排列组合问题经典题型解析含答案.docx
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排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法
1.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例1.
五人并排站成一排,如果
必须相邻且
在
的右边,则不同的排法有()
A、60种B、48种C、36种D、24种
2.相离问题插空排:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()
A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种
3.定序问题缩倍法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果
必须站在
的右边(
可以不相邻)那么不同的排法有()
A、24种B、60种C、90种D、120种
西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
9.多元问题分类法:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
例9
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()
A、210种B、300种C、464种D、600种
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
10.交叉问题集合法:
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
11.定位问题优先法:
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
12.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
例12.
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()
A、140种B、80种C、70种D、35种
14.选排问题先取后排:
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.
例14.
(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
15.部分合条件问题排除法:
在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.
例15.
(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有()
A、70种B、64种C、58种D、52种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()
A、150种B、147种C、144种D、141种
16.圆排问题单排法:
把
个不同元素放在圆周
个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列
个普通排列:
在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,
个元素的圆排列数有
种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的
元素全排列.
例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
17.可重复的排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地
个不同元素排在
个不同位置的排列数有
种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.
(1)30030能被多少个不同偶数整除?
(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?
21.利用对应思想转化法:
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.
(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?
(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A到B的最短路径有多少种?
22.全错位排列问题公式法:
全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:
(1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法。
(2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a之外的)份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。
a装入C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:
得到一个递推公式:
f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)},分别带入n=2、3、4等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式:
排列组合问题经典题型与通用方法解析版
1.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例1.
五人并排站成一排,如果
必须相邻且
在
的右边,则不同的排法有()
A、60种B、48种C、36种D、24种
解析:
把
视为一人,且
固定在
的右边,则本题相当于4人的全排列,
种,
答案:
.
2.相离问题插空排:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()
A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种
解析:
除甲乙外,其余5个排列数为
种,再用甲乙去插6个空位有
种,不同的排法种数是
种,选
.
3.定序问题缩倍法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例3.
五人并排站成一排,如果
必须站在
的右边(
可以不相邻)那么不同的排法有()
A、24种B、60种C、90种D、120种
解析:
在
的右边与
在
的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
种,选
.
4.标号排位问题分步法:
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6种B、9种C、11种D、23种
解析:
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选
.
5.有序分配问题逐分法:
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.
例5.
(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()
A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
解析:
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有
种,
选
.
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()
A、
种B、
种
C、
种D、
种
答案:
.
6.全员分配问题分组法:
例6.
(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
解析:
把四名学生分成3组有
种方法,再把三组学生分配到三所学校有
种,故共有
种方法.
说明:
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种B、240种C、120种D、96种
答案:
.
7.名额分配问题隔板法:
例7:
10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为
种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
解析:
因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不参加,则有派遣方案
种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有
方法,所以共有
;③若乙参加而甲不参加同理也有
种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有
种,共有
方法.所以共有不同的派遣方法总数为
种.
9.多元问题分类法:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.
例9
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()
A、210种B、300种C、464种D、600种
解析:
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
个,
个,合并总计300个,选
.
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
解析:
被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做
共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做
共有86个元素;由此可知,从
中任取2个元素的取法有
,从
中任取一个,又从
中任取一个共有
,两种情形共符合要求的取法有
种.
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