春季新版华东师大版八年级数学下学期181平行四边形的性质教案8.docx
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春季新版华东师大版八年级数学下学期181平行四边形的性质教案8
第十六章《16.1平行四边形》(复习)
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
平行四边形(复习)
学习要求:
1.理清本章的知识脉落,落实各个知识点。
2.学会逻辑推理的方法。
二.重点、难点:
学习重点:
平行四边形及特殊平行四边形的性质及识别方法。
学习难点:
在做题过程中学会使用逻辑推理的方法。
【学习内容】
一.知识结构:
二.具体知识点的梳理:
1.平行四边形:
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2)性质:
<1>平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等。
<2>平行四边形的对角线互相平分。
(3)识别方法:
<1>用定义识别。
(从边看)
<2>两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(从边看)
<3>一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(从边看)
<4>两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(从角看)
<5>对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(从对角线看)
(4)平行四边形的知识运用包括三个方面:
<1>直接用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。
<2>判定一个四边形是平行四边形,从而判定两直线平行。
<3>先判定一个四边形是平行四边形,再用平行四边形的性质去解决某问题。
2.矩形:
(1)定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)性质:
<1>矩形的四个内角都是直角。
<2>矩形的对角线相等且互相平分。
<3>除上面两条以外,它还有平行四边形的一切性质。
(3)矩形的识别方法:
<1>有一个角是直角的平行四边形;
<2>对角线相等的平行四边形;
<3>有三个角是直角的四边形。
3.菱形:
(1)定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)性质:
<1>菱形的四条边都相等。
<2>菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
<3>菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
<4>它还拥有平行四边形的一切性质。
(3)判定方法:
<1>有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
<2>对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
<3>四边都相等的四边形是菱形。
4.正方形:
(1)定义:
<1>有一个角是直角的菱形是正方形。
<2>有一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)性质:
<1>它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
<2>正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。
两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。
(3)判定方法:
<1>一组邻边相等,一个角是直角的平行四边形是正方形。
<2>一组邻边相等的矩形是正方形。
<3>一个角是直角的菱形是正方形。
<4>既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
4.梯形
(1)定义:
只有一组对边平行的四边形是梯形,两腰相等的梯形是等腰梯形,有一个角是直角的梯形是直角梯形。
(2)等腰梯形的性质:
<1>等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
<2>等腰梯形的两条对角线相等。
【典型例题】
例1.如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC=21cm,BE⊥AC,垂足为E,且BE=5cm,AD=7cm,试求AD与BC之间的距离。
分析:
此题看似无法求解,但注意观察告知AD之长,又求AD与BC之间距离,而AD×AD与BC间的距离=S平行四边形ABCD,因而我们可以想到用面积法求解。
只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。
解:
例2.如图2,在平行四边形ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,四边形AECF是平行四边形吗?
分析:
这里AE⊥BD,CF⊥BD,可知AE//CF,但要说明四边形AECF是平行四边形,还需AE=CF。
解:
四边形AECF是平行四边形,因为
AE=CF
刚才已证明AE//CF
故四边形AECF是平行四边形。
例3.如图3,在平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点,试说明四边形MNPQ是平行四边形。
分析:
此题中中点较多,而且还与角平分线有关,故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。
解:
在平行四边形ABCD中,DB、AC是对角线,而M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点
同理OQ=ON
即在四边形MNPQ中,其对角线互相平分,因此四边形PQMN是平行四边形。
例4.如图4,D、E、F分别在三角形ABC的边BC、AB、AC上,且DE//AF,DE=AF,G在FD的延长线上,DG=DF,试说明AG和ED互相平分。
分析:
要说明两条线段互相平分,最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线,从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。
解:
故四边形DEAF是平行四边形
所以AE//DF,AE=DF
又DG=DF,故AE=DG
而AE//DF,故AE//DG
所以四边形AEDG是平行四边形
故其对角线ED、AG互相平分。
例5.如图5,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,M为AB的中点,说明CM⊥DM。
分析:
DM⊥CM,直接证明较有困难,但观察题目中有AB=2BC,M是中点,可使我们想到过M作MN//AD,从而得到菱形,从菱形的对角线垂直入手。
解:
过M作MN//AD交DC于N,连结AN
故四边形AMND是菱形,于是AN与DM是互相垂直的。
又由于NC//AM,NC=AM
故四边形NCAM是平行四边形
于是MC//AN
例6.已知:
如图6,MN//PQ,同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D,猜想AC和BD之间的关系,为什么?
分析:
初从图形看,AC可能与BD相等,而题目中有很多的角平分线,故可以得到很多的垂直关系,故可以想象从证明四边形是矩形,从矩形入手。
解:
于是四边形ABCD是矩形,AC和BD相等。
例7.如图7,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC的平分线相交于点O,OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D、E,试说明四边形CDOE为正方形。
分析:
先说明四边形是矩形,由于角平分线较多,且有距离,故可知用角平分线的性质即可求解。
解:
故四边形ODEC是矩形
于是OD=OF,OF=OE(角平分线上的点到角两边距离相等)
OD=OE
于是四边形ODEC是正方形
例8.如图8,梯形ABCD,E为一腰AB的中点,AD//BC,DE⊥CE,试说明CD=BC+AD。
分析:
梯形ABCD,E为一腰AB的中点,将ΔAED绕点E旋转到ΔBEF的位置,拼成ΔDFC把问题转化于三角形中解决。
解:
故EF=ED,AD=BF
故CD=CF
而CF=FB+CB=AD+BC
故CD=AD+BC
本课小结:
1.本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质,并且还将其识别方法罗列出来,请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择。
2.在图形的性质和图形的识别中,要注意清楚逻辑关系,不要在进行识别时用了图形的性质。
3.本课有的例题中引了辅助线,辅助线的作法有多种,只要能帮助解决问题,而且能迅速解决问题,都是最好的方法。
【模拟试题】
1.如图,平行四边形ABCD中,E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,如果,则的面积是?
2.如图,在平行四边形ABCD中,G是CD上一点,BG交AD的延长线于点E,AF=CG,。
(1)试说明DF=BG。
(2)求的度数。
3.如图,平行四边形ABCD中,AE、BF分别平分,试确定四边形ABEF是菱形。
4.如图,将平行四边形ABCD沿AC折叠,点B落在处,交DC于点M,求证:
折叠后重合的部分是等腰三角形。
5.如图,矩形ABCD中,,垂足为M,AN平分,交MC的延长线于点E,请问AC=CE吗?
为什么?
【试题答案】
1.解:
2.解:
(1)在平行四边形ABCD中,DC//AB,DC=AB
又GC=AF
故四边形DGBF是平行四边形
DF=BG
(2)又,故
3.解:
在平行四边形ABCD中,BF平分,有
而有
故AB=AF
同理EB=EF
又AF//BE知
AE平分,FB平分,故
得
故而在和中
4.解:
折叠前,
折叠中,
故而
即
有MA=MC
5.解:
作于H,又
有
得
又AN平分,故
得
得
又
故
即
AC=CE
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- 春季 新版 华东师大 八年 级数 下学 181 平行四边形 性质 教案