届一轮复习北师大版 13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 学案.docx
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届一轮复习北师大版 13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 学案.docx
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届一轮复习北师大版13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案
1.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.
2.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
3.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
(2)p或q的否定:
非p且非q;p且q的否定:
非p或非q.
4.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.
(2)简单复合命题的真值表:
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p且q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p或q是真命题.( √ )
(4)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( × )
(5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ )
(6)存在x0∈M,p(x0)与任意x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ )
1.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图像关于直线x=
对称,则下列判断正确的是( )
A.p为真B.綈q为假
C.p且q为假D.p或q为真
答案 C
解析 函数y=sin2x的最小正周期为
=π,故命题p为假命题;x=
不是y=cosx的对称轴,命题q为假命题,故p且q为假.故选C.
2.命题p:
任意x∈R,sinx<1;命题q:
存在x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( )
A.p且qB.綈p且q
C.p或綈qD.綈p且綈q
答案 B
解析 ∵p是假命题,q是真命题,
∴綈p且q是真命题.
3.(2015·浙江)命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n
B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n
C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0
D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0
答案 D
解析 写全称命题的否定时,要把量词,任意改为存在,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.故选D.
4.(2015·山东)若“任意x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,∴ymax=tan
=1.依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
5.(教材改编)给出下列命题:
①任意x∈N,x3>x2;
②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
③存在x0∈R,x
-x0+1≤0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p1:
y=ln[(1-x)·(1+x)]为偶函数;命题p2:
y=ln
为奇函数,则下列命题是假命题的是( )
A.p1且p2B.p1或(綈p2)
C.p1或p2D.p1且(綈p2)
(2)已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(綈q);④(綈p)或q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案
(1)D
(2)C
解析
(1)对于命题p1:
令f(x)=y=ln[(1-x)(1+x)],由(1-x)(1+x)>0得-1 对于命题p2: 令g(x)=y=ln ,易知g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,g(-x)=ln =-g(x),∴g(x)为奇函数,命题p2为真命题,故p1或(綈p2)为假命题. (2)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题. 当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题. 由真值表知: ①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(綈q)为真命题;④(綈p)或q为假命题.故选C. 思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假; (3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假. (1)已知命题p: 对任意x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p且qB.(綈p)且(綈q) C.(綈p)且qD.p且(綈q) (2)若命题p: 关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x>- },命题q: 关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a 答案 (1)D (2)綈p、綈q 解析 (1)p为真命题,q为假命题,故綈p为假命题,綈q为真命题.从而p且q为假,(綈p)且(綈q)为假,(綈p)且q为假,p且(綈q)为真,故选D. (2)依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p且q”为假、“p或q”为假,“綈p”为真、“綈q”为真. 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 例2 (1)下列命题中,为真命题的是( ) A.任意x∈R,x2>0B.任意x∈R,-1 C.存在x0∈R,2x0<0D.存在x0∈R,tanx0=2 (2)下列四个命题 p1: 存在x0∈(0,+∞), x0< x0; p2: 存在x0∈(0,1), ; p3: 任意x∈(0,+∞), ; p4: 任意x∈ , . 其中真命题是( ) A.p1,p3B.p1,p4 C.p2,p3D.p2,p4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)任意x∈R,x2≥0,故A错;任意x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;任意x∈R,2x>0,故C错,故选D. (2)根据幂函数的性质,对任意x∈(0,+∞), x> x,故命题p1是假命题;由于 = - = ,故对任意x∈(0,1), ,所以存在x0∈(0,1), ,命题p2是真命题;当x∈ 时,0< x<1, ,故 不成立,命题p3是假命题;任意x∈ ,0< x<1, ,故 ,命题p4是真命题. 故p2,p4为真命题. 命题点2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 (2)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: 任意x∈A,2x∈B,则綈p为: ______. 答案 (1)C (2)存在x0∈A,2x0∉B 解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C. (2)命题p: 任意x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题. ∴綈p: 存在x0∈A,2x0∉B. 思维升华 (1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( ) A.存在x∈R,使得sinx+cosx= B.任意x∈(0,+∞),ex>x+1 C.存在x∈(-∞,0),2x<3x D.任意x∈(0,π),sinx>cosx (2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p: 存在n∈N,n2>2n,则綈p为( ) A.任意n∈N,n2>2nB.存在n∈N,n2≤2n C.任意n∈N,n2≤2nD.存在n∈N,n2=2n 答案 (1)B (2)C 解析 (1)因为sinx+cosx= sin(x+ )≤ < ,故A错误;当x<0时,y=2x的图像在y=3x的图像上方,故C错误;因为x∈(0, )时有sinx (2)将命题p的量词“存在”改为“任意”,“n2>2n”改为“n2≤2n”. 题型三 由命题的真假求参数的取值范围 例4 已知p: 存在x∈R,mx2+1≤0,q: 任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为( ) A.m≥2B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2 答案 A 解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0; 当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 即m≥2. 引申探究 1.本例条件不变,若p且q为真,则实数m的取值范围为________. 答案 (-2,0) 解析 依题意,当p是真命题时,有m<0; 当q是真命题时,有-2 由 可得-2 2.本例条件不变,若p且q为假,p或q为真,则实数m的取值范围为________________. 答案 (-∞,-2]∪[0,2) 解析 若p且q为假,p或q为真,则p、q一真一假. 当p真q假时 ∴m≤-2; 当p假q真时 ∴0≤m<2. ∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2). 3.本例中的条件q变为: 存在x∈R,x2+mx+1<0,其他不变,则实数m的取值范围为________. 答案 [0,2] 解析 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0, ∴m>2或m<-2. 由 得0≤m≤2, ∴m的取值范围是[0,2]. 思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. (1)已知命题p: “任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q: “存在x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a≤-2或a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2或1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} (2)已知命题“存在x0∈R,使2x +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,3) C.(-3,+∞)D.(-3,1) 答案 (1)A (2)B 解析 (1)∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题, ∴p: a≤1,q: a≤-2或a≥1, ∴a≤-2或a=1. (2)依题意可知“任意x∈R,2x2+(a-1)x+ >0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×
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