的直径.请问: 直线PB是否与⊙O相切? 说明你的理由. 15.如图⊿ABC中∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于D,E为AC边中点,求证: DE是⊙O的切线。 16.已知: 如图,PA,PB,DC分别切⊙O于A,B,E点. (1)若∠P=40°,求∠COD; (2)若PA=10cm,求△PCD的周长. 17.已知: 如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r. 求△ABC的面积S. 18.已知: 如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°. (1)若AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r; (2)若AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r. 三、与圆有关的计算. 扇形弧长公式: 扇形面积公式: 圆锥侧面积公式: 1.如图,边长为2的等边△ABC中,以顶点A为圆心,以高AD长为半径画弧,分别交AB于点E,交AC于点F,则弧EF的长为() A. B. C. D. 2.如图,秋千绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡秋千时,秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)则该秋千荡过的圆弧长为() A. 米B.2 米C. 米D. 米 3.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,以A为圆心,AD为半径的圆与BC切于点M,与AB交于点E,若AD=2,BC=6,则 的长为() A. B. C. D. 4.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位矩形,则这个圆柱的母线长L和底面半径r之间函数关系是() A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数 5.圆柱的母线长5cm,为底面半径为1cm,则这个圆拄的侧面积是() A.10cm2B.10πcm2C.5cm2D.5πcm2 6.如图,已知扇形的半径为3cm,圆心角为120°,则扇形的面积为_____cm² (结果保留 ) 7.小明要制作一个圆锥模型,其侧面是由一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形纸板制成的,还需要一块圆形纸板做底面,那么这块圆形纸板的直径为() A.15cmB.12cmC.10cmD.7cm 8.用半径为12cm,圆心角为150°的扇形做成一个圆锥模型的侧面,则圆锥的高为______cm(结果保留根号) 9.如图,圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的截面)是边长为4cm的等边三角形 ,点 是母线 的中点,一只蚂蚁从点 出发沿圆锥的表面爬行到点 处,则这只蚂蚁爬行的最短距离是cm. 10.如图所示,AB为半圆的直径,C、D为弧 的三等分点,E是直径AB上任意一点,半圆的半径为R,求图形中阴影部分的面积 11.如图,已知扇形AOB的半径为12,OA⊥OB,C为OB上一点,以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D.求图中阴影部分面积.
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