三角形全等之截长补短整理.docx
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三角形全等之截长补短整理
三角形全等之截长补短(讲义)
一、知识点睛
截长补短:
题目中出现时,考虑截长补短;截长补短的作用是
____________________________________
.
二、精讲精练
A
1.已知:
如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C.
1
2
求证:
AC=AB+BD.
BD
A
C
1
2
BD
A
C
1
2
BD
C
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点E为AB边上一点,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
求证:
CD=AD+BC.C
1D
AEB
3.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,
∠B=∠D=∠BAD=90°,E,F分别为CD,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF.求证:
EF=BF+DE.
AD
E
2
BFC
AD
E
BFC
4.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=60°,△ABC的角平分线AD,CE交于点O.
求证:
AC=AE+CD.
B
D
E
O
AC
3
B
D
E
O
AC
5.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点
E.
求证:
CE1BD.2
A
D
E
BC
A
D
4
E
BC
【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分;
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
【精讲精练】
1.补短法:
证明:
如图,延长AB到E,使∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E+∠BDE
∵BE=BD
∴∠E=∠BDE
∴∠ABD=2∠E
∵∠ABD=2∠CB∴∠E=∠C
在△ADE和△ADC中
E
BE=BD,连接DE.
A
12
DC
5
EC
12ADAD
∴△ADE≌△ADC(AAS)
∴AE=AC
∴AC=AB+BE
=AB+BD
截长法:
证明:
如图,在AC上截取AF=AB,连接DF.
在△ABD和△AFD中
A
AB
AF
1
2
1
2
F
AD
AD
∴△ABD≌△AFD(SAS)
B
D
C
∴∠B=∠AFD,BD=FD
∵∠B=2∠C
∴∠AFD=2∠C
∵∠AFD是△DFC的一个外角
∴∠AFD=∠C+∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC
∴BD=FC
∴AC=AF+FC
=AB+BD
2.证明:
如图,在CD上截取CF=CB.
∵CE平分∠CBD
C
∴∠1=∠2
F
12
在△CFE和△CBE中
D
CF
CB
3
4
1
2
CE
CE
A
E
B
∴△CFE≌△CBE(SAS)
∴∠CFE=∠B
∵∠B=90°
∴∠CFE=∠DFE=90°
∵∠A=90°
∴∠DFE=∠A
∵DE平分∠ADC
6
∴∠3=∠4
在△DEF和△DEA中
DFEA
34DEDE
∴△DEF≌△DEA(AAS)
∴DF=AD
∴CD=DF+CF
=AD+BC
2.证明:
如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AG.
∵∠D=∠ABC=90°
A
D
∴∠ABG=∠D=90°
2
13
在△ABG和△ADE中
E
AB=AD
ABG=D
BG=DE
G
BF
C
∴△ABG≌△ADE(SAS)
∴AG=AE,∠1=∠2
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°
∴∠1+∠3=45°
即∠GAF=45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AGF和△AEF中
AGAE
GAFEAF
AFAF
∴△AGF≌△AEF(SAS)
∴GF=EF
∵GF=BF+BG
∴EF=BF+DE
4.证明:
如图,在AC上截取AF=AE,连接OF.∵AD,CE为△ABC的角平分线
∴∠1=∠2,∠3=∠4
B
在△AEO和△AFO中
AE
AF
E
D
1
2
O7
5
AO
AO
1
68
4
2
F7
3
A
C
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠5=∠6
∵∠ABC=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B
=18060
=120
∴∠2+∠3=60
∴∠AOC=180°60
=120°
∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°
在△OFC和△ODC中
∠8∠7
OCOC
∠3∠4
∴△OFC≌△ODC(ASA)
∴CF=CD
∴AC=AF+FC
=AE+CD
4.证明:
如图,延长CE,交BA的延长线于点F.
∵CE⊥BD
∴∠BEF=∠BEC=90°
F
∵∠BAC=90°
A
∴∠CAF=∠BAD=90°
D
E
∵∠3=∠4
3
4
∴∠1=∠5
1
5
在△BAD和△CAF中
B
2
C
1
5
AB
AC
BADCAF
∴△BAD≌△CAF(ASA)
∴BD=CF
∵BE平分∠ABC
∴∠1=∠2
在△BEF和△BEC中
12BEBE
BEFBEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
8
∴CE=1CF
2
∴CE=1BD
2
三角形全等之截长补短每日一题
1.(4月28日)在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.求证:
CD=AB+BD.
A
BDC
2.(4月29日)如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,连接BP,CP.
求证:
ABAC>PBPC.
A
12P
BDC
9
3.(4月30日)已知:
如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且
PD⊥BC于点D,∠A+∠C=180°.求证:
BD=AB+CD.
N
A
P
1
2
BDC
AD
4.(5月2日)如图,在正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE,连接EF.
求证:
AE=BE+DF.
F
BEC
【参考答案】
1.证明:
如图,在线段DC上截取DE=BD,连接AE.
10
A
2
1
BDEC
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ABD和△AED中
ADAD
ADBADE
DBDE
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠B=∠1,AB=AE
∵∠B=2∠C
∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC的一个外角
∴∠1=∠C+∠2
∴∠C=∠2
∴AE=CE
∴CD=CE+ED
=AE+BD
=AB+BD
(如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明)
2.证明:
如图,在线段AB上截取AE=AC,连接PE.
A
12
P
E
BDC
则ABAC=ABAE=EB
在△AEP和△ACP中
AEAC
12APAP
∴△AEP≌△ACP(SAS)
∴PE=PC
11
在△PEB中,PBPE ∴PBPC ∴ABAC>PBPC (延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论) 3.证明: 如图,在BC上截取BE=BA,连接PE. N A P 1 3 4 2 C B E D 在△ABP和△EBP中 BABE 12BPBP ∴△ABP≌△EBP(SAS) ∴∠A=∠3 ∵∠A+∠C=180°,∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD⊥BC ∴∠PDE=∠PDC=90° 在△PDE和△PDC中 4C PDEPDC PDPD ∴△PDE≌△PDC(AAS) ∴DE=DC ∴BD=BE+ED =AB+CD (过点P作PF⊥BA于F,也可进行证明) 4.证明: 如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. AD 1 243 5 F GBEC 12 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADF中 ABAD ABGADF BGDF ∴△ABG≌△ADF(SAS) ∴∠1=∠2,∠5=∠G ∵AF平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G=90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE=EG ∵EG=BE+BG ∴AE=BE+DF 三角形全等之截长补短(随堂测试) 6.已知: 如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,∠C=60°,BD平分∠ABC.求证: BC=AB+AD. A D BC 13 【参考答案】 1.证明略 提示: 在BC上截取BE=AB,证明△ABD≌△EBD,再证明 CE=AD. 三角形全等之截长补短(作业) 1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=80°,AD是∠
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