幂函数的图像与性质教案与练习.docx
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幂函数的图像与性质教案与练习
幕函数的图像与性质
【知识整理】
1、幕函数的定义
一般地,形如)uF(xeR)的函数称为幕函数,其中X是自变量,a是常数.如y=/等都是幕函数,幕函数与指数函数,对数函数一样,都
是基本初等函数.
注意:
中,前面的系数为1,且没有常数项。
y=x
y=a2
y=x3
1
y=x2
y=x"1
定义域
R
R
R
{xlx>0}
{xlxHO}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第丨象限
在第1象限
在第1象限
在第I象限
在第I象限
在第1象限
单调增减性
单调递增
单调递增
单调递增
单调递增
单调递减
定点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
3、幕函数的性质
(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
f=1);
(2)a>0时,幕函数的图象通过原点,并且在区间[0,+s)上是增函数.特别地,
当a>l时,幕函数的图象下凸;当0vavl时,幕函数的图象上凸;
(3)a<0时,幕函数的图象在区间(0,+s)上是减函数.在第一象限内,当久从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限逼近y轴正半轴,当x趋于+oc时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
基础训练:
1.下列函数是幕函数的是()
A-y=5ABey=C・y=5x
D.y=(x+l)3
2.已知函数卩=(加2+2加一2)0+2+2〃一3是幕函数,贝ijm=,
n=・
3.已知幕函数f(x)=x°的图象经过点(9,3),则/(100)=.
4.下列幕函数在(一8,0)上为减函数的是()
A・y=xB・y=£C.y=x3
D.y=x2
5.下列函数中,定义域为R的是()
丄
A・y=x~2B・y=x2C・y=x2
D.y=x~l
5
6.函数y=x3的图象大致是()
7.下列函数中,既是偶函数,乂在区间(0,+<-)上单调递减的函数是()
A.y=x_2B.y=x~lC.y=xL
D.y=x3
8.
函数2在区间[*,2]上的值域为
值组成的集合为.
例题精析:
例1.如图,图中曲线是幕函数在第一象限的大致图象.已知a取一2,
一壬,2四个值,则相应于曲线Ci,C2,C3,G的a的值依次为
变式训练:
幕函数)=厂及直线)=兀,)=1,X=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个
丄
“卦限”:
①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示),那么幕函数)=迈的图象经过的“卦限”是・
3
5*
变式训练:
用“才或y填空:
(3)(-2.1)7(-2.2)-|
例3已知幕函数f(x)=(r—r+1)a1—4/—t2)是偶函数,且在(0,+®)上为增函数,求函数解析式.
变式训练:
若函数ZU)=(〃,一〃?
一1)人厂〃小是幕函数,且在x^(0,+8)上是减函数,求实数加的取值范围.
课后作业:
1一2?
n
n
-
H
G
a
设
1.若幕函数/(X)的图象经过点(2,k则4)=
3},则使幕函数y=xu的定义域为R的所有a的值为
3.幕函数y=/W的图象经过点(2,右),则满足妙=一27的兀值等于
4.函数y=ax~2{a>0且“H1,—1EW1)的值域是[一|,1],则实数a=
2
7.已知函数>'=x3.
(1)求定义域;
(2)判断奇偶性;
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,图象确定单调区间.
&已知幕函数〉=卩「9伽丘2)的图象关于y轴对称,且在(0,+呵上函数值随x的增大而减小,求满足@+1)—吳(3—2“)一扌的a的取值范围.
9.点(迈,2)与点(一2,—*)分别在幕函数/(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有(lg)>g(x);(2H(x)=g(x);(3)/(x) 【题目】如果幕函数y=f(x)的图像经过点(2,4),则f(3)= 【题目】下列命题中,正确命题的题号为 1幕函数的图像都经过点(1,1) 2图像经过点(-1,1)的幕函数是偶函数 3幕函数的图像不经过第四象限 4当,匸0时,函数y二卍的图像是一条直线 5当〃<0时,函数y二卍在定义域内为减函数 2 【题目】研究幕函数f(X)=Xj的性质 (1)指出/(Q的定义域和值域; (2)指出并证明/(Q的奇偶性和单调性; (3)画出/(X)的图像。 【解答】 (1)定义域为壮尺,值域为_ve[0,+oo) (2)偶函数,在(y,0]单调减,在[0,+Q单调增 (3) 【属性】高三,幕函数的图像与性质,幕函数的图像与性质,解答题,中,分析问题解决问题 22 【题目】解不等式(x+2P>(l-2x)~ 【解答】兀>3或从冷 【属性】高三,幕函数的图像与性质,恒成立,解答题,难,分析问题解决问题 【题目】已知偶函数/(力=严心在(0,+Q上是减函数(其中加为整数), (1)求〃? 的值; (2)若函数A(A)=<4/a)J2+^U)-3-的值恒为负数,求“的取值范臥 【解答】 (1)m=l
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