初等数论期末复习资料.docx
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初等数论期末复习资料
数论教案
§1整数的整除带余除法
1整数的整除
设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数.
如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?
a.例如2|4,4|-12,-5|15;2?
3,-3?
22.
在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负.
判断是否b|a?
当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.
如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?
a.
例1判断下列各题是否b|a?
(1)7|127?
(2)11|129?
(3)46|9529?
(4)29|5939?
整除的简单性质
(1)如果c|b,b|a,那么c|a;
(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.
(3)如果a1,a2,,an都是m的倍数,q1,q2,,qn是任意整数,那么
qaqaqa是m的倍数.
1122nn
(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。
例如:
2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6).2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6).
例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除.
练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.
2.带余除法
设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0?
r<b.
(1)
这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.
例如-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+1
5=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×12.
事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如
-5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.
求b除a的余数,也称为模运算(取余):
mod.可用计算器进行.
1
具体操作:
输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b?
a.
例3利用计算器求余数:
(1)7除127;
(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939
奇数、偶数及性质
能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数.
不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数.
偶数的形式为2n(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).
奇数、偶数的性质:
偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,
偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.
例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5
设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶.
例如3+5,3-5,6+3,6-3,
例4设a,b,n是任意3个整数,而且
222
abn,证明n是偶数.
例5设a是任一奇数,试证明8|
21
a.
例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.
证明对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是
2
a=9
2
q或
2
a=9
2
q±6q+1=3(3
2
q±2q)+1.
即
2
a≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.
练习设n是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数.
习题:
P3-4:
1t,2t.
§2公因数、最大公因数
3.最大公因数、辗转相除法
2
中小学里的公因数、最大公因数的概念:
几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数.
(1)几个数:
不能确定;
(2)因数、公因数:
都是正整数;最大公因数:
没有专门的符号.
定义设a1,a2,,an,d都是整数,d≠0,如果dai,i=1,2,,,n,称d是
aaa的公因数,a1,a2,,an的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为(a1,a2,,an).如果(a1,a2,,an)=1,则
1,2,,n
称a1,a2,,an互质。
例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.
在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法:
(1)观察法;
(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的;
(3)用短除法.
辗转相除法:
设a,b是正整数,而且有
abq1r1,0r1b;
br1q2r2,0r2r1;
r1r2q3r3,0r3r2;
,,,,(*)
r2r1qr,0rr1;
nnnnnn
r1rq1.
nnn
(a,b)rn
。
例2用辗转相除法求(123,78),
练习:
用辗转相除法求(66,54).
下面说明辗转相除法的正确性.先证明
性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c).
证明由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.
因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)?
(b,c);
反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)?
(a,b).
所以(a,b)=(b,c).
3
由(*)式知br1r2r1r0,而n
nn
是有限正整数,再由性质1得
(a,b)(b,r)(r,r)
112
=(rn2,rn1)(rn1,rn)(rn,0)rn
.
4.最大公因数的性质
最大公因数的几个性质:
性质2(am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据)
例3求(84,90),(120,36).
(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12.
性质3(a,b)=(|a|,|b|).
性质4(a,b,c)=((a,b),c).
例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).
例5设n是任意整数,证明
3n1
5n2
是既约分数.
证明设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1,
所以3n+1与5n+2互质.
作业1.利用辗转相除法求(84,90).2.求(120,36).
5.设n是整数,证明
3n1
7n2
是既约分数。
§3整除的进一步性质及最小公倍数
1.整除的进一步性质
推论1设a,b不全为零,那么有s,t∈Z使得as+bt=(a,b).
证明将(*)中每式中的余数解出得
rrrq
nn2n1n
rn1rn3rn2qn1,,,r2br1q2
r1abq1
再将
r1,r2,,r2,r1
nn
的表达式依次代入到rnrn2rn1qn
中就得au+bv=rn=(a,b)=d,u,v
∈Z.
例1用辗转相除法求(120,54),并求整数u,v使得
120u+54v=(120,54).
解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴(120,54)=6.
12=120-2×54,6=54-12×4=54-(120-2×54)×4
=120×(-4)+54×9.∴u=-4,v=9.
练习用辗转相除法求(84,45),并求整数u,v使得
84u+45v=(84,45).
设a,b都是正整数,问a,b的公因数与最大公因数有什么关系?
例2①求(12,18)及12与18的所有正的公因数;
通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系?
能否提出自己的猜想?
能否证明自己的猜想?
性质1设d是a,b的最大公因数,那么,a,b的任一公因数都是d的因数.
4
证明如果d=(a,b),由性质2有u,v∈Z使得au+bv=d.设s是a,b的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.
ab
性质2如果d=(a,b),则(,
dd
)=1.
性质3如果(a,c)=1,且c|ab,则c|b.
性质4如果(a,c)=1,则(ab,c)=(b,c).
性质5如果(a,b)=1,且a|c,b|c,则ab|c.例3证明三个连续整数的积一定可被6整除.
2最小公倍数
定义如果m是a1,a2,,an
中每一个数的倍数,则称m是整数
a1,a2,,an
的一个公倍数.a1,a2,,an的公倍中最小正整数称为a1,a2,,an
的最小公倍数.用
[a1,a2,,an
]来表示.
例如[2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.
定理3[a1,a2,,an]=[|a1|,|a2|,,,|an
|].
定理4设a,b是两个正整数,则
(i)a,b的任一公倍数是[a,b]的倍数;
ab
(ii)[a,b]=(a,b).而且若(a,b)=1,则[a,b]=ab.
证明(i)设m是a,b的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0?
r<[a,b]
因m,[a,b]都是a,b的公倍数,由r=m-t[a,b]知r也是a,b的公倍数,若0 a[a,b]ab (ii)记d=[a,b],则d是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及 db b[a,b] da 知d|a,d|b,即d是a,b的公因数. 设h是a,b的任一公因数,由 abba ab hhh 是a,b的公倍数及TH16知[a,b]| ab h, abd Z 即[a,b]hh,所以h|d, 5 ab (a,b)=d,从而(a,b)=[a,b]. 定理5设a1,a2,,an 都是正整数,令 [a,a]m,[m2,a3]m3,,,[mn1,an]mn 122 则[a1,a2,,an]mn . 定理19设a1,a2,,an 是n(? 2)个正整数,且两两互素,则 [a,a,,an]a1a2an 12 例2求[123,456,-789] 例3求正整数a,b,满足: a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144. abc 例14设a,b,c是正整数,则[a,b,c]=(,,) abbcca 作业: P14: 1. 6.求(84,45),并求整数u,v使得84u+45v=(84,45) . §4质数算术基本定理 2.质数 定义设整数a>1,如果a除了1和a外再无其它正因数,则称a为质数,也称为素数.否则,称a为合数. 2,3,5,7,11都是质数,4,6,8,9,10都是合数. 1-100内有素数25个,1-1000内有素数168个,1-10000内有素数1229,10万内有素数9592个,100万之内78498个. 定理1设整数a>1,则a除1外的最小正因数q是素数,而且当a是合数时,q? a. 证明假定q是合数,设q=bc,1 若a是合数,设a=qm,由q的最小性知a=qm? qq,即q? a. 6 素数判定定理设整数a>1,不超过a所有素数为p1,p2,,pk,如果pi ? a,i=1,,,k,则a为素数. 例1以下正整数哪个是素数? 哪个是合数? 231,89,103,169. 素数判别威尔逊定理: 设整数p>1,那么p是素数的充分必要条件是p|(p-1)! +1. 例2利用威尔逊定理判别3,5,7,11都是素数. 当p较大时,(p-1)! +1的数值非常大,在实际运用时不可行。 定理2设P是素数,a为任一整数,则或P|a,或(P,a)=1. 证明因(P,a)|P,P为素数,所以(P,a)=P,或(P,a)=1.即P|a,或(P,a)=1. 7.整数的唯一分解定理 定理3任何a>1的整数都有标准分解式: a= ppp(3) 12k 12k 这里p1,p2,,pk 为不同素数,整数0 i,i=1,,,k. 推论1若正整数a>1的标准分解式为a= ppp, 12k 12k 则a的正因数d为 d= ppp,0 12k 12k ii,i=1,,,k.而且a有不同的正因数(11)(12)(1k) 个. 推论2设a= ppp,b= 12k 12k ppp,0 12k i,i0,i=1,,,k. 12k 则 (1)(a,b)= ppp,[a,b]= 12k 12k ppp, 12k 12k 其中imin(i,i),imax(i,i),i=1,,,k. (2)a,b共有正公因数(11)(12)(1k)个; (3)a,b共有公因数2(11)(12)(1k)个. 例3求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数. 解因725760= 8 2×5×11×41,154200= 3 2×3× 2 5×257, 所以(725760,154200)= 3 2 ×5,[725760,154200]= 8 2×3× 2 5×11×41×257. 7 例4求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数: (1)123,78; (2)120,54. 练习: 求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数: (1)125,70; (2)140,56. 例8设p,q都是大于3的素数,证明24| 22 pq. 3质数的多少和质数的求法 定理4素数有无穷多个. 证明反证法,设质数只有k个: p1,p2,L,pk 令Mp1p2Lpk1, M>1,于是M有素数因数p.因pi? M,i=1,2,,,k,p|M,所以p≠pi,i= 1,2,,,k.这就是说,p1,p2,L,pk p是k+1个不同素数.这与假设矛盾. 1-n之间的所有素数怎样求出来? 12345678910 11121314151617181920 2122232425262728293031323334353637383940 41424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980 81828384858687888990919293949596979899100 按以下步骤进行: (1)删去1,剩下的后面的第一个数是2,2是素数; (2)删去2后面被2整除的数(从4开始),2后面剩下的第一个数3是素数; (3)删去3后面的被3整除的数(从9开始),3后面剩下的第一个数5是素数; (4)删去5后面的被5整除的数(从25开始),5后面剩下的第一个数7是素数; 现在表中剩下的就全为素数了: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. 对较小范围内的素数以上求法方便,对较大范围内的素数,需要编程求素数了. 现在运行程序,求较大范围内的素数.找两个同学来求. 作业: 1.判别1577是否为素数;2.P19: 5t; 8 8.求725760,154200的标准分解式,并求它们的最大公因数和最小公倍数,并求它们的所有公因数的个数。 §5函数[x],{x}及其应用 3.函数[x],{x}的定义 定义1设x是实数,以[x]表示不超过x的最大整数,称它为x的整数部分,又称{x}=x[x]为x的小数部分。 例1[3.5]=3,[-3.5]=-4,[-0.1]=-1,[0.1]=0,[]=3,[-]=-4. 性质设x与y是实数,则 (1)xy[x][y]; (2)若m是整数,[mx]=m[x]; (3)若0x<1,则[x]=0; a [] b a +b{} b . 设a=bqr,0r ar q bb a 故[] b ar =q,{} bb a [] b a +b{} b . a [] b 个。 a b a b 证明能被b整除的正整数是b,2b,3b,,因此,若数1,2,,a中能被b整除的整数有k个,则kba<(k+1)bk. 10150099 例2不超过101且是5的倍数的正整数有[]=20个,100-500的整数中7的倍数的正整数有[]-[]=71-14=57. 577 4.函数[x]的应用 设p是素数,n是整数,如果 k p │n, k1 p? n, 则称 k p 恰好整除n. 例3设p是素数,那么在1-n的整数中,恰好被 k p 整除的整数有多少个? 定理1在n! 的标准分解式中,质因数p的指数是 9 h=[ n p n ]+[2 p n ]+[3 p ]+, 证明在1,2,3,,,n中, ①恰被p整除的整数有[ n p n ]-[2 p ]个; n ②恰被p整除的整数有[2 p n ]-[3 p ]个; n ③恰被p整除的整数有[3 p n ]-[4 p ]个;,, n ④恰被p整除的整数有[r p n ]-[r1 p]个,,,于是 h=[ n p n ]-[2 p n ]+2([2 p n ]-[3 p n ])+3([3 p n ]-[4 p n ])+,+r([r p n ]-[r1 p])+,=[ n p n ]+[2 p n ]+[3 p ]+,. n 性质[r1 p n ]=[[r p ]/r].
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