实变函数习题与解答唐山师范张玲doc.docx
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实变函数习题与解答唐山师范张玲doc
1、下列对象不能构成集合的是:
()
A、全体自然数B、0,1之间的实数全体C、[0,1]上的实函数全体D、全体大个子
2、下列对彖不能构成集合的是:
()
A、{全体实数}
B、{全体整数}
C、{全体小个子}
D、{x:
x>l}
3、下列对象不能构成集合的是:
()
A、{全体实数}B.{全体整数}
C、{x:
x>l}
D、{全体胖子}
4、下列对象不能构成集合的是:
()
A、{全体实数}B、{全体整数}
C、{x:
x>l}
D、
{全体瘦子}
5、下列对象不能构成集合的是:
()
A、{全体小孩子}B、{全体整数}
C、{x:
x>l}
D、{全体实数}
6、下列对象不能构成集合的是:
()
A、{全体实数}
B.{全体大人}
C、{x:
x>l}
D.{全体整数}
7、设凡={x:
a-l ael A、(」1) B、(J0) D、 (h +oo) 8、设={x: -l+^ ii/=! A、(-1J) B、(-1,0) C>[0J] D、卜1,1] 9、设A/={x: 0 A、(0,1) B、[0,1] C>[OJ] D、 (0,+°°) 10、设A.={%: 1-- ii 则扣( A、[1,2] B、(1,2) C>(0,3) D、 (1,2) 11、设A,.={x: / 2曰 A、(-1,1) B.[0,1] D、 12、设Ai={x: -- iii=l A、(-1J) B、[0,1] D、{0} 13、设=[0,2-—L-],A2n=[0,1+丄],neN^hrnAn=( nTg A、[0,2] [0,2] C>[0,1] D、[0,1] 2n一12n 14、设=[0,2-—^-],码=[0,1+丄],nwN,则丽A”二( 2n一12n A.[0,2]B、[0,2]C.[0,1]D、[0,1] 15、设Att=(0,/i),neN,则limAn=() A、① B、[0, n] C、R D、(0,oo) 16>设An= (0,—),HG n N, 则limAn=() ”T8 A、(0,1) B、(0, 1 -) n C、{0} D、① 17、设令"_]=(0,丄),企“=(0,〃),nwN,则limAz,=() TlXT8 A、①B、(0,-)C、(0,n)D、(0,oo) n 18、设%“一1= (0,—),A“=(0/),neN,则lim&,=( ) n 〃T8 A、① B、(0,-)C、(0,n) n D、(0, °°) 19、设A、B 、C是三个集合,则A-(A-B)=( ) A、B B、AC、AnB D、 AUB 20、设A、B 、C是三个集合,则A-(BUC)=( ) A、(A-B)n(A-C)B、(A-B)U(A-C) C、AnB D、AnC 21、设A、B 、C是三个集合,则A-(BnC)=( ) A、(A-B)A(A-C)B、(A-B)U(A-C) C、AnB D、AnC 22、设A.B.S是三个集合,且AuS,BuS,则Cv(A-B)=() A^CsA C、CAuB 3 D、CAnB 3 BuS,则Cv(AuB)=( 23、设A>B.S是三个集合,ILAuS, A、CvAuCvBB、CvAnCvB C、CAuBD、AuCB 55 24、设A、B、C是三个集合,贝ljA-(B-C)=() A、AUC-BB、A-B-CC、(A-B)U(AnC)D、C-(B-A) 25、集合E的全体内点所成的集合称为E的() A、开核B、边界C、导集D、闭包 26、集合E的全体聚点所成的集合称为E的() A、开核B、边界C、导集D、闭包 27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的() A、开核 B、边界C、导集D、 闭包 28、E-Ez所成的集合是() A、开核 B、边界C、外点D、 {E的全体孤立点} 29.E的全体边界点所成的集合称为E的 A.开核B.边界C、导集D、 闭包 30、设点P是集合E的边界点,则() A、P是E的聚点B、P是E的孤立点C、P是E的内点D、P是CE的边界点 31、设G=(0」)u(2,3),则下列那一个是G的构成区间: () A、(0,1)B、(-,1)C、[0, 1]D、(0,2) 32、设&=(0,1),G2=(-l,0)u(|,2) G=G,oG2,则下列那一个是G的构成区间: ( X、(0,1)B、(0,2)C、(-1, |)D、(-1,2) 33、设&=(04),G2=(0J)u(3,4) G=G|UG2,则下列那一个是G的构成区间: ( A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4) D、(1,4) 34、设G,=(0J),G2=(1,2)u(3,4) G=G}uG2,则下列那一个是G的构成区间: ( A、(0,1)B、(0,3)C、(0, 4)D、(1,4) 35、设G=(0,2),G2=(1,2)u(3,4) G=G}uG2,则下列那一个是G的构成区间: ( A.(0,1)B、(0,2) C>(1, 2)D、(1,4) 13 13 A、(p 36、设G,=(0,1)u(1,2),G2=(-l,0)u(-,-)G=G,uG2,则下列那一个是G的构成区间: () B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0) 则下列命题错误的是: 38、若A\JB=C, A、uB°=C 的孤立点} BsA'uB‘C、OAudB 则下列命题正确的是: ( B、A'=Cf C、 D、AuB =D、{A的孤立^}u{B的孤立点}=9 则下列命题错误的是: ( C、AcB=C D、{A的孤立点}62 A、A=C°B、CfuAzCB 的孤立点戶{C的孤立点} A、C(A°)=(CA)°B、dA=3(CA)C、C(A」=(CATD、C(A)=CA 41>设A—B=C,则下列命题正确的是: () A、3A-dB=dCB、A°-B=C°C、A‘一B‘=CrD、{A的孤立点}-{B的孤立点}={。 的孤立点} 42、(2-4-1-2)下列命题错误的是: () A、A是闭集B、A'是闭集C>04是闭集D>A°是闭集 43、若A是闭集,B是开集,则A-B是: () A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 44、若A是开集,B是闭集,则A-B是: () A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 45、若{代}是一开集列, 则是: () ”=1 A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 46、若{代}是一开集列, 则C&是: () "=1 A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 47、若{△”}是一闭集列, 则u4? 是: () H=1 A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 48、若{△”}是一闭集列, 则CA”是: () H=1 A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 49、若E=gn[0,l],则加() A、0B、1C、2D、3 50、下述结论()正确. A、m*E>m^Em*E>m^E C、m*E D、m*E 51、下列说法正确的是() A、f(x)=丄在(0,1)有限 X c、f(x)= 兀w(0,l],在[0,1]有限 +oo,X=0 B、+在中)无界 D、/(x)=Jy,在[0,1]有界 1,x=0 A、a 幺一致收敛B、收敛 C、一致收敛D、基本上一致收敛 53、设E是[0,1]屮的不可测集, /(X)= 1, -1, xE ©0」—则下列函数在上可测的是”)• A、f(x)B、f+(x)C、 /■(x) 54、若/(x)可测,则它必是( A、连续函数B、单调函数 C、简单函数D、简单函数列的极限 55、若E=[0,l]-2,则加E A、0B、1C、2D、 56、下列说法不正确的是() A、E的测度有限,则E必有界 B、£的测度无限,则E必无界 C、有界点集的测度有限 D、/? ”的测度无限 57、(4-4-2-1)下述论断正确的是 TT A、/(x)=tgx在(0,彳)无界 B、f(x)=< +oo. [0,今)兀 2在[o,4i有限 x=—2 2 tgx,XG[0,y) Lx=— 2 7T 在[0,y]有界 TT D、/(x)=tgx在(0号)有限 58、函数列Z,(x)=(yx)"在[0,2]±()于0・ A、收敛B、一致收敛C、基本上一致收敛 Dsae—致q攵敛 jqxwE 59、设f(x)= ,其中E是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0,1]可测的是(). —兀,xg[0,1]—E A、|f(x)|B>f(x)C>f+(x)D、.厂(x) 60、一个函数在其定义域中的()点处都是连续的. A、边界点B、内点C、聚点D、孤立点. 61、*是康托尔(cantor)集,则mP^=() A>0B、1C>2D、3 62、设A是B的真子集,则() A、m*A 63、下列说法正确的是() A、.f(x)=ct"在(手,弓)无界B、/(对=昭心0,空]在0勺有限 42+OO,兀=02 c、/(%)=叱心0,㊁]在[0,勺有界D、伽=ctg兀在(0,手)有限[1,x=022 64、函数列fn(x)=2nxn在[(),*]上()于0. A、收敛B、一致收敛、C、基本上一致收敛D、a.e-致收敛 fr"xGE 65、设E是[0,1]上的不可测集,f(x)=\.则下列函数在[0,1]可测的是()・ I-x"xg[0,1]-E A、/(x)B、f+(x)C、|/(x)|D、f~(x) 66、设E为可测集,则下列结论中正确的是() 则£(兀)一致收敛于/(兀) 则fn(x)基本上一致收敛于/(无) A、若{£(兀)}在E上以收敛于一个d,e有限的可测函数/(%), B、若{//%)}在E上a,e收敛于一个°,£有限的可测函数/(无), C、若{九(劝}在E上£收敛于一个a,e有限的可测函数/(%), D、若{fn(x)}在E上基本上一致收敛于/(X),则ftl(x)67,e收敛于/(无) 67、G表示康托尔(cantor)集在[0,1]中的余集,则mG=() A、0B、1C、2D、3 68、设S,,52都可测,则S]US2() A、可测B、不可测C、可能可测也可能不可测D、以上都不对 69、下列说法正确的是() A^/(x)=secx在(0,彳)上无界有限 secx兀w[0,务) C、/G)=]: 在[0,y]上有限 +8X=——」 2 在[0,彳]上有界 70、函数列fn(x)=y,xn在[0,*]上()于0 7T B、f(x)=secx在(0,—)上 secx D、/(兀)=< 1 xe[09y) X- —XxW匕 71、设/(%)=J,其中E是[0,1]上的不可测集,则()在[0,1]可测 [x,xe[0,1]-E A、/(%)>B、广(X)C、/■(%)D、|/(%)| 72、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是() A、它们是同一概念 C、有限的可测函数是基本上连续的函数 73、m((0,l)U(-l,2))=() A、1、B、2C、3D、4 74、A可测,B是4的真子集,贝ij() A、mA>mBB、mA>m^B 75、下列说法正确的是() A、f(x)=在(0,1)有限、 X B、有限的可测函数是连续函数 D、有限的可测函数是连续的函数 C、mA=m*BD^以上都不对 B、/(兀)=」厂在[斗,1]无界 X乙 匚厂,XG(0,1]在[0,]]有界 Lx=1 A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限是可测函数 C、简单函数与可测函数是同一•概念 79、加([—1,1)U(2,3])=() A、1B、2C、3D、4 80、厶可测集类,对运算()不封闭. D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 A、可数和B、有限交 C、单调集列的极限D、任意和. c、/(兀)=<7‘xw(0,l]在[0,]]有限D、/(兀)=< +〜x=0 TT 76、函数列fn(x)=sin"x在[0号]上()于0. A、收敛B、基本上一致收敛C、一致收敛D、a.e.—致收敛 r2E 力、设/(x)=J其中E是[0,1]上的不可测集,则()在[0,1]上是可测的. x,xe[0,1]-£ A、|f(x)|B.f(x)C、.厂(x)D、.厂(兀) 78、关于简单幣数与可测幣数下述结论不正确的是() 81、下列说法正确的是() A、/心+在(中)无界 B、/(x)=-X-在(0,1)有限 c、f(x)= xw(0,1]在[0,1]有限 兀€(°山在[0,1]有界 x=0 )于0. 82>函数列fn(x)=cosnx在[0,今]上( D、a•匕一致收敛 则下列函数在[0,y]上可测的是 A、基本一致收敛B、收敛C、一致收敛 TT 83、设E是[0今中的不可测集,/(x)=< A、/(x)B、|/(%)|C、广(无)D、广(X) 84、关于依测度收敛,下列说法屮不正确的是() A、依测度收敛不一定--致收敛 B、依测度收敛不一定收敛 C、若在E上心.收敛于a.e有限的可测函数/(%),则fn(x)=>f(x) D、若fn(X)=>f(x),则存在子列{九⑴}a.e收敛于/(%) 85、设/(兀)是可测集E上的非负可测函数,则f(x)() A、必可积B、必几乎处处有限C、必积分确定D、不一定积分确定 86、设/(兀)在可测集E上可积,则在E上() A、.厂⑴与./*-(兀)只有一个可积B、.厂(兀)与.厂(兀)皆可积 c、f+(X)与f~(x)不一定可积D、f+(x)与f~(x)至少有一个不可积 87、设mE=Q(E#①),/(兀)是E上的实函数,则下面叙述正确的是() A、/(兀)在E上不一定可测B、/(兀)在E上可测但不一定可积 C./(X)在E上可积且积分值为0D、/(兀)在E上不可积 88、f(x)在可测集E上(厶)可积的必要条件是,/(0为() A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数 89、设£>(兀)为狄立克雷函数,贝'J(L)£D(x)cbc=() A、0B、1C、1/2D、不存在 90、设f(x)为Cantor集的特征函数,则(£)£f(x)dx=() A、0B、1/3C、2/3D、1 1、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若则方= 2、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若A是一可数集,则3= 3、若A=c,B=c,则A 4、若A=cfB是一可数集,则AuB= 5、若A=c,B=n,则AuJ3= 6、若{&? }是一集合列,且Afl=c,uAfl- /? =1 7、若{亀}知是任意集族,其中I是指标集,则cA厂 8、若{4J©是任意集族,其中I是指标集,则U亀= ael 9、若{%}*,是任意集族,其中I是指标集,S是一集合,则Cs(nAJ= (xeI 10、若{码}知是任意集族,其中I是指标集,s是一集合,则C5.(UAz)= 11、若{4”}是任意一个集合列,则ihnAti= ”T8 12、若{&}是任意一个集合列,则hmAfl= ”T8 13、欧氏空间R"中,任意两点兀=(乂1,兀2,…X”),『=(卩』2,…儿)的距离d(x,y)=_ 14、C[a,b]空间中,任意两元素x(t),y(t)的距离d(x,y)= 15、厂空间中,任意两元素x=0],兀2,…£,…),丁=(歹1,歹2,…儿…)的距离d(x,y)= 16>欧氏空I'可中,任意两点兀=(兀],兀2),y=(y1,y2)的距离d(x,y)= 17、欧氏空间疋中,任意两点x=(兀1,兀2,无3),丿=())丿2,力)的距离d(x,y)= 18、欧氏空I'可/? 4中,任意两点兀二(兀]宀,兀3,兀4),歹二(歹1』2,旳,儿)的距离d(x,y)=_ 19、设X=R2,E={(x,y): x2+y2<1},则云= 20、设X=R\E={(x,y,z): x2+y2+z2<1},则 21、设X=R2,E={(x,y): x2^-y2<1},则dE= 22、设X=R\E={(x,y): x2+y2<1}JiJE1= 23、设X=R3,E={(x,y,z): x2++z2<1},贝9dE= 24、设X=R\£={(%,y,z): x2+^2+z2<1},则E,= 25、设A=[0,1],B=[3,4],贝ijd(A,B)= 26、设C是康托完备集,G=[0,1]-C,则d(C,G)= 27、设C是康托完备集,则C的半径力(C)= 28、两个非空集合A,B距离的定义为d(A,B)= 29、一个非空集合A的直径的定义为3(A)= 30、设A=[0,1]CQ,则3(A)= 31、EuR”,对每一列覆盖E的开区I'可定义m*E=。 /=1 32、设{S,}是一列递增的可测集合,则加(limS”)二o HT8 33、设/(兀)是定义在可测集EuR”上的实函数,若X/ae/? 有,则称/(x)在E上可测。 34、.九(x)=>f(x)的定义为o 35、设A=“开集类”,B*波雷尔集类”,C=“可测集类”,D=“G§型集类”。 那么A,B,C,D的关系是 36、/是区间,则加匸 37、[d,b]上的连续函数及单调函数都是。 38、叶果洛夫定理反映了与的关系。 39、设EuR“,E有界,/为任一包含E的开区间,则m.E=_ 40、m*(QAi)<^m*&•称为测度的 i=li=l 41、可测集EuR”上的连续函数都是o 42、可测函数列的极限是。 43、若AuB,则这称为外测度的。 44、若集合G能表示成则称G为集。 45、实变函数屮的函数连续性是数学分析屮函数连续性的o 46、几乎处处是与有关的概念。 47、设EuR”,若对VT(=Rn都有则称E是厶可测的。 48、若集合F能表示成则称F为心集。 49、E上的简单函数,指的是对E进行有限不变可测分解后,每一个可测子集上都取的函数。 50、鲁金定理反映了与的关系。 51、设{S,}是一列递减可测集合,且mEk<-,则。 HT8 52、厶可测集和波雷尔集相差一个。 53、两个可测函数的四则运算(假定它们都有意义)结果。 收敛于lo 有limff(x)dx=() JA 54、函数列fn(x)=J1j%G(0,n]在(0,+oo)不一致收敛于1,且不 [0,xe(仏2) 55、设/(兀)在可测集E上可积,则mE[\f\=oo]=() 56、(叙述积分的绝对连续性)设/(x)在E上可积,则对任何可测集AuE, 57、设厶为Cantor集,则sinxdx=( 设仇为Cantor集,则fcosxdx=( 59、设Q为有理数集,则\exdx=( 60、设N为自然数集,则朋加=() 1、{0,1}={1,0}() 理由: 2、任意两个集合A、B,都有AuB,或BeA() 理由: 3、任意集合都有子集。 () 理由: 4、au{a}() 理由: 5、0)={0)} 理由: 6、<D={0}() 理由: 7、若一个点不是E的聚点,则必然也不是E的内点.() 理由: 8、{E的外点全体}和己的余集是相同的.() 理由: 9、E的内点必然属于E.() 理由: 10、E的孤立点必然属于E 理由: 理由: 12、E的聚点必然属于E() 理由: 13、若EUF可测,则E和F都可测。 () 理由: 14、若/(x)=g(x),ae于E,/(兀)在可测集E上可测,则g(x)也在E上可测()。 理由: 15、两个集合的基数相等,则它们的外测度相等。 () 理由: 16、若/(兀)在可测集E上可测,则E(f=+oo)也可测。 () 理由: 17>若mE<4-oo,且=>f,limfn(x)=f(x)o,幺于E() HT8 理由: 18、设5PS2都可测,则S}-S2也可测,且m(S]-
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