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经典数学重点笔记
高等数学
3.柯西收敛准则:
数列{xn}收敛充要条件是:
对于任意给定正数ε,都存在正整数N,使得当m,n>N时,有|xm-xn|<ε。
1.3函数极限性质:
极限唯一性,局部有界性,局部保序性。
鉴别法则:
1.夹逼法则:
若limf(x)=limh(x)=A,且存在x0某一去心邻域
和差角公式和差化积公式
sin(a±b)=sinacosb±cosasinbsina+sinb=2sina+bcosa-b
x®x0
oo
x®x0
cos(a±b)=cosacosbb
22
a+ba-b
U(x0,d),使得"xÎU(x0,d),均有f(x)≤g(x)≤h(x),则limg(x)=A。
x®x0
sinasin
tg(a±b)=tga±tgb
sina-sinb=2cos
sin
22
2.单调收敛原理:
单调有界函数必收敛。
tgatgb
1×a+ba-b
3.柯西收敛准则:
函数f(x)收敛充要条件是:
∀ε>0,∃>0,∀x’,x’’∈
o,
U(x0,d)
ctg(a±b)=ctga×ctgb
cosa+cosb=2cos
cos
22
ctgb±ctga
cosa-cosb=-2sina+bsina-b
22
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
4.海涅(Heine)归结原则:
limf(x)=A充要条件是:
对于任何满足
1
积化和差公式倍角公式
sin2a=2sinacosa=
2tana
1+tan2a
x®x0
limxn=x0数列{xn},均有limf(xn)=A。
sinacosb=1[sin(a+b)+sin(a-b)]
2
cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a
1-tan2a
n®¥
n®¥
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较以便,例如可以挑选一种
cosasinb=1[sin(a+b)-sin(a-b)]
2
=cos2a-sin2a=
1+tan2a
2
收敛于该点自变量x数列{xn},而相应函数值数列{f(xn)}却不收敛;或者选出两个收敛于该点数列{xn},{x’n},而相应函数值数列{f(xn)},{f(xn)}却具备不同极限。
cosacosb=1[cos(a+b)+cos(a-b)]tg2a=
2
2tga
1-tg2a
ctg2a=ctga-1
2ctga
1.4无穷小与无穷大
1sin3a=3sina-4sin3a
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]
ì=0
2cos3a=4cos3a-3cosa
若lima(x)=l,当ï
时,则称x→x0时称α(x)是β(x)
tg3a=
3tga-tg3a
1-3tg2a
x®x0b(x)
lí¹0
ï=1
î
半角公式
sina=±1-cosa
cosa=±1+cosa
ì高阶无穷小,记作a(x)=o(b(x))
ï
í同阶无穷小,记作a(x)=O(b(x))
î
2222
ï等阶无穷小,记作a(x)~b(x)
tga=±
1-cosa=1-cosa=
sina
惯用等价无穷小
21+cosa
sina
1+cosa
sinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)~x
ctga=±1+cosa=1+cosa=
sina
1
21-cosa
sina
1-cosa
1-cosx~
x2(1+x)a-1~axax-1~xlna
2
1f(0)x
2
V=SHV=1SHV=1H(S+
SS¢+S¢)
棱柱棱锥3
棱台3
若f(x=0),f’(0)≠0,则òx
f(t)dt¢2
球表面积:
4πR2球体积:
4
3
第1章极限与持续
1.1集合、映射、函数
pR3
椭圆面积:
πab椭球体积:
4
3
pabc
0
拟定等价无穷小办法:
1.洛必达法则,2.泰勒公式
1.5持续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。
持续⇔左右极限存在且相等,且等于该点函数值。
简断点:
1.第一类间断点,左右极限不相等,或相等但不等于该点函数值;2.
左右极限至少有一种不存在。
空集,子集,有限集,无限集,可列集,积集,区间,邻域,上界,下界,上有界集,下有界集,无界集,上确界,下确界确界存在定理:
凡有上(下)界非空数集必有有限上(下)确界。
映射,象,原象,定义域,值域,满映射,单映射,双射,函数,自变量,因变量,基本初等函数
1.2数列极限性质:
1.(唯一性)收敛数列极限必唯一。
2.(有界性)收敛数列必为有界数列。
3.(子列不变性)若数列收敛于a,则其任何子列也收敛于a。
注1.一种数列有若干子列收敛且收敛于一种数,仍不能保证原数列收敛。
闭区间上持续函数性质:
有界性,最值性,介值性,零点存在定理。
1.6常用题型求极限办法:
1.四则运算;2.换元和两个重要极限;3.等价无穷小替代;4.
泰勒公式;5.洛必达法则;6.运用函数极限求数列极限;
7.放缩法;
求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成:
zn≤xn≤yn.
n®¥
8.求递归数列极限
注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a,且这两个子列合起来就是原数列,则原数列也收敛于a。
注3.性质3提供了证明了某数列发散办法,即用其逆否命题:
若能从该数列中选出两个具备不同极限子列,则该数列必发散。
4.(对有限变动不变性)若数列{xn}收敛于a,则变化{xn}中有限项所得到新数列仍收敛于a。
(1)先证递归数列{an}收敛(惯用单调收敛原理),然后设limxn
n®¥
归方程an+1=f(an)取极限得A=f(A),最后解出A即可。
=A,再对递
5.(保序性)若limx=a,limy=b,且aN时,有
(2)先设limxn=A,对递归方程取极限后解得A,再用某种办法证明
xn 鉴别法则: n®¥n n®¥n n®¥ liman=A。 n®¥ 1.夹逼法则: 若∃N,当n>N时,xn≤yn≤zn,且limxn=limzn=a,则limyn=a。 第2章导数与微分 2.单调收敛原理: 单调有界数列必收敛。 注: 任何有界数列必存在收敛子数列。 n®+¥ n®+¥ n®+¥ 2.1求导法则和求导公式求导法则: 1.四则运算法则 [αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) [u(x)]¢=u¢(x)v(x)-u(x)v¢(x) 第3章中值定理和泰勒公式 3.1中值定理 v(x) 2.复合函数求导 v2(x) 费马定理: 若是x0是f(x)一种极值点,且f’(x0)存在,则必有f’(x0)=0(可微函数极值点必为驻点), 1.罗尔定理: 若函数f(x)满足如下条件;(i)在闭区间[a,b]上持续;(ii)在开区间 (f[j(x)])¢=f¢[j(x)]j¢(x) 核心在于区别哪些是中间变量,哪些是自变量 (a,b)内可导;(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0. 2.拉格朗日定理: 若函数f(x)满足如下条件;(i)在闭区间[a,b]上持续;(ii)在开 区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 3.反函数求导 4.隐函数求导 5.参数式求导 [f-1(y)¢]= 1 f¢(x) f(b)-f(a)=f¢(x). b-a 3.柯西定理: 若函数f(x)和g(x)满足如下条件;(i)在闭区间[a,b]上持续;(ii)在 开区间(a,b)内可导;(iii)∀x∈(a,b),g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 ìx=x(t)dyy¢(t) d2yy¢¢(t)x¢(t)-y¢(t)x¢¢(t) f(b)-f(a)=f¢(x) í,=,= îy=y(t)dxx¢(t) 6.对数求导法 7.分段函数求导 dx2 [x¢(t)]3 3.2泰勒公式 g(b)-g(a) g¢(x) (1)按求导法则求连接点处左右导数 设ìg(x),x-d f(x)=,若g¢(x)=h¢(x)=A,则f¢(x)=A. 求泰勒公式办法: 1.泰勒公式(拉格朗日余项): f(x)= nf(k)(x) 0(x-x)+ f(n+1)(x) (x-x) íh(x),x +00 å k=0 kn+1 k! 0(n+1)! 0 î0 2.惯用麦克劳林公式(带拉格朗日余项) (2)按定义求连接点处左右导数 xx2 +(-1)n ex=1+++ nxn+1 eqx +x+ n! 设ìg(x),x-d g(x)与f(x)在点x处无定义, 1! 2! (n+1)! 352n-12n+1 f(x)=ï A,x=x ,0 x=x-x+x +-1x +-nxqx í0可按定义求g¢(x)与h¢(x) sin 3! 5! (2n-1)! (1) cos (2n+1)! ïh(x),x î0242n 2n+2 cosx=1-x+x+
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- 经典 数学 重点 笔记