《三角函数》高考真题理科大题总结及答案docx.docx
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《三角函数》大题总结
112015高考新课标2,理17】\ABC中,D是/?
C上的点,AD平分ZI3AC,
AA3D面积是AADC面积的2倍.
/TV*sinZB
(I)求一77;
sinZC
(II)若AD=1,DC=—9求和AC的长.
2
2.【2015江苏高考,15】在AABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°・
(1)求BC的长;
(2)求sin2C的值.
3.[2015高考福建,理19】已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到:
先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移与个单位长度.
(I)求函数f(Q的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(II)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2”)内有两个不同的解・
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
cos(a-/?
)=包-・1.
4.【2015高考浙江,理16]在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知A=—9b1-a1-—c1・
42
(1)求tanC的值;
(2)若AABC的面积为7,求〃的值.
5.[2015高考山东,理16】设/(x)=sinxcosx-cos2x+—・
(I)求/(x)的单调区间;
(II)在锐角AABC中,角A,B,C的对边分别为zb©若/f-ko,6/=l,
(2丿
求AABC面积的最大值.
6.[2015高考天津,理15】已知函数/(x)=sin2x-sin2x-—,xeRI6丿
(I)求/(x)最小正周期;
(ii)求念)在区间[上已上的最大值和最小值.
7.[2015高考安徽,理16]在口BC中,A=—,Afi=6,AC=3V2,fiD
4
在BC边上,AD=BD,求AD的长.
8.L2015高考重庆,理18】已知函数/(x)=sin—~xsinx--73cos2x\2丿
(1)求/(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论/⑴在1上的单调性.
63
9.[2015高考四川,理19】如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD
的四个内角.
(1)证明:
tan-=-^^;
2sinA
(2)若A+C=18(T,AB=6,BC=3,CD=4,AD=f求
ABCI)估
tan—+tan—+tan—+tan—旳彳宜・
2222
10.【2015高考湖北,理17]某同学用“五点法〃画函数
f(x)=Asin(a)x+(p)(69>0,|©|<彳)在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
cox+(p
0
兀
2
兀
3ji
~2
2兀
X
71
3
5兀
~6
Asin@x+0)
0
5
-5
0
(I)请将上表数据补充完整,壞爭年等題卡占护摩仪單,并直接写出函数.f(龙)的解
析式;
(II)将,y=fM图象上所有点向左平行移动0(&>0)个单位长度,得到y=gO)的图
象若)yg(x)图象的一个对称中心为(罟,0),求&的最小值.
11.[2015高考陕西,理17】(本小题满分12分)AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c・向量m=^a,y/3b)与zt=(cosA,sinB)平行.
(I)求A;
(II)若a=N,b=2求AABC的而积.
12.L2015咼考北乐,理15】已知函数/(a)=\/2sin—cos—-V2sin2—・
222
(I)求/(兀)的最小正周期;
(II)求/⑴在区间[-7T,0]±的最小值.
13.[2015高考广东,理16】在平面直角坐标系xoy中,已知向量
n=(sinx,cosx),
XG
(1)若加丄〃,求tanx的值;
⑵豺与“的夹角为彳,求’的值.
14.[2015高考湖南,理17】设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,6/=/?
tanA,月.B为钝角.
(1)证明:
-V;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
《三角函数》大题答案
1.【答案】(I)-;(11)1.
2
【解析】(I)S»BDAB-ADsinZBAD,jACADsinZCAD,因为
(II)因为Smbd:
Swc=BD:
DC,所以BDM・在\ABD和MDC中,由余弦定理
AB2=AD2+BD2-2AD•BDcosZADB,AC2=AO2+DC2-2AD•DCcosZADC.
AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(I)知AB=2AC,所以AC=1.
【解析】
试题分析:
(1)已知两辺及夹角求第三辺,应用余弦定理,可得BC的长,
(2)利用
(1)的结果,则由余弦定理先求出角C的余弦值,再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值,最后利用二倍角公式求出sin2C的值.
试题解析:
⑴由余弦定理知,BC:
=.AB:
+AC:
-2AB.AC-cosA=4+9-2x2x3xl=7,
所以BC=J7・
士工小宀毋心AB_BC詛、」、厂AB・A2sin60:
Q
(a)由正弦疋理知,~;—■—~~、所以sinC—sinA—-=——•
sinCsinABC7
因为ABcEC,所以C为锐角,则ceC=Jl-sii?
C=
3•【答案】(I)f(x)=2sinx,兀
二切+£(k?
Z).;(II)
(1)(->/5,V5);
(2)详见解析.
【解析】解法一:
⑴将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图像,再将y=2cosx的图像向右平移与个单位长度后得到y=2cos(x-^-)的图像,ttf(x)=2sinx,从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为
x=kp+乡(k?
Z).
(2)1)f(x)+g(x)=2sinx+cosx
=V5sin(x+/)(其中sin)
依题意,sin(xt/)二令在区间[0,2p)内有两个不同的解当且仅当1令1<1,故口的
取值范围是(-a/5,x/5).
2)因为°,b是方程V5sin(x+/-)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
所以sin(a+/)=
sin(b+j)=
当1£mV亦吋,6/+/?
=2(—-y・b=p・2(b土/);
当■、/mvl时,a+b=2(弓・j),o・b=3p・2(b+j);
272/77*
所以cos(d・b)=・cos2(b土/)=2sin2(/?
+/)-1=2(-^)2-1=1.
\J55
解法二:
⑴同解法一.
(2)1)同解法一.
2)因为a#是方程V5sin(x+/)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
当丁5<1时,”“2(号八即计=3P-(b+j);
所以cos(a+j)二.cos(/?
4y)
于是cos((?
-/?
)=cos[(6f+/)-(/?
+/)]=cos(
+/)cos(/?
+/)+sin(<7+j)sin(Z?
4y)
=-cos2(/?
47)+sin(tz-17)sin(/?
+j)=-[!
-
4.【答案】
(1)2;
(2)b=3・
试题分析:
(1)根据正弦定理可将条件中的辺之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(:
)根据条件首先求得厲门E的值,再结台正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.
试题解析:
⑴由b2-a2=—c2S.正弦定理得sin:
5-—=-sin2C,
rT3T
—cos25=sin*C,又由A=—,即S+C=—,得—cos25=sin1C=2sinCcosC,
44
解得tanC=2;
(2)由tanC=2,CwQ巧得sinC=土,cosC=王,
又TsinS=sin(-44-C)=sin(—4-C),sin5=,由正弦定理得c.=兰匚b,
4103
又*.*A=—,—bcsinA=3,bc=6a/2,故b=3・
42
AM
JTTT
5.【答案】(I)单调递增区间是—一+£込一+炽(keZ);
44I丿
(II)\AI3C
面积的最大值为2+产
【解析】
sin2x1-sin2x.1
=sin2x——
2
U111
(二)由广+;=siiiH—耳=0:
得sin.V=w
Jf厶厶
由题意知卫为锐角,所以cosA=^-
7
由余弦定理:
a2=b2-Ibc.cosA
可得:
1+击比=沪+
>Ibc
即:
比兰2+語:
当且仅当万=c时等号成立.因此-bcsmA<^—^-
24
所以UBC面积的最大值为土史
4
1—cos2x
—=——cos2xh——sin2xcos2x
2
71、
6丿
—sin2x--cos2x=-sm(2x~-
442
所以f(x)的最小正周期T=—=7T.
(II)因为/(兀)在区间卜上,・Z]上是减函数,在区间卜上是增函数,
3664
/WJ(-糾冷J吟2学所以/⑴在区间卜能]上的最大值为¥
最小值为斗
7.【答案】V10
【解析】如图,
设AABC的内角AB.C所对边的长分别是Cibc,由余弦定理得
a2=h2+c2-2bccosABAC=(3a/2)2+62-2x3>/2x6xcos——=18+36-(-36)=90,4
所以€/=3a/10.
在\ABD中,由正弦定理得""sin"==^_=価
sin(/r-2B)2sinBcosBcosB
8.【答案】
(1)最小正周期为p,最大值为色亍3;
(2)/(兀)在[彳,誇]上单调递增;/(X)
、兀2tt
在[型,竺]上单调递减.
123
【解析】
=—sin2x--(1+cos2x)=—sin2x-■>">">
因此TXT的最小正周期为;r,最大值为上竺.
⑹当[二兰]时,有0兰2工一二£不从而
633
当0<2.y--<-时•即- 32•612 TTTT、冗2/T 当一W2%——<71时,即—<%<——时,/(X)单调递减, 23123 JT\冗S772/T 综上可知,/(兀)在]上单调递增;/(Q在匚冬,丝]上单调递减. 9.【答案】 (1)详见解析: (2) (2)由A+C=18(),得C=18()-AD=180-B. 4ABCD I11 (1),有tun—Ftan—ftun—ftan— 2222 _1-cosA1-cosBl-cos(180-A)l-cos(180-B)sinAsinBsin(180-A)sin(180-B) 22 =1 sinAsinB 连结BD,在AABD中,WBD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA, 在ABCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosC, 所以AB2+AD2-2ABADcosA=BC2+CD? +2BC・CDcosA, 1H人AB2+AD2-BC2-CD262+52-32-423 贝9cosA===—, 2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)7 于是sinA=71-cos2A=^1-(|)2=彗®. 连结AC,同理可得 门AB2^BC2-AD2-CD262+32-52-421 -2(ABBC+AD・CD)2(6x3+5x4)"19? 于是sinB=Vl-cos2B=Jl-(—)2=. V1919 ABCD 所以tan—Ftan—Ftan—Ftan— 2222 22 =1 sinAsinB 142x19 -2a/102応 10.【答案】(I)/(x)=5sin(2x--): (II)Z 66 【解析】(I)根据表中已知数据,解得A=5,⑵=2,0=-兰.数据补全如下表: 6 cox^(p 0 71 2 兀 3兀 2兀 X 71 12 71 3 7兀 12 ~6 13—7T 12 Asin(ex+0) 0 5 0 -5 0 且断数表达式为/(X)=5sin(2x-—)・ TTTT (II)由(I)知/(x)=5sin(2x一一),得g(x)=5sin(2兀+20一一). 66 因为y=sinx的对称中心为(kit,0),keZ. 令2兀+24才刼,解得*号+誇",Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(―,0)成中心对称,令罗+誇一°=罟,解得0号扌,5由&>0可知,当—1时,&取得最小值自 【解析】 (I)因为mlIn,所以6/sinB・V3/? cosA=0, 由正弦定理,得sinAsinB-V3sinBcosA=0 又sinB^Q,从而tanA=V3, 7T 由于0<-•}<;? 所以A=— 3 解法一: 由余弦定理,得=b*+-IbccosA 而a=#b=2=A=£ 3 得7=4+c*—2c,冃卩c*—2c—3=0 1r{r 故AABC的面积为-besinA=土. 01 从而sinB VfT 7 解法二: 由正弦定理, 又由a>b,知A>B, /、 故sinC=sin(A+B)=sinB+— \3丿 12.【答案】 (1)2兀, (2) 2 【解析】 V2.V2V2 ——sin/cosx= 222 977 ⑴fd)的最小正周期为T=^=2^; 心)取得最小值为: -1-- 【解析】 (1)Vtn= 十案―⑵"等 77=(sinx,cosx)£Lm丄n, .(sinx,cosx)=^sinx-^ 71 4丿 cosx=sinx 71 4 /\ 7171 「市丿 sin (2)由 (1)依题知 71 cos—= 3 m・rt Z + 〔2丿 2丿 m-n /、 7T X 4丿 2 •Vsin2x4-cos2x 、 71 X 4丿 1 71 (\ 7171 sin x =一又X——G <4丿 2 4 <44丿 兀兀Ur15龙 x——=—B卩兀=— 4612 V29 M【答案】⑴详见解析;⑵(亍R. 【解析】试题分析: (1)利用正弦定理,将条件中的式子等价变形为sin5=sin(^+.4),再结合条件从而得证; (2)利用 (1)中的结论,以及三角恒等变形,将sin.4+sinC转化为只与只有关的表达式,再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析: (1)由Q=方tan卫及_正弦定理,得"门"=;=血",sin5=cgsA^即sinS=sin(—宁卫),cos.4bsin52 又P为钝角,因此—(―.7T)9故S=—+-*1,即5—-4=—;(-)由(丄)知,C=JT—(卫+8) TTTT7TTT 兀—(2A+—)=——2A>0,AAe(0,-),于是sinA+sinC=sinA+sin(——2A) 2242 .? 1? 971 —sinA+cos2A——2sin-A+sinA+1=-2(sinA—)~—,*•*OvAv—, 484 0 22488 V29 亍§
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