四川省成都市双流区学年高二数学月考试题 理.docx
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四川省成都市双流区学年高二数学月考试题理
四川省成都市双流区2017-2018学年高二数学4月月考试题理
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数=()
A.B.C.D.
2.点M的直角坐标为化为极坐标为()
A.(2,)B.(2,)C.(2,)D.(2,)
3.化极坐标方程为直角坐标方程为()
A.x2+y2=0或y=2B.x=2C.x2+y2=0或x=2D.y=2
4.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是()
A.B.C.D.
5.点()在圆的内部,则的取值范围()
A.-1<<1B.0<<1C.–1< 6.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f (2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数至少是() A.5B.4C.3D.2 7.直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,且,则() 8.若直线过点与双曲线只有一个公共点,则这样的直线有() A.1条B.2条C.3条D.4条 9.若不论为何值,直线与曲线总有公共点,则的取值范围是() A.B.C.D. 10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是() A.B.C.D. 11.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是() A.B.C.[-,]D. 12.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是(). A.1B.2C.1或2D.-1或2 第Ⅱ卷(90分) 二.填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分) 13.动圆过点,且与直线相切,则动圆的圆心的轨迹方程为____________. 14.函数在处的切线方程为____________. 15.已知函数在与时都取得极值,若对,不等式 恒成立,则c的取值范围为______。 16.已知函数,对于任意都有恒成立,则的取值范围是. 三.解答题(本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性. 18.(本小题满分12分) 某校进行文科、理科数学成绩对比,某次考试后,各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计,其频率分布表如下. 分组 频数 频率 分组 频数 频率 8 0.08 4 0.04 17 0.17 18 0.18 40 0.4 37 0.37 21 0.21 31 0.31 12 0.12 7 0.07 2 0.02 3 0.03 总计 100 1 总计 100 1 理科文科 (Ⅰ)根据数学成绩的频率分布表,求理科数学成绩的中位数的估计值; (Ⅱ)请填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关: 数学成绩分 数学成绩分 合计 理科 文科 合计 200 (Ⅲ)设文理科数学成绩相互独立,记表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”,估计的概率. 附: 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19.(本题满分12分) 已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0). (Ⅰ)若g(x)=m有实根,求m的取值范围; (Ⅱ)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 20.(本题满分12分) 设为坐标原点,动点在椭圆: 上,过作轴的垂线, 垂足为,点满足. (Ⅰ)求点的轨迹方程; (Ⅱ)设点在直线上,且.证明: 过点且垂直于的直线 过的左焦点. 21.已知函数,. (Ⅰ)当时,若关于的不等式恒成立,求的取值范围; (Ⅱ)当时,证明: . 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22.选修4-4: 极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为. (Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程; (Ⅱ)若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值. 23.选修4-5: 不等式选讲 已知函数. (Ⅰ)解不等式; (Ⅱ)记函数的最小值为,若,,均为正实数,且,求的最小值. 2018年春期四川省双流中学高二年级四月月考 数学(理科)答案 1-6ABCDDB7-12ACBDBC 13.;14.;15.16. 17..解: (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4, 由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4. (2)由 (1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·. 令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2. 当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 18.解: (Ⅰ)理科数学成绩的频率分布表中,成绩小于105分的频率为0.35<0.5, 成绩小于120分的频率为0.75>0.5, 故理科数学成绩的中位数的估计值为分. (Ⅱ)根据数学成绩的频率分布表得如下列联表: 数学成绩分 数学成绩分 合计 理科 25 75 100 文科 22 78 100 合计 47 153 200 , 故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关. (Ⅲ)记B表示“文科数学成绩大于等于120分”,C表示“理科数学成绩大于等于120分”, 由于文理科数学成绩相互独立, 所以A的概率. 19.(本小题满分12分)解 (1)∵g(x)=x+≥2=2e, 等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根. (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 20.解: (1)设,,则 由得 因为在上,所以.因此点的轨迹方程为 (2)由题意知设,则 , 由得 又由 (1)知,故 所以,即. 又过点存在唯一直线垂直于, 所以过点且垂直于的直线过的左焦点. 21.解: (1)由,得. 整理,得恒成立,即. 令.则. ∴函数在上单调递减,在上单调递增. ∴函数的最小值为. ∴,即. ∴的取值范围是. (2)∵为数列的前项和,为数列的前项和. ∴只需证明即可. 由 (1),当时,有,即. 令,即得. ∴. 现证明, 即. 现证明. 构造函数, 则. ∴函数在上是增函数,即. ∴当时,有,即成立. 令,则式成立. 综上,得. 对数列,,分别求前项和,得 . 22.解: (1)∵直线的极坐标方程为,即. 由,,可得直线的直角坐标方程为. 将曲线的参数方程消去参数,得曲线的普通方程为. (2)设. 点的极坐标化为直角坐标为. 则. ∴点到直线的距离. 当,即时,等号成立. ∴点到直线的距离的最大值为. 23.解: (1). ∴等价于或或. 解得或. ∴原不等式的解集为. (2)由 (1),可知当时,取最小值,即. ∴. 由柯西不等式,有. ∴. 当且仅当,即,,时,等号成立. ∴的最小值为.
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