中考数学压轴题精讲解读四.docx
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中考数学压轴题精讲解读四
第二部分图形运动中的函数关系问题
这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中,探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围,进而在一般性的基础上探求符合条件的特殊性.探求符合条件的特殊性一般和数形结合思想联系在一起.
由比例线段产生的函数关系问题
图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.
产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.
由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用.
类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边.如图1所示,已知点A的坐标为(3,4),点B是x轴正半轴上的一个动点,设OB=x,AB=y,那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理,就可以得到y关于x的函数关系式.
类型二,图形的翻折.已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示,AB=5,点O沿直线EF翻折后,点O的对应点D落在AB边上,设AD=x,OE=y,那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式.
图1图2
由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.
一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.
一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.
关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.
例1 2016年哈尔滨市中考第27题
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2ax+c经过A(-4,0)、B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连结EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连结DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16哈尔滨27”,拖动点P运动,可以体验到,△PEK与△EFN保持全等.△ENH保持等腰直角三角形,PH与x轴始终平行.当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.
1.第
(2)题,过点E构造以PE、EF为斜边的直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样就得到了直角三角形全等,把直角边可以用t表示出来了.
2.第(3)题中的PH与x轴始终是平行的,而且点G是DH的中点,当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.
例2 2016年上海市中考第25题
如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AD=15,AB=16,BC=12.点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED与射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.
(1)求线段CD的长;
(2)如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;
(3)当点F在边CD上(不与点C、D重合),设AE=x,DF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
请打开几何画板文件名“16上海25”,拖动点E在AB上运动,可以体验到,△AEG与△DEA保持相似,以AE为腰的等腰三角形AED存在两种情况.
1.因为△AEG∽△DEA,把讨论等腰三角形AEG转化为讨论等腰三角形DEA.
2.由△AEG∽△DEA,△AEG∽FDG,根据对应线段成比例,经过变形整理,可以得到y关于x的函数关系式.
例3 2017年上海市宝山区中考模拟第25题
如图,在△ABC中,∠ACB为直角,AB=10,∠A=30°,半径为1的动圆Q的圆心从点C出发,沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点B出发,沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0 (1)判断并证明ED与BC的位置关系,并求当点Q与点D重合时t的值; (2)当☉P和AC相交时,设CQ为x,☉P被AC截得的弦长为y,求y关于x的函数解析式,并求当☉Q过点B时☉P被AC截得的弦长; (3)若☉P与☉Q相交,写出t的取值范围. 请打开几何画板文件名“17宝山25”,拖动点Q由C向B运动,可以体验到,☉P与☉Q的位置关系依次为外离、外切和相交. 1.第 (1)题中Q、D重合时,根据CQ+BD=BC列关于t的方程. 2.第 (2)题中☉Q过点B时,CQ=5-1=4. 3.第(3)题中求☉P与☉Q相交,先求临界位置——外切时t的值. 例4 2017年上海市奉贤区中考模拟第25题 如图1,线段AB=4,以AB为直径作半圆O,点C为弧AB的中点,点P为直径AB上一点,连结PC,过点C作CD∥AB,且CD=PC,过点D作DE∥PC,交射线PB于点E,PD与CE相交于点Q. (1)若点P与点A重合,求BE的长; (2)设PC=x, =y,当点P在线段AO上时,求y关于x的函数关系式及定义域; (3)当点Q在半圆O上时,求PC的长. 图1备用图 请打开几何画板文件名“17奉贤25”,拖动点P在AO上运动,可以体验到,PD与CE的比就是菱形的对角线的比,可以转化为PQ与EQ的比,进而转化为∠PEQ的正切值.拖动点P在OB上运动,可以体验到,当点Q落在圆上时,点Q到AB的距离等于圆的半径的一半. 1.四边形PCDE是菱形,对角线互相垂直平分. 2.第 (2)题根据∠PEQ和∠CEO是同一个角,用正切值得到关系式. 3.第(3)题画图的步骤是: 点Q在OC的中垂线与圆的交点处,延长CQ交AB的延长线于点E,过点Q作CE的垂线得到点P、D. 例5 2017年上海市虹口区中考模拟第25题 如图,在△ABC中,AB=AC=5,cosB= 点P为边BC上一动点,过点P作射线PE交射线BA于点D,∠BPD=∠BAC.以点P为圆心,PC长为半径作☉P交射线PD于点E,连结CE,设BD=x,CE=y. (1)当☉P与AB相切时,求☉P的半径; (2)当点D在BA的延长线上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域; (3)如果☉O与☉P相交于点C、E,且☉O经过点B,当OP= 时,求AD的长. 请打开几何画板文件名“17虹口25”,拖动点P运动,可以体验到,△BPD与△BAC保持相似,PN与BD保持平行.观察度量值,可以体验到,OP=1.25存在两种情况. 1.作☉P的弦CE对应的弦心距PN,把图形中与∠B相等的角都标记出来. 2.第(3)题中圆O经过B、C、E三点,事实上OP与BD是平行的. 例6 2017年上海市嘉定区中考模拟第25题 已知AB=8,☉O经过点A、B,以AB为一边画平行四边形ABCD,另一边CD经过点O(如图1).以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段OC于点E(点E不与点O、点C重合). (1)求证: OD=OE; (2)如果☉O的半径长为5(如图2),设OD=x,BC=y,求y与x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)如果☉O的半径长为5,连结AC,当BE⊥AC时,求OD的长. 图1图2备用图 请打开几何画板文件名“17嘉定25”,拖动点D运动,可以体验到,四边形ABED保持等腰梯形的形状,△BCE保持等腰三角形的形状,垂足H的位置保持不变,MH的位置保持不变.双击按钮“AC⊥BE”,可以体验到,点C恰好落在圆上,MH等于EC与AB和的一半. 1.根据等腰梯形是轴对称图形,很容易知道点O是DE的中点. 2.第 (2)题中,等腰三角形BCE的高BH为定值,先用x表示EC,再用勾股定理就可以表示BC了. 3.第(3)题如何利用BE⊥AC,常规的方法是过点C作BE的平行线得到直角三角形. 例7 2017年沈阳市中考第23题 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标是(6,0),点B的坐标是(0,8),点C的坐标是(-2 4).点M、N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O—A—B路线向终点B匀速运动,动点N从点O开始,以每秒2个单位长度的速度沿O—C—B—A路线向终点A匀速运动.点M、N同时从点O出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.设动点运动的时间为t秒(t>0),△OMN的面积为S. (1)填空: AB的长度是 ,BC的长度是 ; (2)当t=3时,求S的值; (3)当3 (4)若S= 请直接写出此时t的值. 请打开几何画板文件名“17沈阳23”,拖动时间轴上表示时间t的点运动,可以体验到,有三个时刻,△OMN的面积S等于9.6.还可以体验到,点N在CB上时,点N的纵坐标随t变化的图象是一条线段. 1.把四边形OABC的边长都标记出来.因为点M、N的位置不同,用t表示线段的长的代数式也不同. 2.第 (2)题的结果为第(4)题分类寻找点M、N的位置作了铺垫. 3.第(4)题需分三种情况,容易忽略点M、N相遇以后的情况. 4.第(4)题中当点M在OA上,点N在CB上时,△OMN的高就可以利用第(3)题的结论了. 由面积产生的函数关系问题 图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题. 计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平方. 前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单. 一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在什么情况下(x为何值时),S取得最大值或最小值. 关于面积的最值问题,有许多经典的结论. 1.周长一定的矩形,当正方形时,面积最大. 2.面积一定的矩形,当正方形时,周长最小. 3.周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆. 4.如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y,AD=x,当点D是AB的中点时,面积y最大. 5.如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB的中点E的正上方时,△PAB的面积最大. 6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的面积最大. 图1图2图3 例8 2016年淮安市中考第27题 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=- x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0). (1)求该二次函数的表达式及点C的坐标; (2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S. ①求S的最大值; ②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值. 请打开几何画板文件名“16淮安27”,拖动点F在第一象限内的抛物线上运动,观察△CDF的面积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的面积最大;当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上. 1.把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积. 2.连结OF“割补”△CDF比较简便. 3.如果设点F的坐标为(m,n),根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值. 例9 2016年吉林省中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l: y=ax2+bx+c经过O、A、B三点. (1)当m=2时,a= ,当m=3时,a= ; (2)根据 (1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论; (3)如图2,在 (1)的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为 ; (4)利用 (2)、(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比. 图1图2 请打开几何画板文件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的二次项系数a在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a的反比例函数. 1.点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式. 2.点Q的坐标可以用m、n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、n的关系. 例10 2017年金华市中考第24题 如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,3 ),B(9,5 ),C(14,0).动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB—BC运动,在OA、AB、BC上运动的速度分别为3、 、 (单位长度/秒).当P、Q中的一点到达点C时,两点同时停止运动. (1)求AB所在直线的函数表达式; (2)如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值; (3)在P、Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t的值. 图1图2 请打开几何画板文件名“17金华24”,拖动点P运动,可以体验到,PQ的垂直平分线4次经过四边形OABC的顶点. 1.先求线段OA、AB、BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来. 2.直线OA、BC与x轴的夹角为60°,直线AB与x轴的夹角为30°. 3.点Q在AB上时,AQ=速度×时间= (t-2). 点Q在BC上时,BQ=速度×时间= (t-6),CQ= (10-t). 例11 2017年黄冈市中考第24题 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒. (1)当t=1秒时,求经过O、P、A三点的抛物线的解析式; (2)当t=2秒时,求tan∠QPA的值; (3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值; (4)连结CQ,当点P、Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式. 请打开几何画板文件名“17黄冈24”,拖动点Q由点O向右运动,可以体验到,△CQP与矩形OABC重叠部分的形状依次是△CQP、四边形CQMB和△CBN. 1.第 (1)题: 设交点式比较简便,代入点P的坐标求二次项系数a就好了. 2.第 (2)题: 点P恰好与点B重合,∠QPA就在直角三角形中. 3.第(3)题: 根据“8字型”相似列方程,为第(4)题提供方法依据. 4.第(4)题: 分三种情况讨论. 例12 2017年绵阳市中考第25题 如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动.在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连结MF.将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm,BC=4cm.设点M的运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2). (1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形? 如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由; (2)求y关于t的函数解析式及相应的t的取值范围; (3)当y取得最大值时,求sin∠NEF的值. 请打开几何画板文件名“17绵阳25”,拖动点M运动,观察y随t变化的函数图象,可以体验到,当重叠部分的面积最大时,点E恰好落在AB的中点. 1.用含t的式子可以把线段CM、CN、BM、FN的长都表示出来. 2.△MNC和△MNE保持等腰直角三角形的形状,MN、EN、EM也可以用t表示. 3.当EN与AB交于点D时,可以用t表示出高DG.
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