江苏省南通市高三二模数学试题及答案.docx
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江苏省南通市高三二模数学试题及答案
南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
数学I
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上.
1.在平面直角坐标系中,已知向量=(2,1),向量=(3,5),则向量的坐标为▲.
【答案】(1,4)
2.设集合,则▲.
【答案】
3.设复数z知足|z|=|z-1|=1,则复数z的实部为▲.
【答案】
4.设f(x)是概念在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+ex(e为自然对数的底数),则的值为▲.
【答案】
5.某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时刻(单位:
分钟)用茎叶图表示(如图),图中左列表示训练
时刻的十位数,右列表示训练时刻的个位数,则该运动员这7天的平均训练时刻为▲分钟.
【答案】72
6.按照如图所示的伪代码,最后输出的S的值为▲.
【答案】145
7.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线共核心,且通过点,则该椭圆的离心率为▲.
【答案】
8.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2cm的半圆,则该圆锥的高为▲cm.
【答案】
9.将函数的图象上每一点向右平移1个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的
倍(纵坐标维持不变),得函数的图象,则的一个解析式为▲.
【答案】
10.函数的所有零点之和为▲.
【答案】4
11.设,且.则的值为▲.
【答案】
12.设数列{an}知足:
,则a1的值大于20的概率为▲.
【答案】
13.设实数x1,x2,x3,x4,x5均不小于1,且x1·x2·x3·x4·x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的最小值是▲.
【答案】9
14.在平面直角坐标系xOy中,设,B,C是函数图象上的两点,且△ABC为正三角形,则△ABC的高为▲.
【答案】2
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知△ABC的内角A的大小为120°,面积为.
(1)若AB,求△ABC的另外两条边长;
(2)设O为△ABC的外心,当时,求的值.
【解】
(1)设△ABC的内角A,B,C的对边别离为a,b,c,
于是,所以bc=4.……………………………3分
因为,所以.
由余弦定理得.……6分
(2)由得,即,解得或4.………8分
设BC的中点为D,则,
因为O为△ABC的外心,所以,
于是.……12分
所以当时,,;
当时,,.…………14分
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,BC划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建
造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑
费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为
5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
(每平方米平均综合费用=).
(1)求k的值;
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?
现在每平方米
的平均综合费用为多少元?
【解】
(1)若是每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为
[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10,所以,…………3分
1 270=,
解之得:
k=50.………………6分
(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知
f(n)=
=+25n+825≥2+825=1225(元).………………10分
当且仅当=25n,即n=8时等号成立.…………………………12分
答:
该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,现在每平方米平均综合费用为1225元.
………14分
18.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=(m-3)x3+9x.
(1)若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为4,求m的值.
【解】
(1)因为(0)=9>0,所以f(x)在区间上只能是单调增函数.…3分
由(x)=3(m-3)x2+9≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以m≥3.
故m的取值范围是[3,+∞).……………6分
(2)当m≥3时,f(x)在[1,2]上是增函数,所以[f(x)]max=f
(2)=8(m-3)+18=4,
解得m=<3,不合题意,舍去.…………………………8分
当m<3时,(x)=3(m-3)x2+9=0,得.
所以f(x)的单调区间为:
单调减,单调增,单调减.
……………………………………10分
①当,即时,,所以f(x)在区间[1,2]上单调增,
[f(x)]max=f
(2)=8(m-3)+18=4,m=,不知足题设要求.
②当,即0<m<时,[f(x)]max舍去.
③当,即m≤0时,则,所以f(x)在区间[1,2]上单调减,
[f(x)]max=f
(1)=m+6=4,m=-2.
综上所述:
m=-2.…………………………16分
19.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
x2+y2=r2和直线l:
x=a(其中r和a均为常数,且0 M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点别离为P、Q. (1)若r=2,M点的坐标为(4,2),求直线PQ方程; (2)求证: 直线PQ过定点,并求定点的坐标. 【解】 (1)当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0). 直线MA1的方程: x-3y+2=0,解得.………………2分 直线MA2的方程: x-y-2=0,解得.………………4分 由两点式,得直线PQ方程为: 2x-y-2=0.………………………6分 (2)证法一: 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t), 直线MA1的方程是: y=(x+r),直线MA1的方程是: y=(x-r).…………8分 解得.………………10分 解得.…………12分 于是直线PQ的斜率kPQ=, 直线PQ的方程为.……14分 上式中令y=0,得x=,是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点.…16分 证法二: 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t), 直线MA1的方程是: y=(x+r),与圆C的交点P设为P(x1,y1). 直线MA2的方程是: y=(x-r);与圆C的交点Q设为Q(x2,y2). 则点P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0上,…10分 化简得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0.① 又有P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆C上,圆C: x2+y2-r2=0.② -t2×②得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)-t2(x2+y2-r2)=0, 化简得: (a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0. 所以直线PQ的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0.③…………14分 在③中令y=0得x=,故直线PQ过定点.…………16分 20.(本小题满分16分) 设无穷数列知足: ,,.记. (1)若,求证: =2,并求的值; (2)若是公差为1的等差数列,问是不是为等差数列,证明你的结论. 【解】 (1)因为,所以若,则矛盾, 若,可得矛盾,所以.……………4分 于是,从而.…………7分 (2)是公差为1的等差数列,证明如下: ……………………9分 时,,所以, ,……………………13分 即,由题设,,又, 所以,即是等差数列.……………………………16分 数学II(附加题) 21.(选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题当选做2小题.每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A.选修4-1: 几何证明选讲 如图,是⊙的直径,是⊙上的两点,⊥, 过点作⊙的切线FD交的延长线于点.连结交 于点. 求证: . 【证明】连结OF. 因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.……………5分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.所以DE2=DB·DA.………10分 B.选修4-2: 矩阵与变换 设曲线在矩阵对应的变换作用下取得的曲线为,求矩阵M的逆矩阵. 【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是, 由,得 因为在圆上,所以,化简可得. ……3分 依题意可得,或而由可得.………6分 故,.……………………………………10分 C.选修4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标中,已知圆,圆. (1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,别离求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆的极坐标方程为,圆的极坐标方程为, 由得,故圆交点坐标为圆.…………………5分 (2)由 (1)得,圆交点直角坐标为, 故圆的公共弦的参数方程为………………………………………10分 注: 第 (1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第 (2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分. D.选修4-5: 不等式选讲 设正数a,b,c知足,求的最小值. 【解】因为a,b,c均为正数,且,所以. 于是 , 当且仅当时,等号成立.………………………8分 即,故的最小值为1.…………10分 22.必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. 如图,在三棱柱中,,,且. (1)求棱与BC所成的角的大小; (2)在棱上肯定一点P,使二面角的平面角的余弦值为. 【解】 (1)如图,以A为原点成立空间直角坐标系, 则, ,. , 故与棱BC所成的角是.…………4分 (2)P为棱中点, 设,则. 设平面的法向量为n1,, 则 故n1……………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1,0,0),则, 解得,即P为棱中点,其坐标为………………………………………………10分 23.必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. 设b>0,函数,记(是函数的导函数),且当x=1时,取得极小值2. (1)求函数的单调增区间; (2)证明. 【解】 (1)由题. 于是,若,则,与有极小值矛盾,所以. 令,并考虑到,知仅当时,取得极小值. 所以解得.………………………………………4分 故,由,得,所以的单调增区间为. (2)因为,所以记 因为, 所以,故.………10分 南通市2013届高三第二次调研测试 数学Ⅰ讲评建议 第1题考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义.=-=(1,4). 第2题考查集合的运算,一元二次不
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