平行线的性质.docx
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平行线的性质.docx
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平行线的性质
教学主题
平行线的性质
教学目标
1、讲解关于相交线、平行线及相关角的易错点,加深学生对相关概念的理解;
2、提升学生运用规范的几何语言证明几何问题的能力;
3、提升学生运用所学几何知识解决实际问题的能力。
重点难点
重点:
相交(垂直)、平行的定义以及平行线的判定和性质
难点:
(1)正确熟练地运用垂直的性质、平行线的判定和性质灵活的解决实际问题;
(2)证明题中规范地使用几何语言,以及规范地作图(如过直线外一点作已知直线的平行线。
)
教学步骤:
步骤1:
复习相交线、平行线的定义,相关概念及平行线的判定方法;
步骤2:
讲解平行线性质的证明方法,并要求在刚接触几何的学习时,能够运用规范的几何语言解题,以及养成在中间结论后注明推论依据;
步骤3:
讲解典型的例题;
步骤4:
课堂练习;
步骤5:
课堂小结。
教学过程:
一、旧课复习
1、相交线
◆注意:
(1)邻补角、对顶角形成的前提条件是两条直线相交。
(2)邻补角是互补的一种特殊情形:
数量上互补,位置上有一条公共边。
互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角,一个角的邻补角有两个,但一个角的补角可以有很多个。
(3)同位角、内错角和同旁内角表示的是角的位置关系,而不是大小关系,也就是说,其大小是不确定的;同位角、内错角和同旁内角都是成对出现的,没有公共顶点,但有一条公共边;两条直线被第三条直线截成的8个角中,共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角。
(如何理解?
在黑板上画出简单图形,帮助学生理解,并要求学生在下方空白处做好笔记。
)
2、平行线
◆注意:
(1)平行线的定义有三个特征:
①在同一平面内;②两条直线;③不相交。
三者缺一不可。
(2)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:
相交和平行。
重合的直线只视为一条直线,不属于相交,也不属于平行。
(3)利用直尺和三角尺画过直线外一点的已知直线的平行线,是几何画图的基本技能之一。
(4)在利用判定方法判定两直线平行时,要准确识别截线和被截线。
(如何理解?
在黑板上画出简单图形,帮助学生理解,并要求学生在下方空白处做好笔记。
)
二、新课引入
我们在学习新课时,教材给出了我们这样的实际操作问题,如下图所示:
在上述实际操作问题中,已知两条平行直线(直线a与直线b)被第三条直线(直线c)所截,产生了同位角、内错角、同旁内角,要求我们用量角器度量∠1、∠2、…、∠8的大小,并做比较。
结果发现,同位角相等(∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8),实际上内错角也相等、同旁内角互补。
◆新问题:
将“两直线平行,同位角相等”作为已知条件,能否证明以下两个问题:
(1)两直线平行,内错角相等;
(2)两直线平行,同旁内角互补?
(1)证明:
两直线平行,内错角相等。
问题转化:
如下图所示,已知直线a与直线b平行,直线c与直线a、直线b相交,求证:
∠1=∠2。
证明:
如图,设∠1的对顶角为∠3,则
∠1=∠3(对顶角相等)
又因为,a//b
所以,∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)
∠1=∠3
∠1=∠2(等量代换)
∠2=∠3
(2)证明:
两直线平行,同旁内角互补。
问题转化:
如下图所示,已知直线a与直线b平行,直线c与直线a、直线b相交,求证:
∠1与∠2互补。
证明:
如图,设∠1的邻补角为∠3,则
∠1+∠3=
(邻补角互补)
又因为,a//b
所以,∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∠1+∠3=
∠1+∠2=
(等量代换),即∠1与∠2互补
∠3=∠2
三、例题讲解
例题1如图1所示,直线AB,CD交于点O,∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,∠AOC=30°,试求∠EOF的度数。
解:
因为直线AB,CD交于点O,
所以∠BOD与∠AOC为对顶角,
所以∠BOD=∠AOC=30°,
又因为∠BOD=∠DOE,
图1
所以∠BOE=∠BOD+∠DOE=2∠BOD=60°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-60°=120°,
又因为OF平分∠AOE,所以∠EOF=
.
(在此,强调“因为”和“所以”可分别用符号
和
表示,从而在以后的解题过程中节省时间。
)
例题2如图2所示,将长方形纸片折叠,使A点落在A’处,BC为折痕,BD是∠A’BE的平分线,试求∠CBD的度数。
解:
A点折叠后落在A’处,
∠ABC=∠A’BC,
又BD是∠A’BE的平分线,
∠A’BD=∠EBD,
图2
A、B、E三点在同一条直线上,
∠ABE=180°
∠CBD=∠A’BC+∠A’BD=
(∠ABA’+∠EBA’)=
∠ABE=90°
即∠CBD的度数是90°。
【该题的深入思考:
使A点落在A’处的折叠方法有几种,使用不同的折叠方法,∠CBD的度数是否也会不同?
】
例题3如图3所示,∠A=120°,∠B=60°,∠EFC=∠DCG,试说明:
AD//EF.
解:
∵∠A=120°,∠B=60°(已知),
∴∠A+∠B=120°+60°=180°,
∴AD//BC(同旁内角互补,两直线平行)
图3
又∵∠EFC=∠DCG(已知)
∴EF//BC(内错角相等,两直线平行)
∴AD//EF(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
)
例题4已知,如图4所示,CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°,试说明:
DA⊥AB。
解:
∵CE平分∠BCD,DE平分∠CDA(已知),
∴∠BCD=2∠2,∠CDA=2∠1(角平分线的定义),
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠BCD+∠CDA=2∠2+2∠1=180°(等量代换),
∴AD//BC(同旁内角互补,两直线平行)
图4
又∵CB⊥AB,即∠B=90°(已知)
∴∠A=∠B=90°(两直线平行,同旁内角互补),
∴DA⊥AB(垂直的定义)
四、课堂练习
1、如图5所示,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于()
A35°B70°C110°D145°
图5
2、已知∠1与∠x互余,∠x与∠3是邻补角,如果∠1=63°,那么∠3=。
3、如图6所示,PO⊥OR,垂足为O,OQ⊥PR,垂足为Q,且PO=4cm,RO=3cm,PR=5cm,OQ=2.4cm,PQ=3.2cm,则点O到直线PR的距离是cm;点P到直线OQ的距离是
cm;点R到直线的距离是3cm。
图6
4、
与
是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,如果在这个平面内再画第3条直线
,那么这3条直线最多可有个交点;如果在这个平面内再画第4条直线
,那么这4条直线最多可有个交点。
由此可以猜想:
在同一平面,6条直线最多可有个交点,n(n为大于1的整数)条直线最多可有个交点(用含n的代数式表示)。
5、判断正误:
(1)在同一平面内两条直线不相交就平行,平行就不相交。
()
(2)在同一平面内,两条线段不相交,则平行。
()
(3)在同一平面内,两条直线的位置关系有三种:
相交、垂直、平行。
()
6、下列说法中正确地有()
①一条直线的平行线只有一条;
②因为a//b,c//d所以a//d;
③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
A0个B1个C2个D3个
7、如图7所示,直线a//b,点A,B在直线b上,点C,D在直线a上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则()
AS1>S2BS1=S2
CS1 图7 8、一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍沿原来的方向平行行驶,那么两次拐弯的角度可能是() A先向左转130度,再向左转50°B先向左转50°,再向右转50° C先向左转50°,再向右转40°D先向左转50°,再向左转40° 9、如图8所示,AB//CD,AE交CD于C点,DE⊥AE于E点,若∠A=40°,求∠D的度数。 图8 10、如图9所示,已知BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,DE过点O且与BC平行。 (1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠BOC的度数; (2)若∠A=60°,求∠BOC的度数; (3)由 (1) (2)两题,你能得到什么结论? 图9 五、课堂小结 我们这节课主要复习了相交线、平行线的定义,以及相关概念(邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角)与平行公理及其推论、两直线平行的判定方法,还学习了如何证明平行线的性质。 在此基础上,以强化基本概念、基本原理与方法、基本技能的理解与运用为目的,通过例题讲解、课堂练习来巩固学生课堂知识的理解,提升学生运用所学知识解决问题的能力。 教学效果/ 课后反思 学生自评 针对本堂收获和自我表现(对应指数上打√) ①②③④⑤⑥⑦⑧ 学生/家长 签名 注释: 教学过程为具体教学内容及步骤安排,电子版的存电子档,如是手写或复印的需用档案袋存档,教务处随机抽检)。
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- 平行线 性质