中考几何常见辅助线介绍.pdf
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中考几何常见辅助线介绍.pdf
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1中考几何常见辅助线介绍中考几何常见辅助线介绍11一一.过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题1如图在四边形ABCD中,BCBA,AD=DC,BD平分ABC求证:
180CA.2已知:
如图,在ABC中,A=90,AB=AC,1=2,求证:
BC=AB+AD3如图,ABCD中,E是DC上一点,F是AD上一点,AE交CF于点O,且AE=CF.求证:
OB平分AOC.二二有和角平分线垂直的线段时有和角平分线垂直的线段时,把它延长可得到中点或相等的线段把它延长可得到中点或相等的线段,从而与三角形中位线或三角形全从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系等建立起联系4已知:
如图,1=2,ABAC,CDAD于D,H是BC中点,求证:
DH=21(ABAC)5已知:
如图,AB=AC,BAC=90,1=2,CEBE,求证:
BD=2CEABCD12ABCHD12ABCED12ADBCDECBOFA2三三.有角平分线时,常作平行线,构造等腰三角形有角平分线时,常作平行线,构造等腰三角形。
(角平分线(角平分线+平行线平行线等腰三角形等腰三角形.)6已知:
如图,)(ACABABC中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DFAB,交AE于点F,DF=AC.求证:
AE平分BAC.四、有中线时可延长中线,构造全等三角形或平行四边形:
四、有中线时可延长中线,构造全等三角形或平行四边形:
7已知:
如图,AD为ABC中线,求证:
ADACAB2.8.已知:
如图,90CADBAE,AD=AC,AB=AE,M为BC中点,AM的延长线交DE于N求证:
DEANABCFEDABDCABCENDM3八年级八年级数学培优训练题数学培优训练题补形法补形法的的应用应用一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分繁难,若通过适当的“补形”来进行,即添置适当的辅助线,将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分的显示,通过对新图形的分析,使原问题顺利获解。
这种方法,我们称之为补形法,它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下,以供参考。
一、补成三角形一、补成三角形1.补成三角形补成三角形例1.如图1,已知E为梯形ABCD的腰CD的中点;证明:
ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析:
过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证:
2.补成等腰三角形补成等腰三角形例2如图2.已知A90,ABAC,12,CEBD,求证:
BD2CE分析:
因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CF2CE,再证BDCF即可。
略证:
3.补成直角三角形补成直角三角形例3.如图3,在梯形ABCD中,ADBC,BC90,F、G分别是AD、BC的中点,若BC18,AD8,求FG的长。
分析:
从B、C互余,考虑将它们变为直角三角形的角,故延长BA、CD,要求FG,需求PF、PG。
略解:
4.补成等边三角形补成等边三角形例4.图4,ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,使AEBD,连结CE、ED。
证明:
ECED分析:
要证明ECED,通常要证ECDEDC,但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD到F,使BFBE,连结EF。
略证:
图图34二二由由角平分线角平分线想到的辅助线想到的辅助线口诀口诀:
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:
a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
从角平分线上一点向两边作垂线;利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线与角有关的辅助线(一
(一)、截取构全等、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1,AOC=BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有OEDOFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例例11如图1-2,AB/CD,BE平分BCD,CE平分BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD。
分析分析:
此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。
简证简证:
在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例例22已知:
如图1-3,AB=2AC,BAD=CAD,DA=DB,求证DCAC分析分析:
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例例33已知:
如图1-4,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求证:
AB-AC=CD分析分析:
此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的,在长的线段上截?
图1-1?
O?
A?
B?
D?
E?
F?
C?
图1-2?
A?
D?
B?
C?
E?
F?
图1-3?
A?
B?
C?
D?
E?
图1-4?
A?
B?
C?
D?
E5取短的线段,来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢?
练习1已知在ABC中,AD平分BAC,B=2C,求证:
AB+BD=AC2已知:
在ABC中,CAB=2B,AE平分CAB交BC于E,AB=2AC,求证:
AE=2CE3已知:
在ABC中,ABAC,AD为BAC的平分线,M为AD上任一点。
求证:
BM-CMAB-AC4已知:
D是ABC的BAC的外角的平分线AD上的任一点,连接DB、DC。
求证:
BD+CDAB+AC。
(二
(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例例11如图2-1,已知ABAD,BAC=FAC,CD=BC。
求证:
ADC+B=180分析分析:
可由C向BAD的两边作垂线。
近而证ADC与B之和为平角。
例例22如图2-2,在ABC中,A=90,AB=AC,ABD=CBD。
求证:
BC=AB+AD分析分析:
过D作DEBC于E,则AD=DE=CE,则构造出全等三角形,从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题,从中利用了相当于截取的方法。
例例33已知如图2-3,ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证:
BAC的平分线也经过点P。
分析分析:
连接AP,证AP平分BAC即可,也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习:
练习:
1如图2-4AOP=BOP=15,PC/OA,PDOA,如果PC=4,则PD=()A4B3C2D12已知在ABC中,C=90,AD平分CAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3已知:
如图2-5,BAC=CAD,ABAD,CEAB,AE=21(AB+AD).求证:
D+B=180。
4.已知:
如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上的点,FAE=DAE。
求证:
AF=AD+CF。
5已知:
如图2-7,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AE平分CAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。
求证CF=BH。
?
图2-1?
A?
B?
C?
D?
E?
F?
图2-2?
A?
B?
C?
D?
E?
图2-3?
P?
A?
B?
C?
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D?
F?
图2-4?
B?
O?
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P?
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C?
图2-5?
A?
B?
D?
C?
E?
图2-6?
E?
A?
B?
C?
D?
F?
图2-7?
F?
D?
C?
B?
A?
E?
H6(三(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形:
作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。
例例11已知:
如图3-1,BAD=DAC,ABAC,CDAD于D,H是BC中点。
求证:
DH=21(AB-AC)分析分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例例22已知:
如图3-2,AB=AC,BAC=90,AD为ABC的平分线,CEBE.求证:
BD=2CE。
分析分析:
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
例例33已知:
如图3-3在ABC中,AD、AE分别BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
求证:
AM=ME。
分析分析:
由AD、AE是BAC内外角平分线,可得EAAF,从而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等。
练习练习:
11已知:
在ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是BAC的平分线,且CEAE于E,连接DE,求DE。
22已知BE、BF分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线,AFBF于F,AEBE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N,求证MN=21BC(四(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
?
图4-2?
图4-1?
C?
A?
B?
C?
B?
A?
F?
I?
E?
D?
H?
G例5如图,BCBA,BD平分ABC,且AD=CD,求证:
A+C=180。
BDCA?
图示3-1?
A?
B?
C?
D?
H?
E?
图3-2?
D?
A?
B?
E?
F?
C?
图3-3?
D?
B?
E?
F?
N?
A?
C?
M7例6如图,ABCD,AE、DE分别平分BAD各ADE,求证:
AD=AB+CD。
练习:
练习:
1.已知,如图,C=2A,AC=2BC。
求证:
ABC是直角三角形。
3已知CE、AD是ABC的角平分线,B=60,求证:
AC=AE+CD4已知:
如图在ABC中,A=90,AB=AC,BD是ABC的平分线,求证:
BC=AB+AD三三由由线段线段和差想到的辅助线和差想到的辅助线口诀:
口诀:
线段线段和差及和差及倍半,延长缩短可试验。
倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式线段和差不等式,移到同一三角去。
,移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
1、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;2、补短:
将一条短线段延长,延长部分等
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