3+φ=+2nπ,n∈Z.
∴φ=-+2nπ,n∈Z.
∴f(x)=Asin(A>0).
令2kπ+x-2kπ+,k∈Z.
∴6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∵周期T=6,
∴f(x)的单调递减区间是[6k-3,6k],k∈Z,故选D.
3.B 解析由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin=2sin的图象,令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.
4.A 解析当时,0<θ<,∴0∴是“sinθ<的充分条件.
当θ=-时,sinθ=-,但不满足
∴不是“sinθ<的必要条件.
∴是“sinθ<的充分而不必要条件.故选A.
5.B 解析由题意知T=π,则ω=2.
由函数图象关于直线x=对称,
得2+φ=+kπ(k∈Z),
即φ=-+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=Asin
令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z).
∴函数f(x)的图象的一个对称中心为故选B.
6.- 解析方法1:
因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-=-
方法2:
由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2-1=-
7 解析f(x)=cos2x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=2cos,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos=2cos,要使它为偶函数,则需要2n+=kπ(k∈Z),所以n=(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值
8sin 解析由题意得A=,函数的周期为T=16.
∵T=,∴ω=,此时f(x)=sin
由f
(2)=,即sin=sin=1,
则+φ=2kπ+,k∈Z,
解得φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=,
∴函数的解析式为f(x)=sin
9.x=-(答案不唯一) 解析将点代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-g(x)=-sinxcosx+sin2x=-sin2x+cos2x=-sin,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-
10.解
(1)由sin,cos=-,
f-2,
得f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,
所以,f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
11.解
(1)由已知,有
f(x)=
=cos2x
=sin2x-cos2x=sin
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-
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12.A 解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以=5,解得T=6.
所以ω=
又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,
所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).
又0≤φ≤π,所以φ=或φ=所以f(x)=2sin或f(x)=2sin
对于函数f(x)=2sin,当x略微大于0时,有f(x)>2sin=1,与图象不符,故舍去.
综上,f(x)=2sin
故f(-1)=2sin=2.
13.A 解析由题意可知,>2π,,
所以<1.所以排除C,D.
当ω=时,f=2sin
=2sin=2,
所以sin=1.
所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<π,所以φ=故选A.
14.D 解析函数y1=,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.
当1在上是减函数;在上是增函数.
所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.
相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,
且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.
15.①④ 解析首先化简题中的四个解析式可得:
①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sinx,④f(x)=sinx+可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sinx+的图象可以向左平移个单位,再向下平移个单位即可得到①f(x)=sin的图象,所以①④为“互为生成”函数.
16.3 解析||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.
17.
(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sinx.
从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).
(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx
=
=sin(x+φ)
依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,
故m的取值范围是(-).
②证法一因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
当1≤m<时,α+β=2,
即α-β=π-2(β+φ);
当-即α-β=3π-2(β+φ),
所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)
=2sin2(β+φ)-1
=2-1=-1.
证法二因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
当1≤m<时,α+β=2,
即α+φ=π-(β+φ);
当-即α+φ=3π-(β+φ).
所以cos(α+β)=-cos(β+φ).
于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]
=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=--1.