例谈立体几何中的轨迹问题_精品文档.pdf
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例谈立体几何中的轨迹问题例谈立体几何中的轨迹问题上海虹口田庆涛引例上海虹口田庆涛引例如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线本题是2008年浙江省高考题,诸如此类的立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模考与高考中频出,本文就高中范围内,常见轨迹产生的原理进行分析,给出立体几何中轨迹问题的两种常见的处理方法.一、平面截圆柱面所得的截线曲线一、平面截圆柱面所得的截线曲线在空间,由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行线所生成的曲面叫做柱面,平行直线中的每一条直线叫做柱面的母线1.特别地,在空间,到定直线的距离为定值的动点(或动直线)形成的轨迹为以定直线为轴的圆柱面,平面截圆柱面产生的截口轨迹通常为圆、直线、椭圆等.命题命题12圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆.如图,平面APB为圆柱面的截线,其中AB为截面与圆柱的轴截面的交线,下面证明截线为椭圆:
分别作焦球与截面相切,切点分别为1F,2F,在截线上任取动点P,过P作圆柱的母线,与焦球分别切于M、N两点,连接1PF、2PF,易知1PFPM,2PFPN,所以有:
12PFPFPMPNMN即动点P到定点1F,2F的距离之和为定值MN,所以P的轨迹为以1F,2F为焦点,以MN为长轴长的椭圆.命题命题2圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线.命题命题3圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆.二、平面截圆锥面所得的截口曲线二、平面截圆锥面所得的截口曲线在空间,通过一定点,且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面1.特别地,过定直线l上的某一定点O,且与定直线l成等角(非直角)的直线族所生成的曲面为圆锥面,定直线l为圆锥面的轴,直线族中的每一条直线均为圆锥面的母线,定点O为圆锥面的顶点.圆锥面被平面截得的截口曲线可以为直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等.命题命题42当截面与圆锥的轴垂直时,截面曲线为圆;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交,且交点位于圆锥面的同一叶时,截得的曲线为椭圆;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交,且交点位于圆锥面的不同叶中时,截面曲线为双当截面与圆锥的轴垂直时,截面曲线为圆;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交,且交点位于圆锥面的同一叶时,截得的曲线为椭圆;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交,且交点位于圆锥面的不同叶中时,截面曲线为双曲线;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线中的某一条平行时,截面曲线为抛物线曲线;当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线中的某一条平行时,截面曲线为抛物线.如图,平面PQL为圆锥面的截面,其中AK为截面与圆锥的轴截面的交线,做焦球与截面切于F,设P为截线上的任意动点,过P作母线与焦球切于M,易知,PMPFNB,ANAF,NKABJA,所以ANABANABNBAKAJAKAJKJ,结合ANNBAKKJ,PMPFNB,ANAF,KJPQ,可得:
PFANePQAK,由此,F为截线的焦点,直线LQ为截线的准线,定值ANAK为截线的离心率,直线KJ为截线的焦点轴.P1F2FABNMPFMONQABKLJABP当焦点轴与圆锥面的母线平行时,1ANAK,此时截线为抛物线;当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于同一叶时,01ANAK,此时的截线为椭圆;当焦点轴与轴截面的两条母线的交点位于不同叶时,1ANAK,此时截口曲线为双曲线.三、立体几何中轨迹问题的两种常见处理方法(三、立体几何中轨迹问题的两种常见处理方法
(1)几何法)几何法借助曲线的定义或几何图形的特征进行识别轨迹类型的方法称之为几何法.使用几何法时,需特别关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义,同时还需关注被截面的类别,常见的被截面有平面、圆柱面与圆锥面等.如两平面的交线为直线,平面截圆柱面所得截口曲线可以为圆或椭圆,平面截圆锥面所得截口曲线可以为圆、椭圆、抛物线、双曲线等,具体可以结合前文的命题进行识别.
(2)代数法)代数法建立坐标系,通过解析法,求出截口曲线的轨迹方程的方法称为代数法.使用代数法时,一般需要选择合适平面,建立的平面直角坐标系,在截口曲线上任取点,Pxy,依照题中的条件,建立方程并化简,得到方程,0fxy(高中范围内,通常只涉及到两个变量两个变量的方程),最后结合方程的特征识别轨迹的类型.【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系,但此类问题中最终的方程一般只含有两个变量【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系,但此类问题中最终的方程一般只含有两个变量.四、立体几何中常见的轨迹问题举例(四、立体几何中常见的轨迹问题举例
(1)轨迹类型识别)轨迹类型识别此类问题最为常见,求解时,关注几何体的特征,灵活选择几何法与代数法.例例1、(2006北京)平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是()A一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支【解析】【解析】直线l运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面,由公理二易知点C刚好落在平面与线段AB的垂面的交线上,所以动点C的轨迹是一条直线.选择A.【点评】【点评】空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线,在处理问题中注意识别即可.BCAlAAANNNKKKKK【变式】(2004重庆)若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是()A.B.C.D.【解析】【解析】显然点B点符合题目要求,在ABC中取一点符合条件的点P,过P分别作平面BCD、线段AB的垂线,垂足分别为E、F,即有PEPF,连接BP,在线段BP上取点P,在BPE与BPF中分别作PE、PF的平行线,分别交BE、BA于E、F两点,易知,PE平面BCD,PFAB,结合相似不难得到PEPF,由此可知符合条件的点P的轨迹为直线BP,排除A、B选项,对比C、D选项,易知选择D.【变式】【变式】如图,在正方体1111ABCDABCD中,M为BC中点,点N在四边形11CDDC内运动,且11MNAC,则N点的轨迹为()A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【解析】【解析】过N向平面ABCD作垂线,垂足为H,则ACMH,所以H为DC中点,不难得到N点的轨迹为一条线段.ABCABCABCABCPPPPABCDEEFFPPABCD1A1B1C1DNMABCD1A1B1C1DNMH例例2、如图,在正方体1111ABCDABCD中,若四边形11ABCD内一动点P到1AB和BC的距离相等,则点P的轨迹为()A椭圆的一部分B圆的一部分C一条线段D抛物线的一部分【解析】【解析】由于1AB平面11ABCD,连接OP,此即为点P到1AB的距离,由此,动点P到1AB和BC的距离相等转化为在平面内到定点(定直线外)的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题,符合抛物线的定义,所以本题选D.【点评】立体几何中的距离问题,往往需要借助线面垂直转化;涉及到动点的轨迹问题,优先考虑定义法【点评】立体几何中的距离问题,往往需要借助线面垂直转化;涉及到动点的轨迹问题,优先考虑定义法.【变式【变式1】在正方体1111ABCDABCD中,若平面11ABCD上一动点P到1AB与到BC的距离比为2,则点P的轨迹为()A椭圆的一部分B圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分【答案】【答案】C【变式【变式2】在正方体1111ABCDABCD中,若平面11ABCD上一动点P到1AB与到BC的距离比为12,则点P的轨迹为()A椭圆的一部分B圆的一部分C一条线段D抛物线的一部分【答案】【答案】AABCD1A1B1C1DPO例例3、(2008浙江)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线【解析】【解析】考虑到三角形的面积为定值,结合线段AB固定,易知动点P到线段AB的距离为定值,结合前文定义,在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面,可以得到P点在此圆柱面上,又点P在平面内运动,所以点P在平面与圆柱面的截线上,由于AB是平面的斜线段,所以平面与圆柱面斜交,由命题1,可以得到动点P的轨迹是椭圆,选择B.【点评】“动中寻静”,充分挖掘不变量,是解决此类问题的关键,另外需注意圆柱面的生成过程【点评】“动中寻静”,充分挖掘不变量,是解决此类问题的关键,另外需注意圆柱面的生成过程.例例4、已知动点P在正方体1111ABCDABCD的侧面11BBCC中,且满足11PDDBDD,则动点P的轨迹是()的一部分A圆B椭圆C双曲线D抛物线【解析】【解析】由于11PDDBDD,所以可视点P为以1DD为轴,以1DB为母线的圆锥面上的动点,又动点P在11BBCC中,所以动点P在平面11BBCC与圆锥面的截线上,由于1/DD平面11BBCC,所以平面11BBCC与圆锥轴截面的母线的交点在不同叶上,截口曲线为双曲线,选择C.【点评】结合圆锥面生成过程,识别圆锥面是解决问题的前提,平面截圆锥面所得的截口曲线的识别,需关注截面与圆锥轴截面母线的位置关系,辩证识别【点评】结合圆锥面生成过程,识别圆锥面是解决问题的前提,平面截圆锥面所得的截口曲线的识别,需关注截面与圆锥轴截面母线的位置关系,辩证识别.【变式】(2014上海八校联考)设B、C是定点,且均不在平面上,动点A在平面上,且1sin2ABC,则点A的轨迹为()A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【解析】【解析】由1sin2ABC,可知ABC为固定角,由于B、C是定点,可视点A为以直线BC为轴,AB为母线的圆锥面上的动点,又动点A在平面上,所以点A在平面与圆锥面的截线上,由于截面与母线的位置关系不定,所以截线可以为圆、椭圆、双曲线、抛物线等,本题选择D.ABPABCD1A1B1C1DP例例5、如图,在矩形ABCD中,E为边AD上的动点,将ABE沿着直线BE翻转成1ABE,使平面1ABE平面ABCD,则点1A的轨迹是()A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.以上都不是【解析】【解析】将ABE沿着直线BE翻转成1ABE的过程中,1AB的长度始终是保持不变的,这样,点1A在以B为球心,以AB为半径的球面上,所以点1A的形成轨迹为圆弧,选择B.【点评】在空间,到定点的距离为定长的点的轨迹为球,球的概念生成的两个必要条件为定点与定长,解题时注意把控【点评】在空间,到定点的距离为定长的点的轨迹为球,球的概念生成的两个必要条件为定点与定长,解题时注意把控.例例6、已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1,点P是平面ABCD内的动点,若点P到直线11AD的距离等于点P到直线CD的距离,则动点P的轨迹所在的曲线是()A抛物线B双曲线C椭圆D直线【解析】【解析】本题从几何的角度很难找到突破口,可以尝试从代数的角度处理:
如图,建立直角坐标系xDy,设,Pxy,则有21yx化简可得:
221xy,即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线,选择B.【点评】“数缺形式少直观,形缺数时难入微”,轨迹问题更是如此,从几何角度不好入手时,可以尝试从代数的角度,利用解析法求解出相应轨迹,不失为此类问题解决的好方法【点评】“数缺形式少直观,形缺数时难入微”,轨迹问题更是如此,从几何角度不好入手时,可以尝试从代数的角度,利用解析法求解出相应轨迹,不失为此类问题解决的好方法.【变式【变式1】已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1,M在棱AB上,且13AM,点P在平面ABCD上,动点P到直线11AD的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1,则点P
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- 立体几何 中的 轨迹 问题 精品 文档