天津卷理科数学高考真题.docx
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天津卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅰ卷1
答卷时,
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A、B互斥,那么P(AB)P(A)P(B).
·如果事件A、B相互独立,那么P(AB)P(A)P(B).
·圆柱的体积公式VSh,其中S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高.
1
·棱锥的体积公式VSh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.
3
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A{1,1,2,3,5},B{2,3,4},C{xR|1x3},则(AC)B
A.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4
xy20,
xy20,
2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为
x1,
y1,
A.2B.3C.5D.6
3.设xR,则“x25x0”是“|x1|1”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
22
5.已知抛物线y4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线x2y21ab
别交于点A和点B,且|AB|4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为
伸长到原来的2倍
g2,则f
4
A.2
8.已知aR,设函数
A.2B.3C.2D.5
0.2
6.已知alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则a,b,c的大小关系为
A.acbB.abcC.bcaD.cab
7.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)是奇函数,将yfx的图象上所有点的横坐标纵坐标不变),所得图象对应的函数为gx.若gx的最小正周期为2π,且3
8
B.2C.2D.2
2
x22ax2a,x1,
f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的xalnx,x1.
取值范围为
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.i是虚数单位,则5i的值为.
18
10.2x3的展开式中的常数项为.
8x3
11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条
侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.
x22cos,
12.设aR,直线axy20和圆(为参数)相切,则a的值为
y12sin
14.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB23,AD5,A30,点E在线段CB的延长线上,且AEBE,则BDAE.
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2a,3csinB4asinC.
Ⅰ)求cosB的值;
Ⅱ)求sin2B的值.
6
设甲、
2
乙两位同学上学期间,每天7:
30之前到校的概率均为2.假定甲、乙两位同学到校情况互不
3
用X表示甲同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
7:
30之前到校
设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:
30之前到校的天数比乙同学在
的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
求证:
BF∥平面ADE;求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
1
Ⅲ)
若二面角EBDF的余弦值为1,求线段CF的长.
3
离心率为5.
5
22
设椭圆x2y21(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,ab
Ⅰ)求椭圆的方程;
Ⅱ)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负
半轴上.若|ON||OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.
19.(本小题满分14分)
设an是等差数列,bn是等比数列.已知a14,b16,b22a22,b32a34.
Ⅰ)求an和bn的通项公式;
i)求数列a2nc2n1的通项公式;
2n
(ii)求aicinN*.
i1
20.(本小题满分14分)
设函数f(x)excosx,g(x)为fx的导函数.
Ⅰ)求fx的单调区间;
Ⅱ)当x4,2时,证明f(x)g(x)2x0;
f(x)1在区间2n,2n内的零点,其中nN,证明
42
2nxn
2n
e2n
sinx0cosx0
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)参考解答
三.解答题
15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力,满分13分.
Ⅰ)解:
在△ABC中,由正弦定理b
sinB
得3bsinC4asinC,即3b4a.又因为
c
,得bsinCcsinB,又由3csinB4asinC,sinC
42
bc2a,得到ba,ca.由余弦定理可得
33
227cos2Bcos2Bsin2B78,故
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
2
4
8
27
9
9
27
2随机变量X的数学期望E(X)322.
3
2(Ⅱ)解:
设乙同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数为Y,则Y~B3,,且
3
M{X3,Y1}{X2,Y0.}由题意知事件{X3,Y1}与{X2,Y0}互斥,且事件
X3与Y1,事件X2与Y0均相互独立,从而由(Ⅰ)知
P(M)P({X3,Y1}{X2,Y0})P(X3,Y1)P(X2,Y0)
824120P(X3)P(Y1)P(X2P)Y(0).
279927243
17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立
依题意,可以建立以
A为原点,分别以AB,AD,AE的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐
体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分
13分.
标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CFhh(0>),
所以,线段CF的长为8.
7
则F1,2,h.
(Ⅰ)证明:
依题意,
AB(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF(0,2,h),可得BFAB0,
又因为直线BF平面ADE,所以BF∥平面ADE.
18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
c5222Ⅰ)解:
设椭圆的半焦距为c,依题意,2b4,,又a2b2c2,可得a5,b2,c1.
a5
22
所以,椭圆的方程为xy1.
54
Ⅱ)解:
由题意,设PxP,yPxp0,MxM,0.设直线PB的斜率为kk0,又B0,2,
ykx2,
则直线PB的方程为ykx2,与椭圆方程联立x2y2整理得45k2x220kx0,可得
1,
54
230
5
230
所以,直线PB的斜率为230或
5
19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
6q62d,(Ⅰ)解:
设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意得2解得nn6q2124d,
d3,
故an4(n1)33n1,bn62n132n.
q2,
所以,an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n.
(Ⅱ)(i)解:
a
2nc2n1a2nbn132n132n194n1
所以,数列a2nc
2n1的通项公式为a2nc2n194n1.
2n
2n2nn
ii)解:
aiciaiaici1aia2ic2i1
i1i1i1i1
n2n2n1i
2n4394i1
i1
322n152n19414n
14
2722n152n1n12nN*.
x5Ⅰ)解:
由已知,有f'(x)ex(cosxsinx).因此,当x2k,2k(kZ)时,有44
sinxcosx,得f'(x)0,则fx单调递增.
5
2k,2k(kZ).
44
且fyneyncosynexn2ncosxn2ne2nnN.
由fyne2n1fy0及(Ⅰ),
yn
y0.由(Ⅱ)知,当x,
042
时,g'(x)0,所
以gx在4,2
上为减
函数,
gyngy0g40.又由(Ⅱ)知,
fyngyn2yn0,故
fyne2ne2ne2ne2n
ynny0
2gyngyngy0e0siny0cosy0sinx0cosx0
e2n
所以,2nxne.
2sinx0cosx0
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- 天津 理科 数学 高考