高中数学优化设计第一轮复习考点规范练51课后习题Word版.docx
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高中数学优化设计第一轮复习考点规范练51课后习题Word版
考点规范练51 抛物线
基础巩固
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.-B.-C.D.
3.(2016河南中原学术联盟仿真)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A.2B.4C.6D.8〚导学号37270370〛
4.(2016河南商丘三模)已知抛物线y2=8x与双曲线-y2=1的一个交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.5x±3y=0B.3x±5y=0
C.4x±5y=0D.5x±4y=0
5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3B.6C.9D.12
6.(2016河北南宫一中三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=( )
A.B.C.D.
7.(2016浙江,理9)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .〚导学号37270371〛
9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值. 〚导学号37270372〛 10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程; (2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0? 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 〚导学号37270373〛 能力提升 11.设F为抛物线y2=6x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=( ) A.4B.6C.9D.12〚导学号37270374〛 12.(2016四川,理8)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ) A.B.C.D.1〚导学号37270375〛 13. 如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= . 14.已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程. 〚导学号37270376〛 高考预测 15.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2. (1)若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程; (2)若=λ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有⊥(-λ)? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 〚导学号37270377〛 参考答案 考点规范练51 抛物线 1.B 解析由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0). 2.B 解析抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y= 设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=- 3.D 解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4. 设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2. 由抛物线的定义知 |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8. 4.A 解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2. 设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3. 由n2=24,可得n=±2 将M(3,±2)代入双曲线-y2=1, 可得-24=1,解得a=, 即有双曲线的渐近线方程为y=±x,即5x±3y=0. 5.B 解析∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0), ∴E的右焦点的坐标为(2,0). 设椭圆E的方程为=1(a>b>0), ∴c=2. ∴a=4. ∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1. ∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6. 6.A 解析因为抛物线的准线为x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4. 又双曲线的左顶点坐标为(-,0),所以,解得a=,故选A. 7.9 解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9. 8.2 解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.解 (1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2= 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x. (2)由 (1)得4x2-5px+p2=0, 即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4, 于是y1=-2,y2=4, 从而A(1,-2),B(4,4). 设C(x3,y3), 则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4-2). 又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 10.解 (1)设P(x,y)是曲线C上任意一点, 则点P(x,y)满足-x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0). (2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 设l的方程为x=ty+m. 由得y2-4ty-4m=0, Δ=16(t2+m)>0, 于是 因为=(x1-1,y1), =(x2-1,y2), 所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1. 又<0, 所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③ 因为x=,所以不等式③可变形为 +y1y2-+1<0, 即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④ 将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤ 因为对任意实数t,4t2的最小值为0, 所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0,且m的取值范围是(3-2,3+2). 11.C 解析由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=- 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). =0, ∴点F是△ABC的重心, ∴x1+x2+x3= 由抛物线的定义可得 |FA|=x1-=x1+, |FB|=x2-=x2+, |FC|=x3-=x3+, ∴||+||+||=x1++x2++x3+=9. 12.C 解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F, 则, ∴kOM= 当且仅当t=时等号成立. ∴(kOM)max=,故选C. 13.1+ 解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,D,F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2p=a2+2ab, 变形得-1=0, 解得=1+=1-(舍去),所以=1+ 14.解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=所以|PQ|=, |QF|=+x0= 由题设得, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m), |AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率为-m, 所以l'的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4), 则y3+y4=-, y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E |MN|=|y3-y4|= 由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2+, 化简得m2-1=0, 解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 15.解 (1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2), 则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0. 由得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1). 又x2=4y,可得y=x2, 故y'=x, 故抛物线在点A处切线的斜率为2. 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则 解得a=-1,b=,r2=,故圆的方程为(x+1)2+, 即为x2+y2+2x-13x+12=0. (2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0, 故x1x2=-8.① 由已知=得-x1=λx2. 若k=0,这时λ=1,要使(-),点Q必在y轴上. 设点Q的坐标是(0,m), 从而=(0,2-m), -=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)), 故(-)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0, 即y1-λy2-m(1-λ)=0, 即-m=0, 即(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将①代入得m=-2. 所以存在点Q(0,-2)使得(-).
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