N-S方程推导.pdf
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N-S方程推导.pdf
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写在前面的话本人非学流体出身,初时只略有涉猎,后因学习需要,勘此流体第一方程Navier-Stokes方程。
此于本专业或聪明毓秀之人,自不在话下,于我则艰涩难懂。
往往“显而易见”之处,我需思索多时,断断续续间,自接触至今,已近一年。
其间人事变动,岁月倥偬,总算可窥其门径。
此方程既是流体力学支柱,亦是门径之学。
欲登堂入室,此之一节,逾越不得。
当我不得要领之时,曾立誓,若得通,定当付之网络,知于似我等愚鲁而又欲知之者。
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目录引言.2一、N-S方程的最初形式.31、作用在单元体上的力.31.1质量力.31.2表面力.42、单元体的加速度和重量.5二、应力形式化简.61、切应力与应变的关系.62、法向应力与应变的关系.6三、不可压缩流体的N-S方程.8四、加速度项dudtr的处理.10【附录】关于哈密顿算子(DelOperator).11引言引言引言引言【理论依据理论依据理论依据理论依据】理论依据非常简单,牛顿第二定律。
F=ma
(1)有了受力,有了加速度,本方程基本形式就算完成。
余下的,就是对力、加速度等的处理、化简了。
【本文思路本文思路本文思路本文思路】本文首先根据牛顿第二定律,找到所研究的单元体受到的力。
即质量力和表面力。
(一)根据应力和应变的关系,将应力进行转化,因为实际应用时应力是很难获取的。
这就得到了可压缩流体N-S方程最一般的形式。
(二)结合连续性方程(即质量守恒方程),得到了不可压缩流体N-S方程的形式。
(三)对其加速度项进行化简,转化为一般的形式。
因为加速度有两个,当地加速度和位移加速度,只是用一个dudt表示会给特殊性试下的化简带来问题。
这样就得到了我们最常见的不可压缩流体的N-S方程(41)式。
(四)一一一一、NNNN-SSSS方程的最初形式方程的最初形式方程的最初形式方程的最初形式1、作用在单元体上的力xyzyzydy2yz+yxydy2yx+xyxdx2xy+xzxdx2xz+zyzdz2zy+zxzdz2zx+yyydy2yy+xxxdx2xx+zzzdz2zz+图1作用在单元体上的力作用力有两类,即质量力和表面力。
1111.1.1.1.1质量力质量力质量力质量力质量力是作用在每一个流体质点上,大小与流体的质量成正比。
工程流体力学中,会遇到两种质量力:
重力和惯性力。
惯性力是一个很特殊的称谓,原来中学教程中认为惯性力并不是力,但是实际上,在出现加速度的时候,惯性力的作用同普通力是完全一样的,只是惯性力会随着加速度的消失而消失。
如果认为惯性力是一种力,那么牛顿第二定律
(1)也可以认为是力的平衡。
式的右端就是惯性力,左端就是其他的常规力。
其实观察一下重力,G=mg,同惯性力的ma本质上是一致的,g本身就是重力加速度。
但在这个推导中,暂且不将惯性力视作常规力,而是按照一般的牛顿第二定律来推导。
虽然这样做本质上没有一点变化。
假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为,X,Y,Z。
图1流体单元体的质量为:
dxdydz。
则作用在流体单元体上的质量力在坐标轴的分量分别为:
Xdxdydz、Ydxdydz、Zdxdydz。
1.1.1.1.2222表面力表面力表面力表面力作用在隔离流体(也就是所取的研究流体单元)的表面,和作用的面积成正比的力。
分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切力。
表面力可以使作用于流体界面的压力、切力,也可以是一部分流体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。
单位作用面的压应力、切应力即为图1中的、(第一个下标表示作用面的法线方向,第二个下标表示力的方向)。
以x方向为例,流体单元受到的力:
xxx222222xxxxxxxxxyxyxyxyxzxzxzxzxdxdxGdydzxxdydydxdzyydzdzdxdyzz=+作用在方向的压力作用在方向的切力作用在方向的切力
(2)即:
yxxxzxxGdxdydzxyz=+(3)y,z方向同理可获得。
xyyyzyyGdxdydzxyz=+(4)yzxzzzzGdxdydzxyz=+(5)2、单元体的加速度和重量加速度和质量的乘积
(1)式右侧)在三个方向上的分量分别为:
xxdumadxdydzdt=(6)yydumadxdydzdt=(7)zzdumadxdydzdt=(8)将(3)(6)式带入
(1)式,x方向有:
yxxxzxxdudxdydzXdxdydzdxdydzxyzdt+=(9)即:
yxxxxzxduXdtxyz=+(10)同样:
yxyyyzyduYdtxyz=+(11)yzxzzzzduZdtxyz=+(12)二二二二、应力形式应力形式应力形式应力形式化简化简化简化简1、切应力与应变的关系yxxyyxuuyx=+(13)xzxzzxuuzx=+(14)yzyzzyuuzy=+(15)2、法向应力与应变的关系223xxxupux=+r?
(16)223yyyupuy=+r?
(17)223zzzupuz=+r?
(18)将(13)、(16)带入(10),()()22223223223xxxxxupuxxxupuxxxxupuxxx=+=+=+r?
r?
r?
(19)222yxyxyxyxuuyyyxuuyyyxuuyxy=+=+=+(20)222zxxzxzxzuuzzzxuuzzzxuuzxz=+=+=+(21)即:
()()222222222222222222222323yxxxxzxyxxxzyxxxxzduXdtxyzuuuuupuXxxxyxyzxzuuuuuupuXxxyzxxyxzxpx=+=+=+=+r?
r?
()()()()22232313yxzxxxuuuuuXxxyzxpuuuXxxxpuuXxx+=+=+r?
rr?
r?
(22)同理:
()213xxdupuuXdtxx=+r?
(23)()213yydupuuYdtyy=+r?
(24)()213zzdupuuZdtzz=+r?
(25)矢量形式:
()213dupuuFdt=+vvvuv?
(26)三三三三、不可压缩流体的不可压缩流体的不可压缩流体的不可压缩流体的NNNN-SSSS方程方程方程方程连续性方程的基本推导原理就是,单元体内流出、流入质量差等于该时间段内单元体内质量的变化。
原理是很简单的。
没有流入流出质量就不会变化,流入流出有了差值,说明单元体的质量变化了。
仍以x方向为例。
左侧质量流速(一般的流速是体积流速,m/s,为了推导质量的变化需要引入质量流速,质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截面的流体质量)为xu,质量流速是位置的函数,因此在右侧面流出的质量流速为()xxuudxx+。
时间段dt内流出、流入单元体的质量差为:
()()xxxxuuudxdydzdtudydzdtdxdydzdtxx+=(27)同理,该时间段dt内y方向,z方向的流出流入质量差为:
()yudxdydzdty(28)()zudxdydzdtz(29)因此,时间段dt内单元体六个面流出、流入的质量差为:
()()()()()()yyxzxzuuuuuudxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzxyz+=+(30)改时间段dt内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上,开始时间密度为,dt时间末密度为dtt。
质量的变化为:
dxdydzdtdxdydzdxdydzdttt+=(31)根据质量守恒,(30)式等于(31)式,即()()()yxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt+=(32)化简,()()()0yxzuuuxyzt+=(33)()0ut+=r?
(34)如果不可压缩流体,密度=constant,0t=,密度项可以提取出来,散度为:
0u=r?
(34)将(34)式带入(26)式,不可压缩流体的Navier-Stokes方程为:
2dupuFdt=+vvuv(35)四四四四、加速度项加速度项加速度项加速度项dudtr的处理的处理的处理的处理流动中,不仅不同位置的点具有不同的速度,就是在同一点,不同时刻速度也可能不同。
速度既是位置的函数也是时间的函数。
因此,加速度有两部分组成:
迁移加速度和当地加速度。
以x方向为例,加速度的表达式为:
(),xxxxxxduxyztuuuudxdydzadttxdtydtzdt=+(36)式中,单位时间内,x(或y,或z)方向的增量既是x方向的加速度,即:
xyzdxdydzuuudtdtdt=(37)带入(36)式,y方向,z方向同理,得到不同方向的加速度为:
xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz=+=+=+(38)矢量形式为:
()duuauudtt=+rrrrr?
(39,可见附录)将(39)式带入(26)式,可得最常见的Navier-Stokes方程形式:
()2uuupuFt+=+rrrvuv?
(40)或可写为:
()21upuFuut+=+rrrvuv?
(41)【附录附录附录附录】关于哈密顿算子关于哈密顿算子关于哈密顿算子关于哈密顿算子(DelOperatorDelOperatorDelOperatorDelOperator)ijkxyz=+(42)梯度pppgradppijkpijkxyzxyz=+=+(43)散度()yxzxyzuuudivuuijkuiujukxyzxyz=+=+rr?
(44)拉普拉斯算子2222222222222ijkijkxyzxyzxyzxyz=+=+=+(44)加速度的矢量形式:
()()xyzxyzuuuiujukijkuxyzuuuuxyz=+=+rrr?
r(45)X方向()xxxxxyzxxyzuuuuuuuuuuuuxyzxyz=+=+r?
(46)其他方向同理可得。
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