数学选修21试题复习V.docx
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数学选修21试题复习V
数学选修2-1试题复习V
单选题(共5道)
1、三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为,,若<,>=,则二面角A-BD-C的大小为( )
A
B
C或
D或
2、设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,AD=2,M和N分别为AA1和BB1的中点,若θ为直线CM与D1N所成的角,则θ等于( )
A30°
B45°
C60°
D90°
3、函数y=x2cosx的导数为
Ay′=2xcosx-x2sinx
By′=2xcosx+x2sinx
Cy′=x2cosx-2xsinx
Dy′=xcosx-x2sinx
4、用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A12
B10
C8
D6
5、方程+=1表示的图形是( )
A一条直线
B两条平行线段
C一个正方形
D一个正方形(除去四个顶点)
简答题(共5道)
6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:
平面A1BD∥平面B1D1C;
(2)若E、F分别是AA1、CC1的中点,求证:
平面EB1D1∥平面FBD.
7、如图一,平行四边形ABCD关于直线AC对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2,把△ABD沿BD折起(如图二),使二面角A-BD-C的余弦值等于,对于图二,
(Ⅰ)求AC;
(Ⅱ)证明:
AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。
8、设点P(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点M(,0),
(1)求证:
三点A、M、B共线;
(2)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足为N,试求△AMN的重心G所在曲线方程。
9、如图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求cos<,>的值;
(2)求证:
BN⊥平面C1MN.
10、如图,等边△SAB与直角梯形ABCD垂直,AD⊥AB,BC⊥AB,AB=BC=2,AD=1.若E,F分别为AB,CD的中点.
(1)求||的值;
(2)求面SCD与面SAB所成的二面角大小.
填空题(共5道)
11、已知为互不重合的平面,为互不重合的直线,给出下列四个命题:
①;
②;
③;
④.
其中正确命题的序号是____▲____.
12、△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为______.
13、如图4,空间四边形ABCD中,若AD=4,BC=4,E、F分别为AB、CD中点,且EF=4,则AD与BC所成的角是.
14、直三棱柱中,,则直线与平面所成角的正切值为。
15、曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.
-------------------------------------
1-答案:
tc
解:
∵二面角的范围是[0,π],且<,>=,∴二面角A-BD-C的大小为.故选C.
2-答案:
tc
解:
如图建立空间直角坐标系,则D1
(0,0,0),M(2,0,),N(2,1,),C(0,1,),=(2,1,),=(2,-1,-),∵•=2×2-1×1-=0,∴⊥,所以直线CM与D1N所成的角为90°,即θ等于90°,故选D.
3-答案:
A
4-答案:
C
5-答案:
tc
解:
x>0,y>0,方程+=1为x+y=1;x>0,y<0,方程+=1为x-y=1;x<0,y>0,方程+=1为-x+y=1;x<0,y<0,方程+=1为-x+-y=1;∴方程+=1表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).故选:
D.
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1-答案:
证明:
(1)由B1B∥DD1,且B1B=DD1,得B1D1∥BD.因为平面B1D1C,而平面B1D1C,所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,连结AG、GF,则AE∥B1G且AE=B1G,所以B1E∥AG.由GF∥BC且GF=BC,BC∥AD,得GF∥AD且GF=AD,所以AG∥DF且AG=DF.所以B1E∥DF.所以DF∥平面EB1D1.所以平面EB1D1∥平面FBD.空间直线和平面
2-答案:
解:
(Ⅰ)取BD的中点E,连接AE,CE,由AB=CD,CB=CD,得,AE⊥BD,CE⊥BD∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,∴cos∠AEC=在△ACE中,AE=,CE=,=,∴AC=2
(Ⅱ)由∴,,∴∴,又BC∩CD=C,∴AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)方法一:
由(Ⅰ)知BD⊥平面ACE,BD平面ABD,∴平面ACE⊥平面ABD,平面ACE∩平面ABD=AE作CF⊥AE于F,则CF⊥平面ABD∠CAF就是AC与平面ABD所成的角,∴sin∠CAF=sin∠CAE=;方法二:
设点C到平面ABD的距离为h,∵,∴∴h=,于是AC与平面ABD所成角的正弦为sin=;方法三:
以CB,CD,CA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立的空间直角坐标轴系C-xyz,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,2,0)设平面ABD的法向量为=(x,y,z),则·=0,·=02x-2z=0,y-2z=0取x=y=1,则=(1,1,1),于是AC与平面ABD所成角的正弦即:
3-答案:
解:
(1)设,由已知得到,且,设切线PA的方程为:
,由得,从而,解得,因此PA的方程为:
,同理PB的方程为:
,又在PA、PB上,所以,即点都在直线上,又也在直线上,所以三点A、M、B共线。
(2)垂线AN的方程为:
,由得垂足,设重心G(x,y),所以,解得,由,可得,即为重心G所在曲线方程。
4-答案:
以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的坐标系C-xyz,
(1)依题意,A1
(1,0,2),C(0,0,0),B1
(0,1,2),B(0,1,0),∴=(1,-1,2),=(0,1,2),∴•=1×0+(-1)×1+2×2=3,又||=,||=,∴cos<,>==…6分证明:
(2)A1
(1,0,2),C1
(0,0,2),B1
(0,1,2),N(1,0,1),∴M(,,2),∴=(,,2),=(1,0,-1),=(1,-1,1),∴•=×1+×(-1)+1×0=0,同理可求•=0,∴⊥,⊥,C1M∩C1N=C1,∴BN⊥平面C1MN…12分.
5-答案:
解:
(1)连接SF,则在正△SAB中,AB=2,SE=,E为AB的中点,∴SE=,SE⊥AB∵BC=2,AD=1,E,F分别为AB,CD的中点,∴EF=∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直,SE⊥AB∴SE⊥面ABCD,∴SE⊥EF直角△SEF中,|SF|==,∴||=2=;
(2)建立如图所示的直角坐标系,则S(0,0,),D(1,1,0),C(-1,2,0)设面SCD的法向量为=(x,y,z),则由,可得取x=1,可得=(1,2,)∵面SAB的法向量为∴cos<>===.
解:
(1)连接SF,则在正△SAB中,AB=2,SE=,E为AB的中点,∴SE=,SE⊥AB∵BC=2,AD=1,E,F分别为AB,CD的中点,∴EF=∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直,SE⊥AB∴SE⊥面ABCD,∴SE⊥EF直角△SEF中,|SF|==,∴||=2=;
(2)建立如图所示的直角坐标系,则S(0,0,),D(1,1,0),C(-1,2,0)设面SCD的法向量为=(x,y,z),则由,可得取x=1,可得=(1,2,)∵面SAB的法向量为∴cos<>===.
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1-答案:
④①错误。
若,则m不平行;②错误。
平行于同一平面的两直线位置不确定;③错误。
两个平行平面内两条直线可能平行,也可能异面;④正确。
这是线面垂直的性质定理。
2-答案:
∵A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),∴=(4,-5,0),=(0,4,-3),∵点D在直线AC上,∴设=λ=(0,4λ,-3λ),由此可得=-=(0,4λ,-3λ)-(4,-5,0)=(-4,4λ+5,-3λ),又∵⊥,∴•=-4×0+(4λ+5)×4+(-3λ)×(-3)=0,解得λ=-.因此=(-4,4λ+5,-3λ)=(-4,,),可得||==5故答案为:
5
3-答案:
试题分析:
取的中点,连接,则,故(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角,又易知,,所以,故.点评:
本题考查异面直线所成角的大小,解题时要认真审题,仔细解答,注意余弦定理的合理运用.
4-答案:
略
5-答案:
由题意,∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故答案为4
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