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第二章第二章信号与系统的范数信号与系统的范数什么是范数?
范数是一种运算,满足以下四条性质:
(1)
(2)(3)(4)一、一、信号的范数信号的范数1-Norm:
2-Norm:
(信号的能量)-Norm:
(信号的峰值)以上三种范数中,2-Norm用得比较多,也更有意义。
如果一个信号的2-Norm是有限的,就称为能量有限信号。
信号的平均功率:
如果这个极限存在,就称信号为功率信号。
信号的平均功率的平方根记为:
注意,不是范数,因为不满足性质
(2)。
显然,对于一个能量有限的非零信号,。
1-Norm、2-Norm、-Norm和之间有什么关系?
1.如果,那么。
证明:
2.如果,且,那么。
证明:
3.如果,且,那么,因而有。
证明:
二、系统的范数二、系统的范数2-Norm:
-Norm:
如果是稳定的,那么根据Parseval定理,有其中,。
其物理意义是:
对于稳定的系统,等于系统的脉冲响应的能量。
的-Norm的物理意义是:
的Nyquist曲线上的点离原点最远的距离,也表示的Bode幅频特性曲线的峰值。
以二阶系统为例,其Bode图如图1所示。
图1性质:
引理1的2-Norm有限,当且仅当是严真的,且在虚轴上没有极点;的-Norm有限,当且仅当是真的,且在虚轴上没有极点。
系统范数的计算最后的积分是沿虚轴向上,然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。
假设是严真的,且在虚轴上没有极点,则沿无穷大半圆的积分等于0。
根据留数定理,等于在它的左半平面极点上的留数的和。
例1考察。
在左半平面的极点是,则在这一极点上的留数等于10-210-1100101102-180-135-90-450Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-80-70-60-50-40-30-20-1001020System:
PFrequency(rad/sec):
0.935Magnitude(dB):
6.3Magnitude(dB)因此,。
可以通过解方程找到取最大值的频率点。
例2考察。
因为是的偶函数,所以只需考虑的情形。
若,则,即单调递增。
所以,。
若,则,即单调递减。
所以,。
因此,。
我们也可以从的Bode幅频特性曲线上得到结论,如图2()和图3()所示。
图2高通图3低通05101520Magnitude(dB)10-310-210-110010110203060Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-20-15-10-50Magnitude(dB)10-310-210-1100101102-60-300Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)三、功率分析三、功率分析为功率信号,定义其自相关函数为显然,当时,这里,我们重新定义功率信号:
对所有的(而不仅仅是),都存在的信号。
性质:
证明:
由Cauchy-Schwarz不等式,得令,且两边同时乘以,得两边同时令,得是关于时间的函数,对应的傅里叶变换将从时域映射到频域上。
令表示的傅里叶变换,则(信号的功率谱密度)即和互为傅里叶变换对。
当时,因此,我们可以定义信号的功率密度为。
注意功率密度与功率谱密度之间的关系。
现在考察两个功率信号和,它们的互相关函数为其傅里叶变换为信号和的互功率谱密度。
考虑一个线性系统,假定其传递函数是稳定的和真的,输入为,输出为,那么我们有下面一些有用的结论。
1.证明:
2.,这里证明:
同理可得3.证明:
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