高三数学二轮复习151空间几何体的三视图表面积及体积课时巩固过关练理新人教版.docx
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高三数学二轮复习151空间几何体的三视图表面积及体积课时巩固过关练理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习1.5.1空间几何体的三视图表面积及体积课时巩固过关练理新人教版
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(xx·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )
【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.
【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.
2.(xx·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.
3.(xx·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 ( )
A.20πB.C.5πD.
【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,
所以球半径为R===,
所以该球的体积V=πR3=×·π=.
【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 ( )
A.B.2C.D.3
【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.(xx·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:
m),则该四棱锥的体积为________m3.
【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=×2×1×3=2.
答案:
2
5.(xx·大连一模)如图,在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图,则该多面体的外接球表面积为________.
【解题导引】由三视图知,该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,画出直观图,再建立空间直角坐标系,求出三棱锥外接球的球心与半径,从而求出外接球的表面积.
【解析】由三视图知,该几何体是三棱锥S-ABC,且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直,
其直观图如图所示:
由三视图的数据可得OA=OC=2,OB=OS=4.
建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示:
则A(0,-2,0),B(4,0,0),C(0,2,0),S(0,0,4),
则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上,设I(x,0,z);
由得,
解得x=z=;
所以外接球的半径R=|BI|==.
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π.
答案:
34π
三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.(xx·南阳一模)如图,AA1,BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是AA1,CB1的中点,DE⊥平面CBB1.
(1)证明:
DE∥平面ABC.
(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.
【解析】
(1)连接EO,OA,
因为E,O分别为B1C,BC的中点,
所以EO∥BB1.
又DA∥BB1,且DA=BB1=EO,
所以四边形AOED是平行四边形,
即DE∥OA.
又DE⊄平面ABC,AO⊂平面ABC,
所以DE∥平面ABC.
(2)由题意知DE⊥平面CBB1,且由
(1)知DE∥AO,
因为AO⊥平面CBB1,所以AO⊥BC,所以AC=AB.
因为BC是底面圆O的直径,
所以CA⊥AB,且AA1⊥CA,
又AB∩AA1=A,所以CA⊥平面AA1B1B,
即CA为四棱锥C-ABB1A1的高.
设圆柱的高为h,底面圆半径为r,
则=πr2h,=h(r)·(r)=hr2.
所以∶=.
7.(xx·南宁一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC.
(1)求证:
AC⊥A1B.
(2)求三棱锥C1-ABA1的体积.
【解题导引】
(1)转化为证明直线AC垂直于直线A1B所在的平面即可.
(2)由=,转化为求,关键求点B到平面AA1C1的距离.
【解析】
(1)取AC的中点O,连接A1O,BO.
因为AA1=A1C,所以A1O⊥AC,
又AB=BC,所以BO⊥AC,
因为A1O∩BO=O,所以AC⊥平面A1OB,
又因为A1B⊂平面A1OB,
所以AC⊥A1B.
(2)三棱柱ABC-A1B1C1中,
所以侧面AA1C1C⊥底面ABC,
侧面AA1C1C∩底面ABC=AC,OB⊥AC,
所以OB⊥平面AA1C1C,
易求得OB=1,=,
所以==··OB=.
(20分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最短和最长的棱长分别等于 ( )
A.4,B.4,
C.3,5D.3,2
【解析】选C.由三视图可判断该几何体为三棱锥,形状如图,其中SC⊥平面ABC,AC⊥AB,所以最短的棱长为AC=3,最长的棱长为SB=5.
2.如图是某几何体的三视图,正(主)视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧(左)视图是直角梯形,则该几何体的体积等于
( )
A.12πB.16π
C.20πD.24π
【解析】选A.由三视图知:
r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,
所以V=
×-π×12×4
=×21π-2π=12π.
【加固训练】某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3,则侧(左)视图中线段的长度x的值是 ( )
A.B.2C.4D.5
【解析】选C.分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD,故其体积V=××4×CP=3,
所以CP=,所以x==4.
3.如图1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,动点M,N,Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积等于( )
A.a2B.a2C.a2D.a2
【解析】选B.由俯视图知,点M为AD1的中点、N与C重合、Q与D1重合,所以三棱锥Q-BMN的正(主)视图为△CD1P,其中点P为DD1的中点,所以三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积为×a×=a2.
【加固训练】如图,三棱锥V-ABC,VA⊥VC,AB⊥BC,∠VAC=∠ACB=30°,若侧面VAC⊥底面ABC,则其正(主)视图与侧(左)视图面积之比为( )
A.4∶ B.4∶
C.∶D.∶
【解题导引】正(主)视图为Rt△VAC,侧(左)视图为以△VAC中AC边的高为一条直角边,△ABC中AC边的高为另一条直角边的直角三角形.
【解析】选A.过V作VD⊥AC于点D,过B作BE⊥AC于点E,则正(主)视图为Rt△VAC,侧(左)视图为以△VAC中AC边的高VD为一条直角边,△ABC中AC边的高BE为另一条直角边的直角三角形.
设AC=x,则VA=x,VC=x,VD=x,BE=x,
则S正(主)视图:
S侧(左)视图=∶(·x·x)=4∶.
【误区警示】解答本题易出现如下两种错误:
一是对正(主)视图、侧(左)视图的形状判断不准确,造成结论错误;二是运算错误,造成结论错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.如图,半径为4的球O中有一内接圆柱,则圆柱的侧面积最大值是________.
【解题导引】设出圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α,求出圆柱的侧面积表达式,求出最大值.
【解析】设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α,则r=4cosα,圆柱的高为8sinα.
所以圆柱的侧面积为:
32πsin2α.
当且仅当α=时,sin2α=1,圆柱的侧面积最大,
所以圆柱的侧面积的最大值为:
32π.
答案:
32π
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则点E到平面PBC的距离为________.
【解题导引】利用VP-BCE=VE-PBC求.
【解析】由于四边形ABCD是菱形,
所以以EB为底边的△CBE的高h=AD·sin60°
=2×=,
从而四面体P-BCE的体积
VP-BCE=VE-PBC=××1××2=,
AC=
=2.
在Rt△PAB中PB==2,
在Rt△PAC中PC===4,
cos∠PBC==-,
所以sin∠PBC==.
S△PBC=PB·BC·sin∠PBC=×2×2×=.
设点E到平面PBC的距离为d,则有S△PBC·d=,
所以d===.
答案:
三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.如果一个几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是全等的长方形,边长分别是4cm与2cm如图所示,俯视图是一个边长为4cm的正方形.
(1)求该几何体的全面积.
(2)求该几何体的外接球的体积.
【解析】
(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4,高是2,因此该几何体的全面积是:
2×4×4+4×4×2=64(cm2).
(2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,记长方体的体对角线为d,球的半径为r,
d===6(cm),
所以球的半径r=3cm,
因此球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3).
所以外接球的体积是36πcm3.
7.如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1,点M在线段EC上.
(1)证明:
平面BDM⊥平面ADEF.
(2)判断点M的位置,使得三棱锥B-CDM的体积为.
【解题导引】证明BD⊥平面ADEF,即可证明平面BDM⊥平面ADEF.
(2)在平面DMC内,过M作MN⊥DC,垂足为N,则MN∥ED,利用三棱锥的体积计算公式求出MN,可得结论.
【解析】
(1)因为DC=BC=1,DC⊥BC,
所以BD=.
因为AD=,AB=2,
所以AD2+BD2=AB2,
所以∠ADB=90°,
所以AD⊥BD,
因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD.
BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面ADEF,
因为BD⊂平面BDM,
所以平面BDM⊥平面ADEF.
(2)如图,在平面DMC内,过M作MN⊥DC,垂足为N,
又因为ED⊥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,
平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥CD,
所以MN∥ED,
因为ED⊥平面ABCD,
所以MN⊥平面ABCD.
因为VB-CDM=VM-CDB=MN·S△BDC=,
所以××1×1×MN=,
所以MN=.
所以===,
所以CM=CE,
所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.
2019-2020年高三数学二轮复习1.5.2点直线平面之间的位置关系课时巩固过关练理新人教版
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(xx·资阳三模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列叙述正确的是( )
A.若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n
B.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n
C.若m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,m⊥n,则α∥β
D.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β
【解析】选C.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,
(1)令平面ABCD为平面α,平面A′B′C′D′为平面β,A′B′为直线m,BC为直线n,
显然α∥β,m∥α,n∥β,但m与n不平行.故A错误.
(2)令平面ABCD为平面α,平面ABB′A′为平面β,直线BB′为直线m,直线CC′为直线n,
显然α⊥β,m⊥α,n∥β,m∥n.故B错误.
(3)令平面ABCD为平面α,平面A′B′C′D′为平面β,直线BB′为直线m,直线B′C′为直线n,
显然m⊥α,n⊂β,m⊥n,但α∥β.故D错误.
2.(xx·石家庄二模)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选B.①若n∥α,则α内的直线m可能与n平行,也可能与n异面,故①错误;
②若α∥β,β∥γ,则α∥γ,若m⊥α,则m⊥γ,故②正确;
③若m⊂α,显然结论错误;
④以直三棱柱为例,棱柱的任意两个侧面都与底面垂直,但侧面不平行,故④错误.
3.(xx·南昌二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直B.相交但不垂直
C.异面且垂直D.异面但不垂直
【解题导引】对于原图:
由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,可得AD⊥BC.在四面体ABCD中,由于AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D,利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD,进而得到AD⊥BC.利用异面直线的定义即可判断:
AD与BC是异面直线.
【解析】选C.在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面且垂直.
对于原图:
因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线,
所以AD⊥BC.
在四面体ABCD中,
因为AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D,
所以AD⊥平面BCD.
所以AD⊥BC.
又AD与BC是异面直线,
综上可知,在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是异面且垂直.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD互相垂直,AC,BD的长分别为8和2,则平行于四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,面积的最大值是__________.
【解析】如图,由题意知,EFGH为平行四边形,
设EH=x(0 由EH∥BD,可得==,==, 两式相加,得: =1=+, 化简,得8=4x+y, 可得: 8=4x+y≥2,(当且仅当2x=y时等号成立),解得: xy≤4, 解得: S=xy≤4. 答案: 4 5.(xx·湛江二模)设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若x⊥z,y⊥z,则x∥y”为真命题的序号是________. ①x为直线,y,z为平面; ②x,y,z都为平面; ③x,y为直线,z为平面; ④x,y,z都为直线; ⑤x,y为平面,z为直线. 【解析】①x⊥平面z,平面y⊥平面z, 所以x∥平面y或x⊂平面y. 又因为x⊄平面y,故x∥平面y,①成立; ②x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立; ③x⊥平面z,y⊥平面z,x,y为不同直线,故x∥y,③成立; ④x,y,z均为直线,则x与y可平行,可异面,也可相交,故④不成立; ⑤z⊥x,z⊥y,z为直线,x,y为平面,所以x∥y,⑤成立. 答案: ①③⑤ 【加固训练】(xx·兰州二模)α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件: ①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF. 其中能成为增加条件的序号是________. 【解析】①因为AC⊥β,且EF⊂β,所以AC⊥EF. 又AB⊥α且EF⊂α,所以EF⊥AB. 因为AC∩AB=A,AC⊂平面ACBD,AB⊂平面ACBD, 所以EF⊥平面ACBD. 因为BD⊂平面ACBD,所以BD⊥EF. 所以①可以成为增加的条件. ②AC与α,β所成的角相等,AC与EF位置关系不确定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF与平面ACDB不一定垂直,所以就推不出EF与BD垂直. 所以②不可以成为增加的条件. ③AC与CD在β内的射影在同一条直线上, 因为CD⊥α且EF⊂α,所以EF⊥CD. 所以EF与CD在β内的射影垂直, 若AC与CD在β内的射影在同一条直线上. 所以EF⊥AC, 因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACBD,CD⊂平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD, 因为BD⊂平面ACBD,所以BD⊥EF. 所以③可以成为增加的条件. ④若AC∥EF,则AC∥平面α,所以BD∥AC,所以BD∥EF,所以④不可以成为增加的条件. 答案: ①③ 三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.(xx·安庆二模)如图,在圆柱O-O1中,AB为下底面圆O的直径,CD为上底面圆O1的直径,AB∥CD,点E,F在圆O上,且AB∥EF,且AB=2,AD=1. (1)求证: 平面ADF⊥平面CBF. (2)若DF与底面所成角为,求几何体EF-ABCD的体积. 【解析】 (1)由已知,AF⊥BF,AD⊥BF,且AF∩AD=A,故BF⊥平面ADF,又因为BF⊂平面CBF, 所以平面ADF⊥平面CBF. (2)因为AD垂直于底面,若DF与底面所成角为,则∠AFD=,故AF=1, 则四棱锥F-ABCD的高为, 又S四边形ABCD=2,VF-ABCD=××2=, 三棱锥C-BEF的高为1,而△BEF中,BE=BF=1,∠BEF=120°, 所以S△BEF=, 则VC-BEF=×1×=, 所以几何体EF-ABCD的体积为VF-ABCD+VC-BEF=+=. 7.(xx·吉林二模)如图 (1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图 (2). (1)求证: DE∥平面A1CB. (2)求证: A1F⊥BE. (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ? 请说明理由. 【解析】 (1)因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC, 又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB. (2)由题图 (1)得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD,又A1D∩CD=D. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE, 又BE⊂平面BCDE,所以A1F⊥BE. (3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,DP,QE,则PQ∥BC. 又因为DE∥BC,所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由 (2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. (30分钟 55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动,每走完一条面对角线称为“走完一段”.质点的运动规则如下: 运动第i段与第i+2段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是( ) A.3B.4C.5D.6 【解析】选B.不妨设质点运动路线为AB1→B1C→CD1→D1A,即走过4段后又回到起点A.可以看作以4为周期,所以段数是4. 【加固训练】下列关于空间的直线和平面的叙述,正确的是( ) A.平行于同一平面的两直线平行 B.垂直于同一平面的两平面平行 C.如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面,那么这两个平面平行 D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直 【解析】选C.对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误. 对于B,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,如直三棱柱的两个侧面都与底面垂直,故B错误. 对于C,设a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,a⊥b,过空间一点P分别作a,b的平行线m,n,则m∩n=P. 设m,n所确定的平面为γ,过P作平面γ的垂线l, 则l⊥m,l⊥n. 因为a∥α,b∥α,所以存在直线a′⊂α,b′⊂α, 使得a∥a′,b∥b′,且a′与b′为相交直线. 所以l⊥a′,l⊥b′,所以l⊥α, 同理l⊥β,所以α∥β.故C正确. 对于D,在长方体ABCD-EFGH中,AB⊂平面ABCD,FG⊂平面EFGH,AB⊥FG,显然平面ABCD∥平面EFGH,故D错误. 2.已知α,β为两个平面,l为直线,若α⊥β,α∩β=l,则( ) A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直 【解析】选D.由α⊥β,α∩β=l,知: 垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A不正确; 垂直于直线l的直线若在平面β内,则一定垂直于平面α,否则不一定,故B不正确; 垂直于平面β的平面与l的关系有l在平面内或l与平面平行或相交,故C不正确; 由平面垂直的判定定理知: 垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直,故D正确. 【加固训练】已知异面直线a与b所成角为锐角,下列结论不正确的是( ) A.不存在一个平面α使得a⊂α,b⊂α B.存在一个平面α使得a∥α,b∥α C.不存在一个平面α使得a⊥α,b⊥α D.存在一个平面α使得a∥α,b⊥α 【解析】选D.在A中,因为异面直线a与b,所以不存在一个平面α使得a⊂α,b⊂α,故A正确; 在B中,在空间中找一点A,A∉a且A∉b,过点A分别作直线a与b的平行线 a′,b′, 则a′,b′确定一个平面α使得a∥α,b∥α,故B正确; 在C中,若存在一个平面α使得a⊥α,b⊥α,则由直线与平面垂直的性质得a∥b, 这与已知异面直线a与b相矛盾,故不存在一个平面α使得a⊥α,b⊥α,故C正确; 在D中,若存在一个平面α使得a∥α,b⊥α,则a⊥b,这与已知异面直线a与b所成角为锐角矛盾,故D错误. 3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出了下列命题: ①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β; ②若m⊥n,m⊥α,则n∥α; ③若m∥α,α⊥β,则m⊥β; ④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α,n∥β. 正确的命题有( ) A.②④B.①②④C.①④D.①③ 【解析】选C.由α,β是两个不同的平面,m,
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