小学奥数学主要内容.docx
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小学奥数学主要内容
小学奥数学习的主要内容
1.和差倍问题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式适用范围
已知两个数的和,差,倍数关系
公式
①(和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
②(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
2.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3.归一问题的基本特点:
问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4.植树问题
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题
基本概念:
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:
确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰 年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平 年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9.平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
11.定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15.质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16.约数与倍数 约数和倍数: 若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如: 12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有: 1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法: 先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法: 先找公有的约数,然后相乘。 3、辗转相除法: 每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。 公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有: 12、24、36、48……; 18的倍数有: 18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有: 36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法: 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法 17.数的整除 一、基本概念和符号: 1、整除: 如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号: 整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”; 二、整除判断方法: 1.能被2、5整除: 末位上的数字能被2、5整除。 2.能被4、25整除: 末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3.能被8、125整除: 末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4.能被3、9整除: 各个数位上数字的和能被3、9整除。 5.能被7整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6.能被11整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7.能被13整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质: 1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18.余数及其应用 基本概念: 对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 19.余数、同余与周期 一、同余的定义: ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。 二、同余的性质: ①自身性: a≡a(mod m); ②对称性: 若a≡b(mod m),则b≡a(mod m); ③传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m); ④和差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡b×d(mod m); ⑥乘方性: 若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(mod m×c); 三、关于乘方的预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征: ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 五、费尔马小定理: 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 20.分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质: 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数: 表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: ①逆向思维方法: 从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法: 找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法: 在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法: 一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21.分数大小的比较 基本方法: ①通分分子法: 使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法: 使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法: 确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法: 当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法: 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 (具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法: 把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法: 用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法: 用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法: 利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法: 确定一个基准数,每一个数与基准数比较。 22.分数拆分 一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式: ①=+; ②=+(d为自然数); 23.完全平方数 完全平方数特征: 1.末位数字只能是: 0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2.除以3余0或余1;反之不成立。 3.除以4余0或余1;反之不成立。 4.约数个数为奇数;反之成立。 5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2 24.比和比例 比: 两个数相除又叫两个数的比。 比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。 比值: 比的前项除以后项的商,叫做比值。 比的性质: 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。 比例: 表示两个比相等的式子叫做比例。 a: b=c: d或 比例的性质: 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例: 若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。 反比例: 若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。 比例尺: 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配: 把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。 25.综合行程 基本概念: 行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 关键问题: 确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题: 速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题: 追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式) 流水问题: 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题: 关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题: 关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 主要方法: 画线段图法 基本题型: 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。 26.工程问题 基本公式: ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题: 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评: 合久必分,分久必合。 27.逻辑推理 基本方法简介: ①条件分析—假设法: 假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。 例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。 ②条件分析—列表法: 当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法: 当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。 例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 ④逻辑计算: 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理: 根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。 28.几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方法: 1.连辅助线方法 2.利用等底等高的两个三角形面积相等。 3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4.利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积) ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 29.立体图形 名称 图形特征 表面积 体积 长 方 体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh 正 方 体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3 圆 柱 体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S侧+2S底 S侧=Ch V=Sh 圆 锥 体 下底是圆;只有一个顶点;l: 母线,顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S侧+S底 S侧=rl V=Sh 球 体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3 30.时钟问题—快慢表问题 基本思路: 1、 按照行程问题中的思维方法解题; 2、 不同的表当成速度不同的运动物体; 3、 路程的单位是分格(表一周为60分格); 4、 时间是标准表所经过的时
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