九年级数学期中复习华东师大版知识精讲doc.docx
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九年级数学期中复习华东师大版
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
期中复习
教学内容:
主要是复习相似形,解直角三角形,函数的概念,二次根式化简,分式,一元二次方程,圆等章节内容。
知识与技能:
1.掌握相似三角形的识别与特征并会运用
2.解直角三角形的基本方法
3.掌握有关函数问题
4.掌握有关分式的意义和计算及分式方程的求解问题
5.会用不同方法求解一元二次方程掌握根的判别式,利用方程求解实际问题
6.掌握圆中有关概念,有关圆周角或圆心角的计算问题;还有切线的识别与判断及两圆位置关系的应用等
教学过程:
一.知识点回顾
1.相似三角形的识别方法:
两个角对应相等,两三角形相似
两边对应成比例,且夹角相等两三角形相似
三边对应成比例,两三角形相似
相似三角形的特征:
相似三角形的对边成比例,对应角相等
2.解直角三角形的有关知识
(1)锐角A的三角函数
,
,
(2)熟记的四种三角函数
(3)解直角三角形的依据()
(i)三边的关系
(ii)锐角间的关系
(iii)边角之间的关系,,,
(4)解实际问题的关系是寻求或构造直角三角形,常规辅助线是作垂线。
3.函数的有关知识
(1)平面直角坐标系中点的坐标特征及有关对称点的坐标
(2)一次函数:
(k,b为常数,)
当b=0时,一次函数就成为
直线中,k和b决定着直线的位置
(i)直线经过一、二、三象限
(ii)直线经过一、三、四象限
(iii)直线经过一、二、四象限
(iv)直线经过二、三、四象限
注意:
确定一次函数解析式和自变量取值范围是重点。
(3)反比例函数(k为常数,且)
4.分式的有关知识
(1)分式成立的条件是分母不为0
(2)有关整式的除法有同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以多项式。
(3)零指数幂
负指数幂(,p为正整数)
(4)掌握科学记数法以及分式的四则运算;通过化简求值(包括整体代入)会求分式的值
(5)分式方程注意要验根
5.一元二次方程的有关知识
(1)方程的基本解法:
直接开平方法;因式分解法;配方法;公式法,要求会用不同方法求解
(2)掌握根的意义,会将根代回方程检验,已知方程的根解决实际问题
(3)根的判别式:
对于一元二次方程根的判别式
当时,方程有两个不等实根
当时,方程有两个相等实根
当时,方程无实根
利用根的判别式会判断方程有无实根,会用判别式解决有关方程的问题
6.有关圆的知识
(1)掌握确定圆心的方法
利用垂径定理:
利用圆周角:
(2)圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等
(3)垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
(4)圆周角的性质
(i)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于(直角)
(ii)的圆周角所对的弦是圆的直径
(iii)在同一圆内,圆弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等
(5)三角形的外接圆,三角形的内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,三角形的外心是三角形任意两边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等;和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点,它到三角形各边的距离都相等。
(6)圆的切线的判定
(i)定义:
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
(ii)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
(iii)过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线
(7)切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径
(8)切线长:
(i)定义:
圆的切线上某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
(ii)切线长的性质:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
(9)和圆有关的位置关系
(i)点和圆的位置关系(点到圆心距离为d,半径为r)
点在圆内
点在圆上
点在圆外
(ii)直线和圆的位置关系(圆心到直线距离为d,半径为r)
直线和圆相交
直线和圆相切
直线和圆相离
(iii)圆和圆的位置关系(圆心距离为d,两圆半径为R,r,)
,两圆外离
,两圆外切
,两圆相交
,两圆内切
,两圆内含
【例题详解】
例1.已知,如图,O是直角坐标系的原点,四边形OABC是正方形,点B的坐标是(2,2),点D在OC边上,的面积是正方形OABC面积的,求:
(1)求直线AD的解析式
(2)点E在BC边上,如果A、B、E、D四点在同一个圆上,求点E的坐标
解析:
(1)
设D点坐标(0,a),则
,
,D(0,1)
设直线AD的解析式为,A(2,0)
则
AD的解析式为
(2)连结DE,若A、B、E、D四点在同一个圆上
则,即
得到
,
又
E点坐标为(,2)
例2.某船向正东航行,在A处望见岛C在北偏东方向,前进6海里到B处,望见岛C在北偏东方向,已知岛C周围4海里范围内有暗礁,如果此船不改变航向,有无触礁危险?
分析:
此船有无触礁危险就要看船行驶到距离岛C最近的位置即图中E处时,CE的长度是否在4海里范围内?
即比较CE与4海里的大小。
解:
过点C作于点E,由题意结合图形,可知
,,AB=6海里
由,得
则
所以海里
在中,由
得
所以此船不改变航向,无触礁危险。
例3.求下列函数自变量的取值范围
(1)
(2)
(3)
分析:
求函数自变量的取值范围,就是得到解析式有意义的自变量的范围。
解:
(1)由题意知,
自变量的取值范围是不大于的所有实数。
(2)由题意知
解得且
自变量x的取值范围是不等于和3的所有实数。
(3)分析解析式,得
且
附练习:
已知若用含有x的代数式表示y,则________,若用含有y的代数式表示x,则________
答案为:
;
例5.关于x的方程有一个根是,求关于y的方程的解
解:
由已知,是方程的解
则
解得
将代入方程中
则,解得,
例6.已知的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实根,第三边长为5
(1)k为何值时,是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,是等腰三角形,并求出的周长。
解:
(1)因为BC为斜边,所以
即
解得,
(舍去)
(2)若是等腰三角形,则有①AB=AC②AB=BC③AB=BC三种情况进行分类讨论
因为,所以,由①种情形不成立
所以当或时
解得,
当时,三边长为5,5,4,周长为14
当时,三边长为5,5,6,周长为16
当或时,为等腰三角形,周长为14或16。
例7.某校师生参加“保护母亲河–––黄河”的植树活动,已知1998年植树344棵,1999年植树500棵,此后两年植树的棵树比前一年植树的棵树都增长一个相同的百分数,若到2001年底一共植树1999棵,求这个相同的百分数。
分析:
本题属于平均增长率问题,设这个相同的百分数为x,用x的代数式表示出2000年,2001年这两年分别植树的棵树,即2000年植树棵,2001年植树棵,然后根据题中“到2001年底一共植树1999棵”这句话即能列出方程
解:
设这个相同的百分数为x,依题意得
整理,得
解这个方程得,
不合题意,应舍去
答:
这个相同的百分数是10%。
例8.若,求的值
分析:
此题没有给出x,y的具体数值,可以用含x的代数式表示y,然后将所求代数式化简后代入。
解:
,
将代入上式
则原式
例9.已知关于x的方程有正整数解,求m的取值范围。
分析:
首先求出x的值,由题意,再确定m的值,但要特别注意
解:
原方程有解
不能为增根,即,
又方程解为正数,即
当且时,原方程有一个正数解
例10.已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点是B,OC平行于弦AD,求证:
DC是⊙O的切线。
分析:
直线DC与⊙O有公共点D,连OD,证明即可
解:
连结OD,
AB是直径,BC是切线
,,且点D在⊙O上
DC是⊙O的切线
例11.已知,如图,内接于⊙O,过圆心O作BC的垂线交⊙O于点P、Q,交AB于点D,QP、CA的延长线交于点E
求证:
分析:
要证,只要证即可
解:
连结BO并延长交⊙O于F,连结AF
BF是直径,
,
又(同弧所对的圆周角相等)
又
即
例12.如图,BC为半圆O的直径,A、D为半圆O上两点,,,求的度数。
分析:
由直径找的圆周角
解:
连结AC
BC为⊙O直径,
在中,
由
得
又因为四边形ABCD内接于⊙O
所以
例13.在中,⊙O内切于D、E、F,若AB=12,BC=10,AC=8,求⊙O的半径及AD、BE、CF的长。
分析:
求⊙O的半径,可以借助于的面积,即
解:
如图,由的三边,先求BC边上的高AD
令,AB=12,BC=10,AC=8
在和中,由勾股定理
即
解得
令,则,
,
即AD=5,BE=7,CF=3
【模拟试题】
一.填空题
(1)一种细菌的半径是0.00004米,用科学记数法表示为
(2)已知点A(
,点B(0,1),分别以A、B为圆心,以5、3为半径做圆,则两圆的位置关系是
(3)若x-y=4xy,则
(4)已知如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠BOC=1400,则∠A=
(5)如图,△ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,若∠FDE=700,则∠A=
(6)如图,△ABC中,AO=AB,以O为圆心,OB为半径的圆交AB于点D,交AO于点E,AD=BO,则∠A=
二.计算
(1)
+Sin45°
(2)
三.解方程
(1)
(必须用配方法)
(2)
(3)
(必须用公式法)
(4)
四.如图,要把破残的圆片复制完整,已知弧上的三点A、B、C
(1)试用作图方法确定弧BAC所在的圆的圆心O
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=10cm,腰AB=6cm,求圆片的半径R
五.某商场今年一月份销售额100万元,二月份销售额下降10%,进入三月份该商场采取措施,使月销售额大幅上升,四月份的销售额达到129.6万元,求三、四月份平均每月销售额增长的百分率。
六.若关于x的方程
的两个实数根相等,求m的值
七.如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上的一点,ED⊥AB于H,交⊙O于点E交AC于点F,P为ED延长线上一点
(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切?
为什么?
(2)当点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2=DE•DF?
为什么?
八.阅读下面的材料:
对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,则称A被这个圆覆盖。
对于平面图形A,如果存在两个或以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心距离都不大于这个圆的半径,则称A被这些圆所覆盖
例如:
图中的三角形被一个圆覆盖,四边形被两个圆覆盖。
回答下列问题:
(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆覆盖,r的最小值是
(2)边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆覆盖,r的最小值是
(3)长为2cm,宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆覆盖,r的最小值是,这两个圆心的距离是
九.某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB),经测量,在A地的北偏东600方向,B地的西偏北450方向的C处有一半径为0.7km的公园,问:
计划修筑的这条公路会不会穿过公园?
为什么?
十.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,∠POC=∠PCE
(1)说明PC是⊙O的切线
(2)若OE:
EA=1:
2,PA=6,求⊙O的半径
(3)求sin∠PCA的值
【试题答案】
(一)填空题
(1)米
(2)内切
(3)
(4)110°
(5)40°
(6)36°
(二)计算
(1)
(2)
(三)解方程
(1)
(2)
(3)
(4)增根
(四)
(1)
(2)作OE⊥BC于点E
∵△ABC是等腰三角形,∴AE平分BC
∵∠AEC=90°,∴△AEC是直角三角形
由勾股定理
设OA为x,
(五)解:
设增长率为x
(舍去)
∴增长百分率为20%
(六)解:
∵方程两根相等
∴
(七)
(1)连结OC、CB,AB是直径,∵CO=BO
∠OCB=∠CBO,∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCF=∠OCB,∴∠PCO=90°
∵∠FHA=90°,∠CAB=∠CAB,
∴∠AFH=∠CBA=∠OCB
∵∠AFH=∠PFC,
∴∠PFC=∠OCB∠PFC=∠PCF
即△PCF为等腰三角形时,PC与⊙O相切,
(2)连结AE,∠D=∠D,若∠DAC=∠E
∴△ADF∽△ADE
∵∠DAC=∠E,∴
∴当D是中点时,
(八)
(1)
(2)(3)1
(九)解:
∵∠CAB=30°,∠CBA=45°
设CD为x
∴
(十)
(1)∵∠POC=∠PCE,∠P=∠P
∴△PCO∽△PEC,∵∠CEP=90°
∴∠OCP=90°,∴PC是⊙O的切线。
(2)∵∠O=∠O,∠OEC=∠OCP
∴△OCE∽△OPC,∴
设
∴
∴
∴OA=3
(3)∵∠1+∠2=90°
∠2=∠3
∴∠1+∠3=90°
∵∠4+∠3=90°
∴∠1=∠4
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