高考数学新增分大一轮新高考鲁京津琼专用讲义第九章 93 圆的方程.docx
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高考数学新增分大一轮新高考鲁京津琼专用讲义第九章93圆的方程
§9.3 圆的方程
最新考纲
回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准式
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心为(a,b)
半径为r
一般式
x2+y2+Dx+Ey+F=0
充要条件:
D2+E2-4F>0
圆心坐标:
半径r=
概念方法微思考
1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么?
提示
2.已知⊙C:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,则“E=F=0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件?
提示 由题意可知,⊙C与y轴相切于原点时,圆心坐标为,而D可以大于0,所以“E=F=0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的充分不必要条件.
3.如何确定圆的方程?
其步骤是怎样的?
提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.
(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.
4.点与圆的位置关系有几种?
如何判断?
提示 点和圆的位置关系有三种.
已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)
(1)点在圆上:
(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
(2)点在圆外:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
(3)点在圆内:
(x0-a)2+(y0-b)2 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( √ ) (3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.( × ) (4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.( √ ) (5)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × ) 题组二 教材改编 2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 解析 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r==,则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 3.以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=1 B.(x-3)2+(y-1)2=1 C.(x+3)2+(y-1)2=1 D.(x+3)2+(y+1)2=1 答案 A 4.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________. 答案 (x-2)2+y2=10 解析 设圆心坐标为C(a,0), ∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上, ∴|CA|=|CB|,即=, 解得a=2,∴圆心为C(2,0), 半径|CA|==, ∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 题组三 易错自纠 5.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是( ) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 B 解析 将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程得2+(y-1)2=-2. 由其表示圆可得-2>0,解得m<-2或m>2. 6.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是( ) A.-1 C.a>1或a<-1D.a=±4 答案 A 解析 ∵点(1,1)在圆内,
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