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抽屉原理习题精选.docx
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抽屉原理习题精选
抽屉原理习题精选(含答案)
1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的
球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的
点数?
3.有11名学生到老师家借书,老师的书房中有A、E、C、D四类书,每名学生
最多可借两本不同类的书,最少借一本。
试证明:
必有两个学生所借的书的类型相同
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜。
试证明:
一定有两个运动员积分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每
个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女
生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人数为多少人?
7.有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出多少只(拿的时候
不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8.一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎
么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了多少堆?
9.从1,3,5,……,99中,至少选出多少个数,其中必有两个数的和是100。
10.某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨,
并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有多少人带苹果。
11.某个年级有202人参加考试,满分为100分,且得分都为整数,总得分为10101
分,则至少有多少人得分相同?
12.2006名营员去游览长城,颐和园,天坛。
规定每人最少去一处,最多去两处游
览,至少有几个人游览的地方完全相同?
13.某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,则至少有多少人植树的株数相同?
答案:
1.将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,
则最少要取出4个球。
3X(2-1)+1=4
2.将14种点数看作是14个抽屉,最少要抽取29张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。
14X(3-1)+1=29(扑克牌中的点数说明:
A--K分别为1—13点,大
小王点数相同,共14种点数。
)
1+1=2
8+1=9
十个抽屉,因此必有两个学生所借的书的类型相同。
11+10=1……1
4.证明,所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。
即每个人要参
加49场比赛,这样如果假设没有运动员积分相同,因为没有全胜,则运动员的积分就有
48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况,而50名运动员需要有50个不同的
积分结果,这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾,所以假设“没有运动员积分相同”是错误的,因此一定有两个运动员积分相同。
5.方法同第3题,拿球的种类组合可以有以下六种:
足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮,这六种组合看作六个抽屉,至少有9名同学所拿的球种类是一致的。
50-
6=82
6.则参赛男生46人。
7.至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8.至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况:
9.至少选出51个数,其中必有两个数的和是100。
10.46乘客带苹果。
11.提示:
分值从0〜100,共101种可能的分值,10101-(0+1+2+
+100)
1,则至少有3人得分相同。
12.至少有335个人游览的地方完全相同。
13.则至少有5人植树的株数相同。
第四讲:
最不利原则
一、最不利原则
在日常生活和生产中,我们常常会遇到求最大值或最小值的问题,解答这类问题,常常需要从最不利的情况出发分析问题,这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各
有4个小球颜色相同?
分析与解:
如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同,就回答是
20个。
问:
一次最少摸出几个球,才能保证至少
4,”那么显然不对,因为摸出的4个小球的颜色
也可能不相同。
回答是“4是”从最“有利”的情况考虑的,但为了“保证至少有4个小球颜色相同”,就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求,那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢?
那就是我们摸出()个红球、()个黄球和()个蓝球,此时三种颜色的球都是
()个,却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球,无论是红、黄或蓝色,都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出()个球。
通过上面分析,列式为:
例2一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
分析与解:
从最不利的情形考虑。
用10把钥匙依次去试第一把锁,最不利的情况是试验了9次,前8次都没打开,第9次无论打开或没打开,都能确定与这把锁相匹配的钥匙(若没打开,则第10把钥匙与这把锁相匹配)。
同理,第
二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次,第十把锁不用再试(为什么?
)。
通过上面分析,列式为:
例3在一副扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中四种花色都有?
分析与解:
一副扑克牌有大、小王牌各1张,“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张,共计有54张牌。
最不利的情形是:
取出四种花色中的三种花色的牌各13张,再加上2张王牌。
这41张牌中没有四种花色。
剩下的正
好是另一种花色的13张牌,再抽1张,四种花色都有了。
因此最少要拿出42张牌,才能保证四种花色都有。
热身操
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各
个小球颜色相同?
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共
20个。
问:
一次最少摸出几个,才能保证至少有5
20个,其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问:
一次最少取出几个,才能保证至少有6个小球颜色相同?
3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问:
(1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到?
(2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子?
(3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子?
4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
问:
最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子?
第六讲:
抽屉原理
抽屉原理
抽屉原理又叫狄里克雷原理,是指:
把n+1个元素,任意放入n个抽屉,则其中必有一个抽屉里至少有2个元素.抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
例1:
把4枝笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进2枝笔,这是为什么?
我们从最不利的原则去考虑:
答:
如果我们先让每个笔筒里放()枝笔,最多放()枝。
剩下的()枝还要放进其中的一个笔筒。
所以不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进()枝笔。
练习:
7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么?
答:
如果一个鸽舍里飞进一只鸽子,5个鸽舍最多飞进()只鸽子,还剩下()只鸽子。
所以,无论怎么飞,至少有()只鸽子要飞进同一个笼子里。
计算方法:
至少数=商数+1
练习:
1、某班32名小朋友是在5月份出生的,能否找到两个生日是在同一天的小朋友?
2、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子,颜色有红、黄、黑、白四种。
不允许用眼睛看,那么至少要取出多少只袜子,才能保证有5双同色的袜子
3、礼堂里有253人开会,这253人中至少有多少人的属相相同?
5、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球,有若干人轮流从袋中取球,每人取三个球。
要保证有色完全相同,至少应有多少人取球?
6、幼儿园小朋友分200块饼干,无论怎样分都有人至少分到8块饼干,这群小朋友至多有多少名?
7、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书,规定每个同学最多可以借两本不同类的图书,至少有多少个同学借书,才能保证有两个人所借的图书类别相同?
24、从1~10这10个数中,任取多少个数,才能保证这些数中一定能找到两个数,使其中的一个数是另一个数的倍数?
抽屉原理练习题
3.11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、E、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。
试证明:
必有两个学生所借的书的类型相同。
证明:
若学生只借一本书,则不同的类型有A、E、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、
AC、AD、BC、BD、CD六种。
共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。
如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。
4.
|
49
有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:
一定有两个运动员积分相同。
证明:
设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这
种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,
问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
I解题关键:
利用抽屉原理2。
|
解:
根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:
{足}{排}{蓝}{足足}{排排}{蓝蓝}{足排}{足
蓝}{排蓝}。
以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果50弋=5……5
由抽屉原理2k=:
m/n]+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。
6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于人中必有男生,则参赛男生的人生为人。
I
解:
因为任意分成四组,必有一组的女生多于2人,所以女生至少有4>2+1=9(人);因为任意10人中必有男生,
所以女生人数至多有9人。
所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
7、证明:
从1,3,5,……,99中任选26个数,其中必有两个数的和是100。
,(49,51)。
根据
解析:
将这50个奇数按照和为100,放进25个抽屉:
(1,99),(3,97),(5,95),…抽屉原理,从中选出26个数,则必定有两个数来自同一个抽屉,那么这两个数的和即为100。
8.某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至
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