八年级数学上册知识点总结北师大版.docx
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八年级数学上册知识点总结北师大版
《数学》(八年级上册)知识点总结(北师大版)
《数学》(八年级上册)知识点总结(北师大版)
第一章勾股定理
1、勾股定理-----已知直角三角形,得边的关系
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2b2c2
2、勾股定理的逆定理-----由边的关系,判断直角三角形
如果三角形的三边长a,b,c有关系a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足a2b2c2的三个正整数a,b,c,称为勾股数。
常见的勾股数有:
(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)⋯⋯
规律:
(1)、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的
平方。
即当
a为奇数且a<b时,如果bca2,那么a,b,c
就是一组勾股数.
如:
(3,4,5
)(5,12
,,13)(7,24,25)(9,40,41)⋯⋯
(2)大于2的任意偶数,
2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:
2n,n2
1,n2
1
如:
(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)⋯⋯
4、常见题型应用:
(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积⋯⋯
(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面
积⋯⋯
(3)判定三角形形状:
a2b2c2锐角三角形,a2b2c2直角三角形,a2b2c2钝角三角形
判定直角三角形
a..找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状
第二章实数
1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
1
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算术平方根定义如果一个非负数
x的平方等于a,即x
2
a
那么这个非负数x就叫做a的算术平方根,记为
a,
算术平方根为非负数
a
0
正数的平方根有2
个,它们互为相反数
平方根
0的平方根是
0
负数没有平方根
2.无理数的表示
定义:
如果一个数的平方等于
a,即x2
a,那么这个数就
叫做a的平方根,记为
a
正数的立方根是正数
立方根
负数的立方根是负数
0的立方根是
0
定义:
如果一个数x的立方等于
a,即x3
a,那么这个数x
就叫做a的立方根,记为
3a.
概念有理数和无理数统称实数
正数
有理数
分类
或0
无理数
负数
3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数
0
有限小数与无限循环小数
实数
负有理数
正实数
无理数
正无理数
实数0
负无理数
无限不循环小数
负实数
2
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2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如7,3
2等根号a(a为非完全平方数或非立方数)。
(2)有特定意义的数,如圆周率
π(π=3.14159265⋯),或化简后含有
π的数,如π+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001⋯;0.585885888588885⋯⋯(相邻两个5之间8的个数逐次加1等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数
轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=
—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本
身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不
可)。
3
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解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算.注意:
(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;
(2)要求记忆:
21.41431.73252.236.
三、平方根、算数平方根和立方根
1.平方根和算术平方根:
(1)概念:
如果x2
a,那么x是a的平方根,记作:
a;读作“正、负根号a”,
其中
a叫做a的算术平方根,读作根号
a。
(2)性质:
①当a≥0时,
a≥0;
当a<0时,
a无意义;
2
a2
a。
(区分②、③)
②
a
=a;
③
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(3)开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
a0(开平方的被开方数的条件)
注意:
a的双重非负性:
a0(算术平方根的非负性)
2.立方根:
(1)概念:
若x3
a,那么x是a的立方根(或三次方根),记作:
3a;
(2)性质:
①3a3
a;②3a
3
③3
a=
3a
a;
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
3a3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分:
平方根、立方根的性质
根源:
开平方是平方的逆运算;开立方是立方的逆运算。
正数和负数的平方后为正,所以,只有非
负数才可以开平方,因此一个非0正数开平方后有2个;而任何数的立方后的符号与原数的
符号一致,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1个,符号与原数的符号也一
致。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右
4
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边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
ab0
ab,
ab0
ab,
ab0ab
(3)求商比较法:
设
a、b是两正实数,a
1
;
a
1
;
a
1ab;
a
b
a
b
b
b
b
(4)绝对值比较法:
设
a、b是两负实数,则
ab
a
b。
(5)平方法:
①设a0,b
0,则a2
b2
ab
②设a0,b
0,则a2
b2
a
b。
③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
如:
比较
36与
3.4;3
6与
53
2
(6)倒数法:
设a
0,b
0,则a
b
1
1
0,b
0
1
1
a
;设a
,则ab
b
b
a
规律:
同号取倒(数)反向
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“
”;被开方数a必须是非负数,即:
a中a
0。
2、性质:
(1)非负性
a
0
(2)(
a
)2
(
0)
a
2
a
0)
(
中前提,被开方数
aa
(3)
a2
a
a,(a
0)
(
a2
中隐含被开方数
a2
0
)
a,(a
0)
(4)
ab
a
b(a
0,b
0);(
a
bab(a
0,b
0))(前提根号要有意义)
5
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(5)
a
a(a
0,b
0)
;(
a
a(a0,b0))(前提式子和根号要有意义,
)
b
b
b
b
拓展:
三个重要非负数:
a2
0,a
0,
a
0.注意:
非负数之和为0
它们都是0.
3、运算结果若含有“
a”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
加、减、乘、除、乘方
、开方
(2)实数的运算顺序
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