第十九章 第2节 特殊的平行四边形正方形.docx
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第十九章第2节特殊的平行四边形正方形
课程解读
1、学习目标:
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算。
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
二、重点、难点:
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定的灵活运用.
三、考点分析:
正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形和菱形。
熟悉正方形的性质和判定,并能运用其解题。
注意在解题过程中培养类比思想、归纳思想、转化思想。
特殊平行四边形的知识是中考的热点,各类题型均有涉及,分值较大。
知识梳理
项目
名称
定义
性质
判定
面积
平行四边形
两组对边平行的四边形叫平行四边形。
①对边平行
②对边相等
③对角相等
④对角线互相平分
⑤邻角互补
⑥是中心对称图形
①定义;
②两组对边分别相等的四边形;③一组对边平行且相等的四边形;
④两组对角分别相等的四边形;⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a是一边的长,h是这边上的高)
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
除具有平行四边形的性质外,还有
①四个角都是直角②对角线相等
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③定义。
S=ab(a是一边的长,b是这条边的邻边)
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
除具有平行四边形的性质外,还有
①四条边都相等
②对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边都相等的四边形是菱形;
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
③定义
①S=ah(a是一边的长,h是这边上的高)
②S=
bc(b、c为两条对角线的长)
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形形。
除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外,还有
①四个角都是直角,四条边都相等
②对角线相等且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形;②有一个角是直角的菱形是正方形;③定义
①S=
(a是边长)②S=
(b为对角线的长)
典型例题
知识点一:
特殊平行四边形的区别与联系
例1.
(1)下列命题中,真命题是()
A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
(2)下列命题中的假命题是().
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.一组邻边相等的矩形是正方形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
(3)用两个全等的直角三角形拼下列图形:
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形;一定可以拼成的是________(只填序号).
(4)正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角D.四条边相等
思路分析:
1)题意分析:
此题考查特殊的平行四边形的性质和判定。
2)解题思路:
要熟练掌握特殊的平行四边形的性质和判定方法。
解答过程:
(1)考查了特殊的平行四边形对角线间的区别和联系。
A.两条对角线垂直的四边形是菱形(×);
B.对角线垂直且相等的四边形是正方形(×);
C.两条对角线相等的四边形是矩形(×);
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形(√)。
应选:
D
(2)考查了特殊的平行四边形的判定之间的区别与联系。
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形(√);
B.一组邻边相等的矩形是正方形(√);
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(√);
D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形(×)。
应选:
D
(3)①平行四边形;②矩形;⑤等腰三角形;应填①②⑤。
(4)考查正方形的性质,应选A。
解题后的思考:
要重视基础知识的落实,还要注意特殊的平行四边形之间的区别与联系。
注意在解题过程中培养类比思想、归纳思想。
知识点二、正方形的性质
例2.已知:
四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
思路分析:
1)题意分析:
本题考查正方形的性质
2)解题思路:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形,这是今后利用正方形性质解题的常用方法。
解答过程:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
解题后的思考:
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质。
例3.已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
思路分析:
1)题意分析:
本题考查了正方形的性质。
2)解题思路:
要证明OE=OF,只需证明OE、OF所在的三角形全等即可,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到△AEO≌△DFO,故结论可证。
解答过程:
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的两条对角线垂直平分且相等).
又∵DG⊥AE,
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)
∴OE=OF.
解题后的思考:
注意证线段相等的最基本方法——寻找所证线段所在的三角形全等。
例4.如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点,AM⊥EF,垂足为M,AM=AB,则有EF=BE+DF,为什么?
思路分析:
1)题意分析:
此题考查正方形的性质
2)解题思路:
要证明EF=BE+DF,只需证明BE=EM,DF=FM,而连接AE、AF.只要能说证明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF即可.
解答过程:
连接AE、AF.
∵ABCD是正方形,,
∴AB⊥BC,又∵AM⊥EF,
∴∠ABE=∠AME=90o
∴AE=AE,AM=AB
∴△ABE≌△AME.
∴BE=ME.
同理可得,△ADF≌△AMF.
∴DF=MF.
∴EF=ME+MF=BE+DF.
解题后的思考:
此题主要考查了以正方形为载体,用截长补短法证明线段和差的问题。
注意基本方法——截长补短法的落实与应用。
知识点三、正方形的判定
例5.已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
思路分析:
1)题意分析:
此题考查正方形的判定。
2)解题思路:
由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP,即可证出MN=NP.从而得出结论。
解答过程:
∵PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°.
∵PQ∥NM(l1//l2),
∴四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴∠1+∠2=90°.
又∵∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
解题后的思考:
本题考查对正方形判定的应用,即先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边相等,从而判定这个四边形是正方形。
例6.如图,已知平行四边形
中,对角线
交于点
,
是
延长线上的点,且
是等边三角形.
(1)求证:
四边形
是菱形;
(2)若
,求证:
四边形
是正方形.
思路分析:
1)题意分析:
本题考查特殊平行四边形的区别与联系。
2)解题思路:
(1)已知平行四边形
,要证四边形
是菱形,只需证对角线互相垂直,即
.
(2)已知四边形
是菱形,只需证其有一个内角等于90°即可。
解答过程:
(1)
四边形
是平行四边形,
。
又
是等边三角形,
,即
.
(平行)四边形
是菱形;
(2)
是等边三角形,
.
,
.
,
.
.
四边形
是菱形,
.
四边形
是正方形.
解题后的思考:
特殊平行四边形的判定和性质是中考的热点,经常和其他知识相融合,这是同学们要注意的。
知识点四、中点四边形
例7.如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE、△BCE均为等边三角形,P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上的中点,
求证:
四边形PQMN为菱形。
思路分析:
1)题意分析:
本题考查了与特殊平行四边形密切相连的中点四边形的知识。
2)解题思路:
顺次相连任意四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。
中点四边形主要是应用了三角形中位线的知识。
一般情况下,添加的辅助线为所连接的对角线,它把四边形分割成三角形。
解答过程:
连接AC、BD
在四边形ABCD中,E为AB上一点,
△ADE、△BCE均为等边三角形,
∴AE=DE,BE=EC
∠DEA=∠CEB=60o
∴∠CEA=∠DEB
∴△AEC≌△DEB
∴AC=BD
∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上的中点,
在△ADC中,MN=
AC,MN∥AC
同理可证:
PQ=
AC,PQ∥AC,QM=
BD,QM∥BD,PN=
BD,PN∥BD
∴MN=PQ=NP=MQ
∴四边形PQMN为菱形
解题后的思考:
顺次连接任意四边形和平行四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。
如图一中图形。
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的四边形是菱形,
如矩形、等腰梯形或图二中图形等。
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的四边形是矩形,
如菱形或图三中图形等。
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的四边形是正方形,如正方形或图四中图形等。
(图一)(图二)(图三)(图四)
小结:
提分技巧
1.正方形不仅是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是后三者性质的综合,正方形不仅有平行四边形的所有性质,也有矩形和菱形的特殊性质,所以学习讲正方形性质的关键是在学习矩形、菱形的基础上进行总结.现将正方形的性质总结如下:
边:
对边平行,四边相等;
角:
四个角都是直角;
对角线:
对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
还要注意到:
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.要熟悉这些最基本的内容.
2.对于怎样判定一个四边形是正方形,因为层次较多,不必分析的太具体,只要强调能判定一个四边形是矩形,进而判定这个矩形也是菱形,或先判定一个四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形,即可判定这个四边形是正方形,实际上就是根据正方形的定义来判定。
预习导学
一、预习新知:
下一讲我们将学习梯形,请同学们预习这部分内容。
二、预习点拨:
梯形是一种特殊的四边形,其与平行四边形的共同点:
都是凸四边形;它们的区别:
平行四边形有两组对边平行;梯形只有一组对边平行,而另一组对边不平行,即平行四边形平行的边是相等的,而梯形平行的边是不能相等的;梯形的上、下底是以长短来区分的,而不是指位置关系.那么特殊的梯形有哪些?
它们各有什么性质?
同步练习
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
1.四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是()
A.OA=OB=OC=OD,AC⊥BDB.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠CD.OA=OC,OB=OD,AB=BC
2.在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是()
A.12+12
B.12+6
C.12+
D.24+6
3.下列命题中的假命题是().
A.有一角是直角的菱形是正方形
B.两条对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四条边都相等的四边形是正方形
二、填空题
4.已知四边形ABCD是菱形,当满足条件_________时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
5.正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是_______.
6.如图,依次连接一个边长为1的正方形各边的中点,得到第二个正方形,再依次连接第二个正方形各边的中点,得到第三个正方形,按此方法继续下去,则第六个正方形的面积是.
7.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,AC为正方形ABCD的对角线,则∠EAC=___度.
8.如图已知,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,CE=CF.
(1)求证:
△BEC≌△DFC;
(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.
9.如图所示,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
并证明你的猜想.
10.把正方形
绕着点
,按顺时针方向旋转得到正方形
,边
与
交于点
(如图).试问线段
与线段
相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
试题答案
1.A;2.A;3.D
4.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件均可;
5.3
;
6.
;7.105;
8.证明:
(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCD=90°
在Rt△BCE和Rt△DCF中,BC=DC,CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)解:
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE=
(180°-90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°
9.
(1)证明:
如图,∵ABCD,DEFG是正方形
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90o,
又∠CDG=90o+∠ADG=∠ADE,
∴△ADE≌△CDG.∴AE=CG.
(2)猜想:
AE⊥CG.
证明:
如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.
∵△ADE≌△CDG,∴∠DAE=∠DCG.
又∵∠ANM=∠CND,
∴∠AMN=∠ADC=90o.∴AE⊥CG.
10.解:
.
证法1:
连接
,
四边形
,
都是正方形.
.
由题意知
,又
.
,
.
证法2:
连接
.
四边形
都是正方形,
.
由题意知
.
.
.
.
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